Теоремы теории вероятностей В 6
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий • Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Р е ш е н и е. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А) Р (А) = 10 / 30 = 1 / 3. Вероятность появления синего шара (событие В) Р (В) = 5 / 30 = 1 / 6. События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = l / 3 + l / 6 = l / 2 = 0, 5.
Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0, 45, во вторую — 0, 35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область. Р е ш е н и е. События А — "стрелок попал в первую область" и В — "стрелок попал во вторую область" — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0, 45 + 0, 35 = 0, 8.
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность» , равна 0, 2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм» , равна 0, 15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0, 2 + 0, 15 = 0, 35. Ответ: 0, 35.
Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В , вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ). Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность РА(В) = 3/5 =0, 6. Ответ: 0, 6
• Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) и РА(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий • P(AB) = P(A)*РА(В) - вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический. Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), Р(А)= 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность РА(В) = 7/9. По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ) = Р(А). РА(В) = 3/10. 7/9 = 7/30 =0, 23
Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С). Р(А)= РА(В) = РАВ(С) = Р(АВС) = Р(А). РА(В). РАВ(С) = Ответ:
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0, 52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0, 3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0, 52 · 0, 3 = 0, 156. Ответ: 0, 156.
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0, 3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0, 3· 0, 3 = 0, 09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0, 09 = 0, 91. Ответ: 0, 91.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0, 8, он промахивается с вероятностью 1 − 0, 8 = 0, 2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, промахнулся, промахнулся» равна 0, 8· 0, 2 = 0, 02048 Ответ: 0, 02.
Полная группа событий • Теорема. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице: Р(А 1) + Р(А 2) +…+ Р(Аn) = 1
Пример 3. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В, и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0, 7, из города В — 0, 2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С. Решение. События «пакет получен из города А» , «пакет получен из города В» , «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0, 7 + 0, 2 + р = 1 Отсюда искомая вероятность р = 1 – 0, 7 – 0, 2 = 0, 1 Ответ: 0, 1
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Решение. • Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0, 45 · 0, 03 = 0, 0135. • Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0, 55 · 0, 01 = 0, 0055. • Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0, 0135 + 0, 0055 = 0, 019. Ответ: 0, 019.
Скачать презентацию Теоремы теории вероятностей В 6 События называют
В6 Теоремы вероятности событий.ppt