ТЕМА 6 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Тема

Скачать презентацию ТЕМА 6 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Тема Скачать презентацию ТЕМА 6 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Тема

2017-lekciya_6.ppt

  • Размер: 2.8 Мб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 45

Описание презентации ТЕМА 6 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Тема по слайдам

  ТЕМА 6 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Тема 6.  «Математические модели ТЕМА 6 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Тема 6. «Математические модели САУ»

Математическую модель САУ используютиспользуют  для изучения работы систем автоматического регулирования при установившемся режимеМатематическую модель САУ используютиспользуют для изучения работы систем автоматического регулирования при установившемся режиме работы, а также в переходных режимах. Тема 6. «Математические модели САУ»

Дифференциальное уравнение САУdt dх b dt хd b dt dy a dt yd aДифференциальное уравнение САУdt dх b dt хd b dt dy a dt yd a mmm m nnn n 2 2 11 1 10 aa ii , b ii — — постоянные коэффициенты, уу – управляемая (выходная) величина, хх – входная величина. Динамику линейных автоматических систем исследуют на основе неоднородных дифференциальных уравнений nn -го порядка с постоянными коэффициентами: Уравнение описывает динамический процесс изменения выходной величины при наличии возмущающих воздействий. . Тема 6. «Математические модели САУ»

Дифференциальное уравнение САУ; )()(xp. Myp. D В операторной форме это уравнение: D(p) – операторДифференциальное уравнение САУ; )()(xp. Myp. D В операторной форме это уравнение: D(p) – оператор левой части М(р) – оператор правой части Тема 6. «Математические модели САУ» , )( ; )( 1 10 m mm n nn bpbpbp. M apapap. D dt d p=p= — — оператор дифференцирования dt d

Дифференциальное уравнение САУn n m m apa bpb p. D p. M p. WДифференциальное уравнение САУn n m m apa bpb p. D p. M p. W 0 0 )( )( )( Часто используют понятие передаточной функции, выражение которой получают: Передаточная функция – это отношение операторов правой и левой частей дифференциального уравнения. Знаменатель передаточной функции определяет характеристическое уравнение для исходного уравнения, с помощью которого описывают свободные движения (например, колебания) системы. Тема 6. «Математические модели САУ»

Преобразование Лапласа  0 )()(dttfep. F pt Для решения дифференциального уравнения системы используют методПреобразование Лапласа 0 )()(dttfep. F pt Для решения дифференциального уравнения системы используют метод анализа, основанный на преобразованиях Лапласа. Тема 6. «Математические модели САУ» p=p= — — оператор дифференцирования или оператор Лапласа dt d f(t) – – функция вещественного переменного. F(p) – – изображение функции. Суть в том, что функция вещественных переменных заменяется ее изображением, связь между которыми осуществляется через оператор Лапласа: Такая замена позволяет свести решение дифференциальных уравнений к простейшим алгебраическим операциям для нахождения изображения. А зная изображение, можно найти искомую функцию по специальным формулам:

Преобразование Лапласа)()(p. Ftf Тема 6.  «Математические модели САУ» )()(p. Fptf nn 1)(, 1Преобразование Лапласа)()(p. Ftf Тема 6. «Математические модели САУ» )()(p. Fptf nn 1)(, 1 tf p F(p) то )sin()(), ( 22 attfapa. F(p) то t etf p F(p) )(, 1 то t etf pp F(p) 1)(, )( то

Преобразование Лапласа Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению,  получим связь изображений входной иПреобразование Лапласа Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, получим связь изображений входной и выходной функций: Тема 6. «Математические модели САУ» Откуда дифференциальное уравнение будет иметь вид: n n m m apa bpb px py p. W 0 0 )( )()()(pxp. Wpy Передаточная функция будет иметь вид: )( )( )( px py p. W

Амплитудно-фазовая частотная (АФЧ) характеристика системы Если в выражение передаточной функции подставить вместо оператора ррАмплитудно-фазовая частотная (АФЧ) характеристика системы Если в выражение передаточной функции подставить вместо оператора рр мнимую переменную jj , то полученное уравнение. Тема 6. «Математические модели САУ» определяет амплитудно-фазовую частотную характеристику системы )( )( )( jx jy j. W

Линейные системы Для линейных систем передаточная функция исчерпывающе характеризует поведение системы при любых возмущениях,Линейные системы Для линейных систем передаточная функция исчерпывающе характеризует поведение системы при любых возмущениях, так как значение W(p) не зависит от формы возмущения. Тема 6. «Математические модели САУ» Если принять в качестве внешнего воздействия функцию f(t) =1=1 , т. е. изображение функции х(р)=1 // рр , (соответствует единичному скачку внешней нагрузки — мгновенное приложение нагрузки), то изображение выходной величины имеет вид: p p. W ру )( )( Т. О. зная передаточную функцию системы, можно получить изображение управляемой величины и по формулам преобразования Лапласа перейти к динамической характеристике звена или системы. ЕСЛИ ЗНАМЕНАТЕЛЬ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ W(p) ПРИРАВНЯТЬ К 0, ТО ПОЛУЧИМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ ЕЕ СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ, Т. Е. МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ. .

