Тема 8 (занятие 10 неделя 11).

Тема 8 (занятие 10 неделя 11). Логическая информация и основы логики 1

Формы мышления Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока, но в основе современной логики лежат учения , созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, впервые отделив логические формы мышления от его содержания. Логика – это наука о формах и способах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Мышление всегда осуществляется в каких то формах. Основные формы мышления – понятие, высказывание, умозаключение. 2

Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединенные понятием, образуют некоторое множе ство. Пример: понятия «компьютер» , «автомобиль» . Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Раскрыть содержание понятия – найти признаки, необходимые и достаточные для выделения объекта из множества всех объектов. Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую он распространяется. Пример: « персональный компьютер» . 3

Высказывание Свое понимание окружающего мира человек формули рует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, построенное на основе понятий, в котором что либо утверждается или отрицается. Высказывания могут быть выражены не только на естественных, но и на формальных языках (2*2=4; 6>8). По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет, если оно не соответствует действительности. Пример : «У слона есть хобот. Мыши ловят кошек. » Иногда истинность некоторых 4 высказы ваний является относительной. Пример: «Я учусь в

Высказывание – это форма мышления, в котором что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно либо ложно. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. Истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, а истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью алгебры высказываний (алгебры логики). Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство и т. п. Во всех других случаях высказывание называется единичным. 5

Пример 1. Определить значения истинности для следующих высказываний: «Лед – твердое состояние воды» – истинное высказывание. «Рим – столица Китая» – ложное высказывание. Пример 2. Определить тип следующих высказываний: «Все рыбы умеют плавать» – общее высказывание. «Некоторые медведи – бурые» – частное высказывание. «Буква А – гласная» – единичное высказывание. Задача 1: Какие из этих предложений являются высказы ваниями? Определите их истинность. Задача 2: Какие из этих предложений являются высказы ваниями? Определите их тип. 6

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Посылками умозаключения по правилам могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключения проводятся в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению. 7

Задача 1: Какие из следующих предложений являются высказываниями? Определите их истинность: 1. Число 6 – четное. 2. Посмотрите на доску. 3. У каждой лошади есть хвост. 4. Кто отсутствует? 5. Есть кошки, которые дружат с собаками. 6. Не все золото, что блестит. 7. Х 2 > 0. 8. Выразите 1 час 45 минут в минутах. 9. Наполеон был французским императором. 10. Не нарушайте правил дорожного движения! 11. Полярная звезда находится в созвездии Кита. 8

Задача 2: какие из приведенных высказываний являются общими, частными, единичными: 1. Не все книги содержат полезную информацию. 2. Кошки являются домашними животными. 3. Некоторые ученики получают двойки. 4. Моя собака любит гулять. 5. Все лекарства горькие. 6. У некоторых змей нет ядовитых зубов. 7. Все матросы умеют плавать. 8. Все металлы проводят тепло. 9. Никто не любит лечить зубы. 10. Любой неразумный человек ходит на руках. 11. Большинство людей ночью спят. 12. А – первая буква в алфавите. 9

Задача 3: определите истинность высказываний: 1. Не все книги содержат полезную информацию. 2. Кошки являются домашними животными. 3. Некоторые ученики получают двойки. 4. Моя собака любит гулять. 5. Все лекарства горькие. 6. У некоторых змей нет ядовитых зубов. 7. Все матросы умеют плавать. 8. Все металлы проводят тепло. 9. Никто не любит лечить зубы. 10. Любой неразумный человек ходит на руках. 11. Большинство людей ночью спят. 12. А – первая буква в алфавите. 13. Каждый человек – художник. 10

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание. В алгебре высказываний простые высказывания (суждения) обозначаются именами логических переменных (прописными буквами латинского алфавита), которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в резуль тате которых получаются новые, составные высказывания. 11

Логические величины, операции, выражения Логические величины – это понятия, выражаемые словами ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false). Т. е. истинность высказываний выражается через логические величины. Логическая константа : ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина, может принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок). Логические операции (функции) – принимают значения 0 ( «ложь» ) или 1 ( «истина» ). Значения логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов. 12

Логические операции Конъюнкция (логическое умножение). Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истины все входящие в него простые высказывания. В русском языке конъюнкция выражается союзом И. А В А&B В математической логике 0 0 0 используются знаки & или ^. 0 1 0 Конъюнкция – бинарная 1 0 0 (двухместная) операция, 1 1 1 записывается в виде А & B 13

Логические операции Дизъюнкция (логическое сложение). Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно входящее в него простое высказывание. В русском языке дизъюнкция А В А√B выражается союзом ИЛИ. В 0 0 0 математической логике 0 1 1 используются знаки √ или +. 1 0 1 Дизъюнкция – бинарная 1 1 1 (двухместная) операция, записывается в виде А √ B 14

