Скачать презентацию Тема Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка однородные с Скачать презентацию Тема Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка однородные с

LDU_s_post_koef.ppt

  • Количество слайдов: 19

Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами) Лекция Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами) Лекция

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ Определение Фундаментальная система решений – совокупность любых линейно независимых решений. Пример ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ Определение Фундаментальная система решений – совокупность любых линейно независимых решений. Пример Найти фундаментальную систему решений Решение фундаментальная система решений Уравнение имеет и другие фундаментальные решения, например

Определение Линейное однородное уравнение вида y(n) + a 1 y(n – 1) + … Определение Линейное однородное уравнение вида y(n) + a 1 y(n – 1) + … + an – 1 y + an y = 0 , (1) где a 1 , a 2 , … , an – действительные числа называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами. Ø Решения уравнения (1) будем искать в виде y = e x , где Левая уравнения (1) называется линейным дифференциальным оператором и обозначается – постоянная

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора. 2. Оператор от СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора. 2. Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций o 3. Если решение однородного линейного уравнения то - тоже решение, т. е

ПУСТЬ решение линейного ДУ Имеем: y = e x , y = 2 e ПУСТЬ решение линейного ДУ Имеем: y = e x , y = 2 e x , y = 3 e x , … , y(n) = n e x. Подставляем y , y , … , y(n) в уравнение (1) и получаем: n e x + a 1 n – 1 e x + … + an – e x + an e x = 0 , 1 n + a 1 n – 1 + … + an – 1 + an = 0. характеристическое уравнение А его корни - характеристические числа

ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ Рассмотрим линейное однородное уравнение 2 -го порядка (1) q. Теорема Если ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ Рассмотрим линейное однородное уравнение 2 -го порядка (1) q. Теорема Если то - фундаментальная система решений уравнения (1) - общее решение üЗамечание Всякое частное решение однородного линейного уравнения – линейная комбинация частных решений, составляющих фундаментальную систему решений. ü Замечание Уравнение (1) не может иметь более чем линейно независимых частных решений.

Пусть линейное неоднородное уравнение Пусть нашли частное решение Введем новую функцию однородное уравнение, соответствующее Пусть линейное неоднородное уравнение Пусть нашли частное решение Введем новую функцию однородное уравнение, соответствующее неоднородному общее решение неоднородного уравнения тоже частное решение • Пример частные решения

 § § Структура общего решения линейного неоднородного уравнения: частное решение этого уравнения общее § § Структура общего решения линейного неоднородного уравнения: частное решение этого уравнения общее решение однородного уравнения Алгоритм • Составляем характеристическое уравнение • Находим корни характеристического уравнения По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения (частных решений будет ровно столько, каков порядок линейного дифференциального уравнения)

 N + A 1 N – 1 + … + AN – 1 N + A 1 N – 1 + … + AN – 1 + AN = 0. Замечания 1)характеристическое уравнение получается из (1) заменой производных искомой функции на соответствующие степени , а самой функции – на 0 = 1. ü

q ТЕОРЕМА Пусть – характеристический корень уравнения (1). Тогда 1) если – простой корень q ТЕОРЕМА Пусть – характеристический корень уравнения (1). Тогда 1) если – простой корень уравнения , то решением является функция e x; 2) если – корень кратности k уравнения (1) , то решениями уравнения (1) являются функции e x, x 2 e x, …, xk – 1 e x; 3) если = a + bi ℂ и – простой комплексный корень

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y(n) + a 1(x) y(n ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y(n) + a 1(x) y(n – 1) + … + an – 1(x) y + an(x) y = f(x). Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ y(n) + a 1(x) y(n – 1) + … + an – 1(x) y + an(x) y = 0 , Тогда его общее решение будет иметь вид y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + … + Cn yn , где C 1 , C 2 , … , Cn – произвольные постоянные. Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ, т. е. имеет вид y = C 1(x) y 1 + C 2(x) y 2 + … + Cn(x) yn , где C 1(x) , C 2(x) , … , Cn(x) – некоторые функции.

ТЕОРЕМА (О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ) Общее решение ЛНДУ n–го порядка равно сумме общего ТЕОРЕМА (О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ) Общее решение ЛНДУ n–го порядка равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и любого частного решения y (x) неоднородного уравнения, т. е. имеет вид y(x) = C 1 y 1 + C 2 y 2 + … + Cn yn + y (x) , где y 1 , y 2 , … , yn –решения, соответствующего ЛОДУ

ПРИМЕР ПРИМЕР

ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА характеристическое уравнение Два различных действительных ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА характеристическое уравнение Два различных действительных корня один корень комплексно сопряженные корни

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Если корни характеристического уравнения - вещественные и различные ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Если корни характеристического уравнения - вещественные и различные общее решение однородного уравнения o 2. Если корни характеристического уравнения корни комплексные общее решение однородного уравнения

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 3. Если корни характеристического уравнения - вещественные и кратные ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 3. Если корни характеристического уравнения - вещественные и кратные кратный корень общее решение однородного уравнения o 4. Если корни характеристического уравнения корни комплексные кратный корень общее решение однородного уравнения

ПРИМЕР Решение однородного уравнения частное решение ищем в виде общее решение неоднородного уравнения ПРИМЕР Решение однородного уравнения частное решение ищем в виде общее решение неоднородного уравнения

НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Правая часть - не является корнем характеристического НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Правая часть - не является корнем характеристического уравнения вид общего решения неоднородного уравнения корень кратности вид общего решения неоднородного уравнения Правая часть - не является корнем характеристического уравнения вид общего решения неоднородного уравнения

 Правая часть - является корнем характеристического уравнения кратности вид общего решения неоднородного уравнения Правая часть - является корнем характеристического уравнения кратности вид общего решения неоднородного уравнения