ПРИМЕР: Пусть передаточная функция имеет вид: Тема 6.  «Математические модели САУ» Поскольку изображениеПРИМЕР: Пусть передаточная функция имеет вид: Тема 6. «Математические модели САУ» Поскольку изображение функции изменения выходного параметра имеет полученный вид, то сама функция имеет вид: 1 1 )( Тр р. WПолучить уравнение для выходного параметра y(t). . РЕШЕНИЕ: )(1 1 )1( 1)( )( pp T T p. Tp Tppр p. W рy t ety 1)(

Замечание Тема 6.  «Математические модели САУ» Для получения математической модели автоматической системы необходимоЗамечание Тема 6. «Математические модели САУ» Для получения математической модели автоматической системы необходимо все реальные элементы в системе заменить типовыми динамическими звеньями, преобразовав функциональную блок-схему в структурную схему системы, которая представляет собой соединение типовых динамических звеньев. Для структурной схемы требуется получить передаточную функцию системы и, приравняв знаменатель W(p) к 0, получить характеристическое уравнение системы или ее математическую модель.

Типовые динамические звенья и способы их соединения. . Тема 6.  «Математические модели САУ»Типовые динамические звенья и способы их соединения. . Тема 6. «Математические модели САУ» Типовое динамическое звено – часть автоматической системы, динамические свойства которого описываются дифференциальным уравнением не выше второго порядка. . ЛЮБОЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ ЗВЕНО ХАРАКТЕРИЗУЕТСЯ 1. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ЗВЕНА 2. 2. ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ 3. 3. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ Различают: 1. 1. Безынерционные звенья 2. 2. Инерционные звенья 3. 3. Колебательные звенья 4. 4. Дифференцирующие звенья 5. 5. Интегрирующие звенья.

БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» Звенья у которых при скачкообразном измененииБЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» Звенья у которых при скачкообразном изменении входного сигнала, выходной изменяется в kk раз. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (ДУ): ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (ПФ): АФЧ-ХАРАКТЕРИСТИКА (АФЧХ): kxy )()(pkxpy kk – – коэффициент статического преобразования или коэффициент преобразования k px py p. W )( )( )( ki. W)(

БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» К безынерционным звеньям можно отнести передаточныеБЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» К безынерционным звеньям можно отнести передаточные механизмы, усилители, насосы и др. ПРИМЕР: — — ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (ПФ)Механическая передачаr. V 11 22 xx yy rr 11 rr 22 VV 2211 rr 1 2 1 12 k r r Для насоса xx – атмосферное давление, у – давление, создаваемое насосом.

ИНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» при скачкообразном изменении входного сигнала, ИНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» при скачкообразном изменении входного сигнала, выходной сигнал стремиться к новому установившемуся значению по экспоненциальному закону. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (ДУ): ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (ПФ): АФЧ-ХАРАКТЕРИСТИКА (АФЧХ): kxy dt dy T )()()(pkxpyp. Tpy 1 )( Tp k p. W 1 )( j. T k j. W

ИНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» К инерционным звеньям можно отнести бакиИНЕРЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» К инерционным звеньям можно отнести баки с жидкостью, электродвигатели пост. тока, генераторы (при определенных допущениях), термопары, электрические цепи R-C и др. ПРИМЕР: электрическая цепь R-CR-CTRC kxy dt dy T RR CC ii UU UU ВЫХВЫХ dt d. U Ci. ВЫХ По По IIII закону Кирхгоффа составим уравнение электрической цепи UUi. RВЫХ UU dt d. U RCВЫХ yy tt RC t T t eey

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» при скачкообразном изменении входного сигнала, выходнойКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» при скачкообразном изменении входного сигнала, выходной сигнал колеблется относительного нового установившегося значения (положения равновесия) с амплитудой, затухающей по экспоненциальному закону. ДИФФУР (ДУ): ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (ПФ): АФЧ-ХАРАКТЕР. (АФЧХ): kxy dt dy T dt yd T 12 2 1 )( 1 22 2 p. T k p. W 1 )( 1 22 2 j. T k j. W ТТ 11 – коэффициент, характеризует демпфирование (диссипативные силы), ТТ 22 – коэффициент, характеризует раскачивающие свойства в системе

