Тема: ““ Основи теорії ймовірностей. Залежні і незалежні

Тема: ““ Основи теорії ймовірностей. Залежні і незалежні випадкові події, їх ймовірність та операції над ними ””КАФЕДРА ПСИХОЛОГІЇ УПРАВЛІННЯ

2 Метод – (з грецького – шлях дослідження, спосіб пізнання) спосіб, прийом або система прийомів для досягнення якої-небудь мети, для виконання певної операції. МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ У ПСИХОЛОГІЇ «Психологія — це вираження словами того, що ними виразити неможливо» . Джон Голсуорсі

3 Методика – (з грецького) узагальнення досвіду, способів, прийомів доцільного здійснення будь-якого завдання. Методологія – вчення про методи пізнання й перетворення світу, сукупність прийомів дослідження, що їх застосовують у будь-якій науці відповідно до специфіки об’єкту її пізнання. МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ У ПСИХОЛОГІЇ

4 В залежності від цих етапів розділяють 4 групи методів: 1. 1. — організаційні (порівняльний, лонгітюдний. . . ); 2. 2. — емпіричні (спостереження і самоспостереження, бібліографічний, експериментальний, психодіагностичні – тестування, анкетування, соціометрія, референтометрія, бесіда. . . ); 3. 3. — обробки даних ( визначення середніх величин міри розсіювання, коефіцієнтів кореляції, факторний – всі математичні методи); 4. 4. — інтерпретаційні (генетичний, структурний) МЕТОДИ У ПСИХОЛОГІЇ

5 В залежності від цих етапів розділяють 4 групи методів: 1. 1. — організаційні (порівняльний, лонгітюдний. . . ); 2. 2. — емпіричні (спостереження і самоспостереження, бібліографічний, експериментальний, психодіагностичні – тестування, анкетування, соціометрія, референтометрія, бесіда. . . ); 3. 3. — обробки даних ( визначення середніх величин міри розсіювання, коефіцієнтів кореляції, факторний – всі математичні методи); 4. 4. — інтерпретаційні (генетичний, структурний) МЕТОДИ У ПСИХОЛОГІЇ

6 Характеристики розподілу випадкової величини Щоб охарактеризувати випадкову величину достатньо задати її функцію розподілу. Однак в багатьох практичних задачах ця інформація є занадто повною, достатньо знати лише деякі числа, що характеризують розподіл, тобто числові характеристики розподілу. Такими характеристиками є: • математичне сподівання, • дисперсія, • середньо квадратичне відхилення, • асиметрія, • ексцес, • квантилі.

7 Характеристики розподілу випадкової величини Математичним сподіванням дискретно розподіленої випадкової величини будемо називати суму добутків значень випадкової величини на їх імовірності. kk kkkkpxx. XPx. MX Математичним сподіванням скалярної неперервно розподіленої випадкової величини будемо називати інтеграл по всій дійсній осі від добутку випадкової величини на її щільність розподілу. dxxxf. MX

8 Характеристики розподілу випадкової величини Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання. дискретно розподіленої : неперервно розподіленої k kkp. MXx. DX 2 dxxf. MXx. DX 2 DXX Величина називається середнім квадратичним (або стандартним) відхиленням випадкової величини Х.

9 Характеристики розподілу випадкової величини Квантилем p порядку р 10; p розподілу випадкової величини будемо називати точку дійсної осі, в якій функція розподілу цієї випадкової величини переходить від менших, ніж р, значень до більших, ніж р. p. F p p. Fp 0 Медіаною розподілу випадкової величини називають квантиль 2 1 ξ ¼ ξ ½ ξ ¾¼½¾ 1 x Рис.

10 Характеристики розподілу випадкової величини 3 3 X MXXM AX асиметрія ексцес 34 4 X MXXM X

11 Закони розподілу випадкової величини Умовний розподіл випадкової величини Коваріацією (або кореляційним моментом) двовимірної випадкової величини YX, називають математичне сподівання добутку відхилень кожної з компонент від свого математичного сподівання MYYMXXMYXCOV, dxdyyxf. MYy. MXx. YXCOV, , Розподіл Стьюдента, Розподіл Фішера-Снедекора, Розподіл χ

12 Теорема Чебишева Закон Бернуллі Теорема Ляпунова Локальна теорема Муавра-Лапласа Інтегральна теорема Муавра-Лапласа Розподіл Пуассон Біномний розподіл Розподіл Бернуллізакони теорії ймовірностей

13 Основні математичні методи у психології 3 питання Метод — це шлях наукового дослідження або спосіб пізнання будь-якої реальності.