Логические операции Инверсия (логическое отрицание). Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным. В русском языке инверсия выражается союзом НЕ. А Ā В математической логике 0 1 используются знаки Ā или ¬А. 1 0 Инверсия – унарная (одноместная) операция. 15

Логические операции Импликация (логическое следование). Логическое следование (импликация) образуется соеди нением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…» . Составное высказывание, образованное в результате операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует Вложный языке выражается союзами русском вывод (второе выск. ) если …, то…; когда … тогда…; коль А В А →B скоро…, то… и т. п. Первая часть выражения называется основанием 0 0 1 условного высказывания, а вторая 0 1 1 часть следствием. В математической 1 0 0 логике используются знаки → или =>. 1 1 1 Импликация – бинарная (двухместная) операция. 16

Логические операции Эквивалентность (логическое равенство). Логическое равенство (эквивалентность) образуется соеди нением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда …» . Составное высказывание, образованное в результате логи- ческой операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны. В русском языке выражается А В А ΞB союзами если и только если…, 0 0 1 тогда и только тогда, когда … В 0 1 0 математической логике используются знаки Ξ , или <¬>. 1 0 0 Эквивалентность – бинарная 1 1 1 (двухместная) операция. 17

Порядок логических операций Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены: отрицание конъюнкция дизъюнкция импликация эквивалентность. Кроме того, на порядок операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Пример: расставить порядок действий (А и В) или (не А и В) или (А и не В следует не В) 18

Задача 1: Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки «И» и «ИЛИ» : 1. Марина старше Светы. Оля старше Светы. 2. Слова в этом предложении начинаются на букву «А» . Слова в этом предложении начинаются на «Ч» . Задача 2: Определите значение истинности следующих высказываний: 1. Приставка – это часть слова, и она пишется раздельно со словом. 2. Буква «а» – первая буква в слове «аист» или «сова» . 3. Луна – планета или 2+3=5. 4. Данное число четно или число, большее его на 1 четно. 19

Задача 3: Используя логические операции, запишите высказывания, которые являются истинными при выполнении следующих условий: 1. Неверно, что 0 < X ≤ 3 и Y > 5. 2. X является max(X, Y). 3. Z не является max(X, Y, Z). 4. Каждое из чисел X, Y, Z положительно. 5. Хотя бы одно из чисел X, Y, Z не является положительным. 6. Только одно из чисел X, Y, Z больше 10. Задача 4: Записать логические выражения (формулы), истинные при соблюдении следующих условий: 1. Точка с координатами (X, Y) принадлежит первой чет верти единичного круга с центром в начале координат. 20 2. Положение переменной Х:

Задача 5: Определите значение логического выражения а) не (X > Z) и не (X = Y), если: 1. X = 3, Y = 5, Z = 2. 2. X = 5, Y = 0, Z = 8. б) не (X < Z) или (X > Y), если: 1. X = 3, Y = 5, Z = 2. 2. X = 5, Y = 0, Z = 8. Задача 6: Записать в виде логической формулы следую щие высказывания: 1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров. 2. Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя. 3. Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, или если он принимал «допинг» 21

Тема 9 (занятие 11 неделя 12) Логические выражения: логические схемы и таблицы истинности 22

Логические схемы и логические выражения Удобным способом представления логических выраже ний являются логические схемы. При этом 3 основные логические операции изображаются так: Конъюнкция Дизъюнкция Отрицание 0 0 1 0 И 0 ИЛИ НЕ 0 0 1 1 И 1 ИЛИ 1 0 НЕ 1 0 1 0 И 0 ИЛИ 1 И ИЛИ 1 23

Логические схемы и логические выражения Задача 1: Построить логическую схему по логическому выражению: не (А или В) и С, не (А или В и С) Задача 2: Построить логическую схему по логическому выражению: F = x 4 ۷ x 1 & x 2 & x 3 &(x 4 ۷ x 1) Задача 3: Построить логическое выражение по приведенной ниже логической схеме и вычислить его значения для: x 1 = x 2 = 1; x 3 = x 4 = 0. x 1 x 2 и x и 3 не или не x 4 24

Логические схемы и логические выражения Домашнее задание: Задача 1: Построить логическую схему по логическому выражению: (А или В) и не С, не (не А или не В и С) Задача 2: Построить логическую схему по логическому выражению: F = x 1 ۷ x 2 & x 4 & x 3 &(x 4 ۷ x 1) Задача 3: Построить логическое выражение по приведенной ниже логической схеме и вычислить его значения для: x 1 = x 3 = 1; x 2 = x 4 = 0. x 1 x 2 или x 3 или не и не x 4 25

Таблицы истинности • Каждое составное высказывание можно выразить в виде форму лы (логического выражения), в которое входят логические переменные, обозначающие простые высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции. • Для записи составного высказывания в виде выражения на формаль ном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании выде ляют простые высказывания и логические связи между ними. • Истинность или ложность составных высказываний можно опре делять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказы ваний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний. • Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений 26

