Скачать презентацию Теория электрических цепей Метод наложения Метод Скачать презентацию Теория электрических цепей Метод наложения Метод

Теория электрических цепей лекция 3.pptx

  • Количество слайдов: 33

Теория электрических цепей Теория электрических цепей

Метод наложения • Метод наложения можно использовать только в линейных электрических цепях. В его Метод наложения • Метод наложения можно использовать только в линейных электрических цепях. В его основе лежит принцип суперпозиции (наложения). Согласно принципу наложения, реакция линейной электрической цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности. • Под воздействиями в электрических цепях понимают напряжения и токи с заданными законами изменения во времени, которые создают в цепи другие токи и напряжения, называемые реакциями. Часто воздействия – это источники, а реакции – токи и напряжения, создаваемые этими источниками.

 • Если в цепи имеется несколько источников, то при нахождении тока (напряжения) можно • Если в цепи имеется несколько источников, то при нахождении тока (напряжения) можно найти ток (напряжение), создаваемый каждым из источников в отдельности, а затем полученные токи (напряжения) алгебраически сложить. • Рассмотрим пример расчета токов в цепи с использованием метода наложения: рассмотрим цепь с двумя источниками.

 • В схеме с двумя источниками стрелками показаны положительные направления токов i 1, • В схеме с двумя источниками стрелками показаны положительные направления токов i 1, i 2, i 3, i 4, i 01, выбранные произвольно. • Согласно принципу наложения ток ik от двух источников равен алгебраической сумме частичных токов ik’, ik’’ от первого и второго источников в отдельности. Решение задачи состоит из следующих этапов: • 1. Источник напряжения u 01 в цепи оставлен, а источник тока удалён, т. е. вместо него имеем обрыв ветви. В схеме с одним источником напряжения с задающим напряжением u 01 вычисляем частичные токи i 1’, i 2’, i 3’, i 4’, i 01’ путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи.

 • В схеме резисторы R 1 и R 2 (R 3 и R • В схеме резисторы R 1 и R 2 (R 3 и R 4) соединены последовательно, так как по ним протекает один и тот же ток i 1’=i 2’ (i 3’=i 4’). Заменяем их эквивалентным сопротивлением Rэ1=R 1+R (Rэ2=R 3+R 4). • Вычисляем частичные токи, используя закон Ома и первый закон Кирхгофа: • i 1’=i 2’=u 01/Rэ; i 3’=i 4’=u 01/Rэ2; i 01’=i 2’+i 4’. •

 • 2. Источник тока i 01 в цепи оставлен, а источник напряжения удалён, • 2. Источник тока i 01 в цепи оставлен, а источник напряжения удалён, т. е. вместо него показано короткое замыкание (провод). В схеме с одним источником тока с задающим током i 01 вычисляем частичные токи i 1’’, i 2’’, i 3’’, i 4’’, i 01’’ путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи.

 • В получившейся схеме резисторы R 1 и R 2 (R 3 и • В получившейся схеме резисторы R 1 и R 2 (R 3 и R 4) соединены параллельно, так к ним приложено одно и то же напряжение u 12 (u 31). • Заменяем параллельные резисторы их эквивалентными сопротивлениями • Rэ3=R 1∙R 2/(R 1+R 2) Rэ4=R 3∙R 4/(R 3+R 4) Вычисляем частичные токи, используя закон Ома и первый закон Кирхгофа: u. Rэ3=i 05∙Rэ3; u. Rэ4=i 05∙Rэ4; • i 1’’=u. Rэ3/R 1; i 2’’=u. Rэ3/R 2; i 3’’=u. Rэ4/R 3; • i 4’’=u. Rэ4/R 4; • i 01’’+i 1’’–i 3’’=0; i 01’’= –i 1’’+i 3’’.