14 Статистичне групування. Дані, що були отримані в процесі психологічного дослідження, можуть бути систематизовані за допомогою простого або перехресного групування. Просте групування полягає в упорядкуванні або класифікації за однією ознакою. Залежно від гіпотези, усіх випробуваних, що увійшли до вибіркової сукупності, можна згрупувати за певними ознаками: статтю, віком, типом темпераменту, рівнем розвитку здібностей тощо. Основні математичні методи у психології

15 Варіаційний аналіз. Групування — це лише перший етап статистичного аналізу отриманих даних. Наступний крок опрацювання полягає в отриманні деяких узагальнюючих характеристик, які дозволяють глибше зрозуміти особливості одиниці спостереження. Сюди перш за все відносять середнє значення ознаки, навколо якого варіюють інші її значення, а також міру розсіювання ознаки. До середніх величин у математичній статистиці відносять середнє арифметичне, медіану, моду, до показників міри розсіяння — варіаційний розмах, дисперсію, середнє квадратичне відхилення тощо Основні математичні методи у психології

16 Перевірка статистичних гіпотез полягає у перевірці припущень про характер розподілу випадкових величин та про зв’язок між ними, про належність даних до однієї генеральної сукупності, про значимість відмінностей тощо. Кореляційний аналіз призначений для оцінювання форми, знаку й тісноти зв’язку між кількома ознаками або факторами, що досліджуються. При визначенні форми зв’язку розглядається її лінійність або нелінійність. Основні математичні методи у психології

17 Регресійний аналіз дозволяє вивчати залежності однієї або декількох середніх величин від інших. Поняття регресійного аналізу запровадив Ф. Гальтон, який встановив факт певного співвідношення між зростом батьків і їх дорослих дітей. Він помітив, що у батьків найнижчого зросту діти виявлялися трохи вищими, а у батьків найвищого зросту — трохи нижчими. Такого роду закономірність він назвав регресією. Регресійний аналіз застосовується переважно в емпіричних психологічних дослідженнях при розв’язанні завдань, пов’язаних з оцінюванням будь-якого впливу (наприклад, впливу мотивів на поведінку), при конструюванні психологічних тестів тощо. Основні математичні методи у психології

18 Факторний аналіз — метод багатофакторної математичної статистики, який застосовується при дослідженні статистично пов’язаних ознак з метою виявлення певної кількості прихованих від безпосереднього спостереження факторів. Розроблений для потреб психології, факторний аналіз згодом набув широкого розповсюдження в економіці, медицині, соціологи та інших науках, які мають величезну кількість; змінних, з яких необхідно виділити провідні. Основні математичні методи у психології

19 Тема 2: „Основи теорії ймовірностей. Залежні і незалежні випадкові події, їх ймовірність та операції над ни ми ”” Заняття 1 : „: „ Теорія ймовірностей у психології ”” Питання: 1. 1. Поняття ймовірності. 2. 2. Елементи комбінаторики. Навчальна література: — Іванюта І. Д. , Рибалка В. І. , Рудоміно-Дусятська І. А. . Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. — Київ-2003, стр 4 -25. — — Барковський В. В. , Барковська Н. В. , Лопатін О. К. . Теорія ймовірностей та математична статистика. – Київ-2006, стр9 -36. . МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ У ПСИХОЛОГІЇ

20 Визначити кількість можливих складань списку студентів своєї групи. РР nn == nn !! == 1*2*3*…* nn. ВИКОНАННЯ ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ Скількома способами можна визначити старосту і спорторга групи? 600 )!225( !25 ! ! kn n A k n 992376 )!536(!5 !36 !! ! knk n C k n. Кількість білетів- 81698313 )!645(!6 !45 !! ! knk n C k n

21 1. 1. Поняття ймовірності. Предметом теорії ймовірностей є вивчення закономірностей масових однорідних випадкових подій. Знання цих закономірностей дозволяє передбачити те, як ці події відбуватимуться згодом. Це дає можливість у свою чергу прийма- ти адекватні рішення і впливати на їх хід 1 питання

22 Події (явища), які ми спостерігаємо можна розділити на три види. 1. Подія, яка в певних умовах обов’язково відбувається називається достовірною подією. 2. Подія, яка в певних умовах не може відбутися називається неможливою подією. 3. Подія, яка в певних умовах може відбутись або не відбутись називається випадковою подією. Події будемо позначати великими буквами латинського алфавіту (або буквами з індексами), наприклад, А, В, С 1, С 2, D 5. Достеменну подію позначатимемо буквою І, а неможливу — буквою О. ВИДИ ПОДІЙ