Таблицы истинности Алгоритм построения таблицы истинности 1. Определить количество строк = 2 n + 1 (n – количество логических переменных). Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных. 2. Определить количество столбцов = m + n (n – количество логических переменных, m – количество логических операций). 3. Нарисовать таблицу из определенного в п. 1 и п. 2 коли чества строк и столбцов, подписать заголовки столбцов и внести всевозможные наборы значений исходных логиче ских переменных. 4. Заполнить таблицу по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности в соответствии с их таблицами истинности. 27

Таблицы истинности Пример: определить истинность логической функции F = ((C√B)→B)&(A&B) →B. Решение: Построим таблицу истинности этой формулы из n=23+1=9 строк, перебрав все варианты значений логических переменных А, В и С, и 3+5=8 столбцов. Расставим порядок действий. Введем чис ловые обозначения для логических величин: 1 – ИСТИНА, 0 – ЛОЖЬ. А В С C√B (C√B)→B A&B ((C√B)→B)&(A&B) F 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 Формула 0 1 1 0 1 тождес- 1 0 0 0 1 твенно 1 0 1 1 0 0 1 истинна 1 1 0 1 1 1 1 28

Таблицы истинности Домашнее задание: Задача 1: Определить истинность формулы: ( ( A ۷B ) → B ) & ( Ā ۷B ) Задача 2: Определить истинность формулы: A & B ↔ (Ā ۷ B) Задача 3: Определить истинность формулы: ( A→ B ) ↔ (B → Ā) 29

Равносильные логические выражения Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносиль- ными. Для обозначения равносильности логических выражений используется знак «=» . Пример: докажем, что два логических выражения равносильны: Ā & B и (A ۷ B). Строим таблицы истин ности. Т. к. значения в последних столбцах таблиц истин ности совпадают, логические выражения равносильны. А В Ā B F 1 A B A۷B F 2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 30

Логические функции Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(Х 1, Х 2, …, Хn), аргументами которой являются логические переменные Х 1, Х 2, …, Хn (простые высказывания). И функция, и аргументы могут принимать только два различных значения: «истина» (1) и «ложь» (0). Т. к. каждая логическая функция двух аргументов имеет 4 возможных набора значений аргументов, то количество различных логических функций двух аргументов N = 24 = 16. аргум. Логические функции А В F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 31

Логические законы и правила преобразования логических выражений Определять истинность сложного выражения с помощью таблиц истинности неудобно при увеличении числа логи ческих переменных, т. к. приходится перебирать слишком много вариантов. Тогда используется способ приведения формул к нормальной форме. Формула имеет нормальную форму, если в ней используются только знаки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных, и двойное отрицание отсутствует. 32

Логические законы и правила преобразования логических выражений Основные формулы преобразования • Закон тождества А=А • Закон непротиворечия А&Ā=0 • Закон исключения третьего А ۷ Ā = 1 • Закон двойного отрицания Ā = А • Законы де Моргана А ۷ В = А & В А&В=А۷В 33

Логические законы и правила преобразования логических выражений • Законы коммутативности А&В=В&А А۷В=В۷А • Законы ассоциативности (А & В) & С = А & (В & С) (А ۷ В) ۷ С = А ۷ (В ۷ С) • Законы идемпотентности А & А = А, А ۷ А = А • Законы дистрибутивности (А & В) ۷ (А & С) = А & (В ۷ С) – в алгебре ab+ac=a(b+c) • (А ۷ В) & (А ۷ С) = А ۷ (В & С) – в алгебре такого нет 34

Логические законы и правила преобразования логических выражений ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 1. А→В = А & В 2. А→В = А ۷ В 3. А ≡ В = (А & В) ۷ (А & В) = (А ۷ В) & (А ۷ В) 4. А & (А ۷ В) = А 5. А ۷ А & В = А 6. А & (А ۷ В) = А & В 7. А ۷ А & В = А۷ В 8. А۷ 1=1 А&1=А А&0=0 35

Решение логических задач Задача 1. Упростить логическую формулу: (А ۷ В) → (B ۷ C) = (А ۷ В) & (B ۷ C) = = (А ۷ В) & B ۷ (A ۷ B) & C = А & B ۷ В ۷ A & C ۷ B & C = = B & (А ۷ 1) ۷ C & (A ۷ B) = B ۷ A & C ۷ B & C = = B & (1 ۷ C) ۷ A & C = B ۷ A & C. Задача 2. Переведите к виду логической формулы высказывание: «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра» . Решение: Определим следующие простые высказывания: П – «погода пасмурная» , Д – «идет дождь» , В – «дует ветер» Получаем сложное высказывание: П → ( Д ↔ В ). 36