 • 3. Нахождение истинных токов в ветвях цепи • Истинные токи определяются как • 3. Нахождение истинных токов в ветвях цепи • Истинные токи определяются как алгебраическая сумма частичных токов, т. е. сравниваются направление частичных токов с направлением истинного тока в исходной цепи. При совпадении направлений частичный ток берется со знаком «+» , • в случае несовпадения – со знаком «-» . • Для ветви 1: • i 1 =i 1’+i 1’’ • Для ветви 2: • i 2 =i 2’–i 2’’ • Для ветви 3: • i 3 =i 3’ –i 3’’ • Для ветви 4: • i 4 =i 4’+i 4’’ • Для ветви 01: • i 01 =i 01’–i 01’’

Метод токов ветвей • • Данный метод позволяет анализировать цепь, используя первый и второй Метод токов ветвей • • Данный метод позволяет анализировать цепь, используя первый и второй законы Кирхгофа. Требуется составить систему уравнений для определения токов в цепи. В результате определяются неизвестные токи в ветвях цепи. Анализ проводится по следующему алгоритму; 1. Задаемся положительными направлениями неизвестных токов. Число уравнений в системе будет равно числу неизвестных токов: • n=nнезв. токов • • • 2. Пользуясь первым законом Кирхгофа, составляем линейнонезависимые уравнения. Их число равно N 1= Nу – 1 (где Nу – число узлов). 3. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, дополняем систему уравнениями, составляемыми для независимых контуров, в которые не должен входить источник тока. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно N 2= n-(Nу – 1). 4. Напряжения на резистивных элементах выражаем через ток по закону Ома.

 • Рассмотрим пример составления системы по методу токов ветвей. • • Число уравнений • Рассмотрим пример составления системы по методу токов ветвей. • • Число уравнений n=nнезв. токов= 6 Число узлов Nу = 4. Число уравнений по первому закону Кирхгофа N 1= Nу – 1 = 4 – 1 = 3

 • Для 1 узла • Для 2 узла • Для 3 узла • • Для 1 узла • Для 2 узла • Для 3 узла • Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно • N 2= n-(Nу – 1)=6 -3=3 • Для 1 контура • Для 2 контура • Для 3 контура • Итак, получена совместная система из шести уравнений для нахождения токов в приведенной схеме.

Метод узловых напряжений • В данном методе переменными или неизвестными системы уравнений анализируемой цепи Метод узловых напряжений • В данном методе переменными или неизвестными системы уравнений анализируемой цепи являются узловые напряжения U 1 у , U 2 у, U 3 у, … UNу, т. е. напряжения, равные разности потенциалов K-го и базисного узла. Потенциал базисного узла принимается равным нулю (U 0 у =0). • Для цепи, имеющей N = Nу – 1 независимых узлов, каноническая форма записи системы узловых уравнений имеет вид: • • + G 11∙U 1 у – G 12∙U 2 у – G 13∙U 3 у – … – G 1 N∙UNу = I 1 у, – G 21∙U 1 у + G 22∙U 2 у – G 23∙U 3 у – … – G 2 N∙UNу = I 2 у, . . . – GN 1∙U 1 у – GN 2∙U 2 у – GN 3∙U 3 у – … + GNN∙UNу = INу.

Данная система уравнений получается из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа Данная система уравнений получается из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа

 • В данной системе узловых уравнений GNN – собственная проводимость N-го узла цепи • В данной системе узловых уравнений GNN – собственная проводимость N-го узла цепи – арифметическая сумма проводимостей всех ветвей, подключённых одним из зажимов к N-му узлу цепи. Собственные проводимости в системе узловых уравнений записываются со знаком «плюс» . • GKN – взаимная проводимость K-го и N-го узлов цепи – сумма проводимостей всех ветвей, включённых между K-м и N-м узлами цепи. Взаимные проводимости в системе узловых уравнений записываются со знаком «минус» . • IKу – узловой ток K-го узла цепи – алгебраическая сумма задающих токов источников тока, подключённых к K-му узлу цепи, причём слагаемые этой суммы берутся со знаком «плюс» , если задающий ток источника ориентирован в сторону K-го узла, и со знаком «минус» – в противном случае. В результате решения системы узловых уравнений определяются неизвестные узловые напряжения UKу.