23 Приклад 1. Дослідження – кидання монети. Які можуть бути події? — Герб (Г) — Решка (Р) Приклад 2. Дослідження кидання монети двічі. Які можуть бути події? — ГГ, РР, ГР, РГ. Приклад 3. Дослідження – проведення тестування по Г. Айзенку – типологічний портрет людини Які можуть бути події? — Інтроверт — Нормальний — Екстраверт ВИДИ ПОДІЙ

24 Вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій є предметом теорії ймовірностей. . Події називають несумісними , якщо здійснення однієї з них виключає здійснення інших подій у тому ж випробуванні. Декілька подій утворюють повну систему (групу), якщо підчас випробування достовірною подією є здійснення хоча б однієї з них. Події називають рівноможливими, якщо здійснення будь-якої з них не має жодних переваг перед здійсненням іншої. Кожен з можливих результатів випробування називатимемо елементарним виходом. Очевидно, всі елементарні виходи утворюють повну систему несумісних подій. Вихід будемо називати сприятливим для даної події, якщо ця подія здійснюється за такого виходу. Імовірністю події А (позначатимемо Р(А) ) будемо називати відношення кількості сприятливих для події А елементарних виходів, до загальної кількості рівноможливих несумісних елементарних виходів. ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

25 де де т — кількість сприятливих для події А А елементарних виходів, п п — загальна кількість можливих елементарних виходів у випробуванні. Тут вважається, що всі виходи є несумісні, рівноможливі і утворюють повну систему. . ЙМОВІРНІСТЬ ПОДІЇn m AP)(

26. . 1. 1. Імовірність достеменної (достовірної) події дорівнює 1. 1. 2. 2. Імовірність неможливої події дорівнює 0. 0. 3. 3. Імовірність випадкової події є додатне число менше, ніж 1. 1. ВЛАСТИВОСТІ ІМОВІРНОСТІ1)I(P 0)O(P 10)A(P

27 Приклад 4. Дослідження – кидання грального кубика. Подія – поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 – рівноможлива, їх імовірності кожної: ВЛАСТИВОСТІ ІМОВІРНОСТІ 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 Всі події несумісні і утворюють повну групу, а значить повна ймовірність: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 11/6 + 1/6 + 1/6 =

28 1. 1. Імовірність достеменної (достовірної) події дорівнює 1. 1. 2. 2. Імовірність неможливої події дорівнює 0. 0. 3. 3. Імовірність випадкової події є додатне число менше, ніж 1. 1. ВЛАСТИВОСТІ ІМОВІРНОСТІ1)I(P 0)O(P 10)A(P

29 Елементи комбінаторики 2 питання

30 Сполуки , , що відрізняються лише порядком елементів, називають переставленням ( ( перестановками ) ) (фр. — permutation) цих елементів. Сполуки , які складаються з m m елементів, взятих з n n множини ( mm << nn ) і відрізняються як порядком так і елементами, називають розміщенням (фр. arrangement) Сполуки , які складаються з m m елементів, взятих з n n множини ( mm << nn ) , але порядок може відрізнятися хоча б одним елементом, називаються сполученням (( фр. -combination). . ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ!)1(. . . 321 1 nnnk. P n k n )!( ! mn n A m n )!(! ! mnn n C m n

31 Приклад 5. Дитина, яка не вміє читати, складає в ряд кубики з буквами ДД , , І І та ЛЛ. Яка ймовірність, що вона утворить слово? Розв’язання: Нехай подія С — утворення слова. Можливі складання утворюють множину { ДІЛ, ДЛІ, ІЛД, ІДЛ, ЛІД, ЛДІ }, яка містить 6 елементів. Сприятливими для події С будуть складання ДІЛ та та ЛІДЛІД. Отже, 3 1 6 2 )C(PЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

32 Множину всіх елементарних виходів при даному випробуванні будемо називати простором елементарних подій і позначатимемо ΩΩ. . Кожний з елементарних виходів називатимемо точкою простору Ω і позначатимемо ωω. . Будь-яка подія являтиме собою деяку множину елементарних подій (точок простору Ω). Неможлива подія є порожньою множиною . . Достовірна подія збігається з простором Ω. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