Решение логических задач Логические задачи обычно формулируются на естествен ном языке. Для их решения необходимо 1) формализовать записать на языке алгебры высказываний, 2)упростить полученные логические выражения, 3)проанализировать, возможно, используя таблицу истинности. Условие задачи. В школе есть две аудитории, в которых можно разместить кабинеты физики и информатики. На их дверях повесили таблички «В одной из этих комнат кабинет информатики» и «Это не кабинет физики» . Проверяющему сказали, что надписи либо обе истинны, либо ложны. Вопрос: где находится кабинет информатики? 37

Решение логических задач Решение задачи. Переведем условие задачи на язык логики. Выделим простые высказывания: А – «В первой комнате кабинет информатики» , В – «Во второй комнате кабинет информатики» . Тогда А – «В первой комнате кабинет физики» , В – «Во второй комнате кабинет информатики» . Тогда высказывание на первой двери Х = А ۷ В, а на второй двери Y = Ā. Т. к. надписи либо обе истинны, либо ложны, то можно записать (X&Y) ۷ (X & Y) = 1. Подставляем значения и упростим логическое выражение. (X & Y) ۷ (X & Y) = ((А ۷ В) & A) ۷ ((А ۷ В) & A) = B & A = 1. Ответ: в первой аудитории кабинет физики. А кабинет 38

Решение логических задач. Домашнее задание Условие задачи. Кто из учеников А, В, С и D играет в шахматы, если известно следующее: а) если А или В играют, то С не играет, б) если В не играет, то играют С и D, в) С играет. Подсказка: Определим следующие простые высказывания А – «ученик А играет в шахматы» , В – «ученик В играет в шахматы» , С – «ученик С играет в шахматы» , D – «ученик D играет в шахматы» . Запишем известные нам факты в виде сложных высказываний: а) (А ۷ В) → С, б) В → С & D, в) С. 39

Решение. ((А ۷ В) → С) &(В → С & D) & С = 1. 40

Задачи по логике в ЕГЭ А 9 Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. X Y Z F Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: 0 1 1 0 Какое выражение соответствует F? 1 1 1)X / Y / Z 2) ¬X / ¬Y / Z 0 0 1 1 3) / Y / Z 4) X / ¬Y / ¬Z X Решение: Построим таблицу истинности для каждого из четырех выражений. Значения столбцов для выражения 4) X /¬Y /¬Z и для F совпадают, значит можно сказать, что выражения равносильны. Ответ: 4. . X Y Z X / Y / Z ¬X/¬Y / Z X /¬Y /¬Z F 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 41

Задачи по логике в ЕГЭ А 10 Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A/¬(¬B/¬C) 1) ¬A / B / ¬C 2) A / (B / C), 3) A / B / C, 4)A / ¬B / ¬C Решение: Можно предложить два способа решения. Первый способ — сравнение таблиц истинности выражений. По определению два равносильных логических выражения имеют одинаковые значения истинности при любом наборе значений входящих в них переменных. Таблицу можно составить в таком виде (истина — 1, ложь — 0): А В С ¬A / B / ¬C A / (B / C) A / B / C A / ¬B / ¬C A / ¬ (¬B / ¬C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 42

Задачи по логике в ЕГЭ Анализируя таблицу, замечаем, что значения столбцов для выражения A /¬ (¬B / ¬C) и для A / (B / C)совпадают, значит можно сказать, что выражения равносильны. Второй способ — равносильное преобразование выражения. Применяем закон де Моргана для дизъюнкции и закон двойного отрицания: A/¬ (¬B / ¬C) = A/ (¬¬B / ¬ ¬C) = A / (B / C) Приходим к тому же результату. Ответ № 2. 43

Задачи по логике в ЕГЭ А 15 Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию: ¬(последняя буква гласная → первая буква согласная) / вторая буква согласная 1)ИРИНА 2)АРТЕМ 3)СТЕПАН 4)МАРИЯ Решение: Выделим входящие в условие простые высказывания: A = { последняя буква гласная } B = { первая буква согласная } С = { вторая буква согласная } Запишем логическое условие: ¬(A→ B) / С. Легко заметить, что данное логическое условие представляет собой логическое умножение (конъюнкцию) выражений ¬(A→ B) и С. Поскольку истинным должна быть конъюнкция, это возможно только в одном случае: если истины одновременно выражения: ¬(A→ B) и С. Отрицание импликации будет истинно, если импликация – ложь, а это возможно только в одном случае – если из истины следует ложь, т. е. A = 1, B = 0. Этому условию отвечает имя Ирина – A=1 {последняя буква гласная истина} B=0 {первая буква согласная – ложно}. Импликация в скобках – ложь, тогда отрицание импликации – истина. При этом истинно должно быть и высказывание С=1 {вторая буква согласная истина}, значит верный ответ 1) Ирина. Ответ: 1) 44