 • В матричном виде данную систему можно записать следующим образом: • [G] [Uу • В матричном виде данную систему можно записать следующим образом: • [G] [Uу ] =[Iу ], • где [G] – матрица проводимостей; [Uу ] – вектор-столбец узловых напряжений; [Iу ] – вектор-столбец узловых токов. • Для цепей, не содержащих зависимых источников, матрица проводимостей [G] симметрична относительно главной диагонали. • Пусть в цепи направление тока i показано стрелкой от узла N к узлу M и между узлами N и M ветвь содержит только один резистор R. Тогда ток i вычисляется в ветви по формуле • i= (UNу – UMу)/R = (UNу – UMу) ∙ G

 • Рассмотрим пример расчета токов в цепи методом узловых напряжений: • Рассмотрим пример расчета токов в цепи методом узловых напряжений:

 • Пронумеруем все узлы 0, 1, 2, 3. Nу = 4 • Число • Пронумеруем все узлы 0, 1, 2, 3. Nу = 4 • Число уравнений N = Nу – 1 = 4– 1=3 • Для узла 1 • Для узла 2 • Для узла 3 • Система симметрична относительно главной диагонали.

 • Решение системы уравнений: U 1 у ; U 2 у и U • Решение системы уравнений: U 1 у ; U 2 у и U 3 у. • Токи в ветвях найдем, используя закон Ома. • При этом напряжения на резистивных элементах можно определить как разность потенциалов: • i 2= (U 1 у – U 2 у )/R 2 ; • i 4 = (U 2 у – U 3 у )/R 4; • i 5 = (U 3 у – U 0 у)/R 5 = (U 3 у – 0)/R 5 = U 3 у /R 5 ; • i 6 = (U 1 у – U 3 у )/R 6

Использование метода узловых напряжений в цепях с зависимыми источниками Использование метода узловых напряжений в цепях с зависимыми источниками

 • При наличии зависимых источников в цепи в уравнениях, составленных по методу узловых • При наличии зависимых источников в цепи в уравнениях, составленных по методу узловых напряжений, появляются дополнительные слагаемые, обусловленные взаимной проводимостью между узлами через зависимые источники. • Матрица проводимости [G] перестает быть симметричной относительно главной диагонали. • [G] = [G пасс] + [G акт] • [G акт] определяется проводимостями между узлами через зависимые источники.

Использование метода узловых напряжений в цепях с источниками напряжения • Если в цепи есть Использование метода узловых напряжений в цепях с источниками напряжения • Если в цепи есть независимый источник напряжения, то выбрав базисный узел на одном из его зажимов, узловое напряжение на другом его зажиме становится известным. Таким образом, число уравнений в системе по методу узловых напряжений становится на одно меньше.

 • Если в ветвях есть генераторы напряжения, то при использовании метода узловых напряжений • Если в ветвях есть генераторы напряжения, то при использовании метода узловых напряжений их необходимо заменить генераторами тока. Далее анализ проводится по стандартному алгоритму. • Если значения внутренних сопротивлений генераторов одинаковы RГН= RГТ = RГ, а задающее напряжение генератора напряжения связано с задающим током генератора тока соотношением u. Г = i. Г ∙ RГ, то генераторы напряжения и тока считаются эквивалентными, то есть на их зажимах создаются одинаковые напряжения и проходят одинаковые токи при подключении внешней цепи.

 • Рассмотрим пример: • Заменим генератор напряжения, включенный между узлами 1 и 3, • Рассмотрим пример: • Заменим генератор напряжения, включенный между узлами 1 и 3, генератором тока.

 • Поскольку узловым напряжением называется разность потенциалов между неким узлом цепи и базисным • Поскольку узловым напряжением называется разность потенциалов между неким узлом цепи и базисным узлом, то напряжение узла 1 совпадает с напряжением источника напряжения u 01, то есть U 1 у=u 01. Для оставшихся узлов 2 и 3 нужно составить узловые уравнения.