33 Сумою або об’єднанням двох подій А і В (позначатимемо АА ++ В або ) будемо називати подію, яка полягає у здійсненні хоча б однієї з подій А чи В. Добутком або перетином двох подій А і В (позначатимемо АА В або ) будемо називати подію, яка полягає у здійсненні одночасно обох подій А і В. Протилежною до події А (позначатимемо ) будемо називати подію, яка полягає у нездійсненні події А. Очевидно, . Множину подій, для яких визначатимемо імовірності будемо називати полем подій і позначати S. Операції над подіями BA BA A AA\

34 А А В А В АОперації над подіями. BABAАВ А\В AA\

35 Приклад 7 : Кидаємо гральний кубик: Простір елементарних подій Ω=( ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6) Ймовірність, що буде 1 (або 2, або 3, …)ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ. . . 16666, 0 6 1 )1()( n m PAP

36 Приклад 8 : : Приклад 4. Випробування полягає у киданні кубика Поле подій — ΩΩ =(=( ωω 1, 1, ωω 2, 2, ωω 3, 3, ωω 4, 4, ωω 5, 5, ωω 6)6) Подія А — парне число очок АА =(ω2, ω4, ω6) Подія В – випало число, кратне 3 В=(В=( ωω 3, 3, ωω 6)6) Знайти , , А/В , ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИBABAA Розв’язання: BA =(ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 6 ) А/В =(ω 2 , ω 4 , ) A =(ω 1 , ω 3, ω 5 ) BA =(ω6)

37 Якщо при знаходженні ймовірності події у випробуванні ніяких додаткових умов, крім умов самого випробування, не накладається, то знайдена ймовірність називається безумовною. . Якщо накладаються додаткові умови, то знайдену ймовірність називають умовною. . Умовною ймовірністю називають імовірність події В, знайдену в припущенні, що подія А здійснилася. Умовна ймовірність дорівнює відношенню ймовірності добутку подій А і В до ймовірності події А, тобто ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИBPA AP ABP BP

38 Приклад 9. В урні є 5 білих і 4 чорних кульки. З неї послідовно без повернення виймають дві кульки. Знайти ймовірність, що друга кулька виявилась білою, якщо: а) перша кулька була білою? б) перша кулька була чорною? Розв’язання : Введемо позначення: АА — перша кулька була білою; ВВ — — перша кулька була чорною; СС — друга кулька виявиться білою. Ймовірність, що перша кулька виявилась білою дорівнює Знайдемо ймовірність Всеможливих послідовних виборів двох кульок є 9 8 = 72. Сприятливих для АС несумісних рівноможливих виходів є 5 4 = 20. Тому Логічна перевірка: Якщо перша кулька виявилась білою, то в урні залишилось 4 білих і 4 чорних кульки. Тому ймовірність, що друга кулька виявиться білою дорівнює ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ 9 5 AP ACP 18 5 72 20 ACP 50 95 185 , AP ACP CPA 50 8 4 , CP

39 Приклад 10. Самостійно визначити ймовірність другої білої кульки, якщо перша була чорною. Відповідь: Аналогічно , Логічна перевірка: Якщо перша кулька виявилась чорною, то в урні залишилось 5 білих і 3 чорних кульки. Тому ймовірність, що друга кулька виявиться білою дорівнює. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ 9 4 BP 18 5 72 54 BCP BP BCP CPB 625, 0 94 185 6250 8 5 , CP

40 Основи теорії ймовірностей. Залежні і незалежні випадкові події, їх ймовірність та операції над ними. 1. Самостійно визначити ймовірність подій за 10 завданнями, добуток суму і різницю ймовірностей цих подій. 2. Розібратись та довести теореми додавання і множення ймовірностей. 3. Вирішити завдання: 3. 1. У середньому один хлопчик на 720 народжується із зайвою Y-хро мо сомою. Агресивна поведінка у таких хлопчиків зустрічається у 19 разів часті ше, ніж у решти. Психолог зауважив агресивність хлопчика. Яка ймовірність, що цей хлопчик має зайву Y-хромосому? Яка ймовірність, що її немає? 3. 2. . Імовірність виявити патологію при обстеженні дорівнює 0, 3, а визнати хворою здорову людину 0, 7. Яка ймовірність, що визнана хворою людина насправді здорова, якщо частка хворих серед населення дорівнює 45% 3. 3. Абонент забув дві останні цифри телефонного номера і, пам’ятаючи, що вони різні, набрав їх навмання. Яка ймовірність, що абонент набрав правильний номер? Завдання на самостійну роботу по Темі 2.