Тема: Дослідження некласичного підходу до розв’язання алгебраїчних рівнянь з точки зору теорії Галуа Керівник: к. ф. -м. н. , доцент Столярчук І. А. Виконав: ст. гр. 8. 42113 -1 Фасоляк А. В.
Основные определения из теории поля • О 1. Числовым полем называется любое подполе поля • О 2. Пусть – числовое поле и – фиксированные комплексные числа. Расширением поля , порожденным этими числами, называется такое наименьшее числовое поле , для которого и. Обозначается. • О 3. Поле называется квадратичным расширением поля , если найдется такая цепочка полей , (1) • что любое поле – простое квадратичное расширение поля. • О 4. Поле. . Тут простым радикальным расширением поля , – некоторый фиксированный элемент поля . • О 5. Последовательность полей, образованая по правилу из О 4 (2) • называется радикальной цепочкой или радикальным рядом длины s.
Основные определения из теории групп • О 6. Разрешимым рядом конечной группы называется последовательность групп: • , • где и – циклические фактор-группы. • О 7. Конечная группа, которая имеет хотя бы один разрешающий ряд, называется разрешимой группой (в противном случае – неразрешимой). • О 8. Полем разложения многочлена называется поле вида , , где – корни уравнения (обозначают ). • О 9. Уравнение называется разрешимым в радикалах, если существует хотя бы одна радикальная цепочка вида (1), для которой поле содержит все корни этого уравнения. • О 10. Группой Галуа уравнения называется группа Галуа поля разложения многочлена над полем коэффициентов этого уравнения, т. е.
Основные положения теории Галуа • Т 1. (Э. Галуа) Неприводимое уравнение , где , разрешимо в радикалах в том и только том случае, если его группа Галуа. разрешима. • Утв 1. Для любого алгебраического уравнения n-й степени, его группа Галуа изоморфна подгруппе симметрической группы n-го порядка. • Т 2. Пусть дано уравнение степени. Тогда: • 1) , если ; • 2) , если , • где – дискриминант уравнения. • Т 3. Если группа Галуа уравнения циклическая, то само поле. является радикальным расширением поля и даже его простым радикальным расширением. • Т 4. Если группа Галуа уравнения над полем разрешима, тогда существует радикальное расширение этого поля, содержащее поле разложения.
Алгоритм применения теории Галуа к решению алгебраических уравнений • 1. На предварительном этапе, для уравнения строится группа Галуа. • 2. Решается вопрос разрешимости этой группы, а уравнение проверяется на неприводимость над полем коэффициентов. Если группа Галуа не разрешима, тогда по Т. 1 исходное уравнение не разрешимо в радикалах. • 3. Если – неприводимое над алгебраическое уравнение с разрешимой группой Галуа: , которая имеет разрешимый ряд длины s, тогда необходимо построить простое радикальное расширение поля , которое содержит все корни уравнения. • 3. 1. Если – циклическая, тогда по Т. 3 поле – искомое поле. • 3. 2. Если – разрешима с разрешимым рядом длины s, тогда построение искомого поля проводится индукцией по переменной s: предполагая, что мы построили такое простое радикальное расширение поля , группа Галуа которого имеет разрешимый ряд длины s-1, указываем способ построения такого расширения для группы с разрешимым рядом длины s.
Пример решения в радикалах кубического уравнения (3) разрешима. . (4) (5) (6) (7)
(8) (9) (10) (11) (12) (13) Ответ: (14) (15)
Выводы – исследованы основные понятия теории Галуа; – приведены основные теоремы теории Галуа, которые устанавливают связь между свойствами группы Галуа алгебраического уравнения (разрешимость, цикличность) и разрешимостью этого уравнения в радикалах; – подобран набор вспомогательных теорем - критериев, которые позволяют для конкретных уравнений точно построить группу Галуа; – построен общий алгоритм применения теории Галуа к алгебраическим уравнениям; – на базе построенного алгоритма приведены примеры решения в радикалах квадратного, кубического уравнений и уравнения четвертой степени.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Скачать презентацию Тема Дослідження некласичного підходу до розв язання алгебраїчних рівнянь
Защита.ppt