– • Для узла 2 • Для узла 3 • Слагаемое в правой части – • Для узла 2 • Для узла 3 • Слагаемое в правой части последнего уравнения явилось следствием замены схемы генератора напряжения в ветви u 06 – R 6 на генератор тока в этой ветви. • Решение системы уравнений даст значения U 2 у; U 3 у.

 • Для нахождения токов используем закон Ома и получаем: • i 2 = • Для нахождения токов используем закон Ома и получаем: • i 2 = (U 1 у – U 2 у )/R 2; • i 4 = (U 2 у – U 3 у )/R 4; • i 5 = (U 3 у – U 0 у)/R 5; • i 6 = (U 1 у – U 3 у )/R 6 + u 06/R 6. • Ток i 1 через источник напряжения вычисляем по первому закону Кирхгофа. Для нулевого узла схемы имеем: i 1 + i 03 – i 5 =0. • Тогда ток равен • i 1 = i 5– i 03.

Метод контурных токов • Метод контурных токов это метод дуальный методу узловых напряжений. Он Метод контурных токов • Метод контурных токов это метод дуальный методу узловых напряжений. Он построен на основе второго закона Кирхгофа. Число уравнений в системе равно • n=N 2=nнезв. токов-(Nу – 1) • За искомые величины принимают контурные токи. • При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

 • Каноническая форма записи системы контурных токов имеет вид: • • • R • Каноническая форма записи системы контурных токов имеет вид: • • • R 11∙I 1 к+R 12∙I 2 к +R 13∙I 3 к + … + R 1 n∙Inк = U 1 к R 21∙I 1 к+R 22∙I 2 к +R 23∙I 3 к + … + R 2 n∙Inк = U 2 к. . . Rn 1∙I 1 к+Rn 2∙I 2 к +Rn 3∙I 3 к + … + Rnn∙Inк = Unк Rкк - собственное сопротивление контура «к» . Оно равно сумме сопротивлений, входящих в контур «к» . • Rкm – общее сопротивление контуров «к» и «m» . Оно равно сумме сопротивлений, входящих в контур «к» и «m» . Если направления контурных токов в общей ветви для контуров «к» и «m» , то Rкm положительно, в противном случае Rкm отрицательно. • Umк- контурное напряжение контура «m» - алгебраическая сумма источников напряжения, входящих в контур m

 при таком направлении контурного • тока Uоm входит в сумму со знаком • при таком направлении контурного • тока Uоm входит в сумму со знаком • «+» • при таком направлении контурного • тока Uоm входит в сумму со знаком • «-» • Токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов. • Если направление контурного тока совпадает с направлением тока ветви, то он входит в сумму со знаком «+» , в противном случае – со знаком «-» .

 Пример анализа цепи методом контурных токов. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно Пример анализа цепи методом контурных токов. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно 3, следовательно, число уравнений по методу контурных токов также равно 3.

 • Для 1 контура R 11∙I 1 к+R 12∙I 2 к +R 13∙I • Для 1 контура R 11∙I 1 к+R 12∙I 2 к +R 13∙I 3 к = U 1 к • Для 2 контура R 21∙I 1 к+R 22∙I 2 к +R 23∙I 3 к= U 2 к • Для 3 контура R 31∙I 1 к+R 32∙I 2 к +R 33∙I 3 к= U 3 к • Собственные и общие сопротивления 1, 2 и 3 контуров: • R 11=R 1+R 3+R 4+R 6 • R 22= R 2+R 3+R 7 • R 33= R 1+R 2+R 5 R 12= R 21=-R 3 R 13= R 31=-R 1 R 32= R 23=-R 2 • Контурные напряжения: • U 1 к = -U 01 +U 03 +U 04 +U 06 • U 2 к = U 02 -U 03 +U 07 • U 3 к = U 01 -U 02 +U 05

 • Решаем систему и находим I 1 к I 2 к I 3 • Решаем систему и находим I 1 к I 2 к I 3 к • Выразим токи в ветвях через контурные токи: • • • I 4= I 1 к I 1=- I 1 к+ I 3 к I 2= I 2 к- I 3 к I 3= I 1 к- I 2 к I 5= I 3 к I 7= I 2 к