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» К колебательным звеньям можно отнести объекты,КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» К колебательным звеньям можно отнести объекты, имеющие подпружиненную массу, т. е. имеющие упругость ПРИМЕР: Колебательный контур R-L-C 21 TLCTRC dt d. U Ci. ВЫХ По По IIII закону Кирхгоффа составим уравнение электрической цепи UUi. R dt di LВЫХ UU dt d. U RC dt Ud LCВЫХ ВЫХВЫХ 2 2 RR CC ii. UU UU ВЫХВЫХLL kxy dt dy T dt yd T 12 2 yy tt

ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» Выходной сигнал пропорционален скорости изменения входногоДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» Выходной сигнал пропорционален скорости изменения входного сигнала. ДИФФУР (ДУ): ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (ПФ): АФЧ-ХАРАКТЕР. (АФЧХ): dt dx ky kpp. W)( jkj. W)( Примером являются: тахогенераторы, цепь R-CR-C с усилителем. ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ СХЕМЫ dt dx ky dt dy T ДЛЯ РЕАЛЬНОЙ СХЕМЫ СУЩЕСТВУЕТ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО (КОТОРОМУ СООТВЕТСТВУЕТ ПЕРВОЕ СЛАГАЕМОЕ)

ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6.  «Математические модели САУ» звено, в котором выходная величина пропорциональнаИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ. Тема 6. «Математические модели САУ» звено, в котором выходная величина пропорциональна интегралу по времени входной величины или скорость изменения выходного сигнала пропорциональна входному сигналу. ДИФФУР (ДУ): ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (ПФ): АФЧ-ХАРАКТЕР. (АФЧХ): t xdky 0 p k p. W)( j k j. W)( Примером являются: конденсатор, гидроцилиндр, пневмоцилиндр и др. ИЛИИЛИ kx dt dy ИДЕАЛЬНАЯ СХЕМА kx dt dy dt yd TИ 2 2 реальная схема, TT ИИ – – время разгона

СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ Тема 6.  «Математические модели САУ» К ОСНОВНЫМ (СТАНДАРТНЫМ) СОЕДИНЕНИЯМ ЗВЕНЬЕВ ОТНОСЯТСЯ:СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ Тема 6. «Математические модели САУ» К ОСНОВНЫМ (СТАНДАРТНЫМ) СОЕДИНЕНИЯМ ЗВЕНЬЕВ ОТНОСЯТСЯ: 44. . ЗВЕНО, ОХВАЧЕННОЕ ОБРАТНОЙ CC ВЯЗЬЮ ЧЕРЕЗ ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ЗВЕНО 33. . ЗВЕНО, ОХВАЧЕННОЕ ЕДИНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 1. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ y(p) x(p) yy 11 (p)(p) WW 22 (p)(p) 2. 2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ y(p) x(p) yy 11 (p)(p) WW 22 (p)(p) yy 22 (p)(p) y(p) x(p) W 1 (p) W 2 (p)y 1 (p) y(p) x(p) WW 11 (p)(p) -y(p)

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ Тема 6.  «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ y(p) x(p) yПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ Тема 6. «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ y(p) x(p) y 1 (p) W 2 (p))()()(12 pyp. Wpy )()()(11 pxp. Wpy )()()(1212 pxp. Wpyp. Wpy )()()( 12 p. Wp. W

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ Тема 6.  «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ)()()(11 pхp. Wpy )()()(1211ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ Тема 6. «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ)()()(11 pхp. Wpy )()()(1211 p. Wpxpypypy )()()( 12 p. Wp. W y(p) x(p) y 1 (p) W 2 (p) y 2 (p) )()()( 22 pхp. Wpy

ОХВАЧЕННОЕ ЕДИНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Тема 6.  «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ)()(1 pypxp.ОХВАЧЕННОЕ ЕДИНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Тема 6. «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ)()(1 pypxp. Wpy )(1 )( )( 2 1 p. W y(p)x(p) W 1 (p) -y(p)

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ЧЕРЕЗ ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ЗВЕНО Тема 6.  «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ)()()()(2111ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ЧЕРЕЗ ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ЗВЕНО Тема 6. «Математические модели САУ» ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ)()()()(2111 pyp. Wpxp. Wpy )()(1 )( )( 21 1 p. W y(p) x(p) W 1 (p) W 2 (p)y 1 (p)

ТЕХНОЛОГИЯ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ Тема 6.  «Математические модели САУ» ДляТЕХНОЛОГИЯ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ Тема 6. «Математические модели САУ» Для получения математической модели автоматической системы управления необходимо: 11 все реальные элементы в системе заменить типовыми динамическими звеньями, 22 преобразовать функциональную блок-схему в структурную схему системы, которая представляет собой соединение типовых динамических звеньев. 33 получить передаточную функцию системы и, 44 получить характеристическое уравнение системы или ее математическую модель, приравняв знаменатель W(p) к 0, .

ПРИМЕР ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Тема 6.  «Математические модели САУ» САУ регулированияПРИМЕР ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Тема 6. «Математические модели САУ» САУ регулирования напряжения генератора с независимым возбуждением. R н I в U ГОВГОВГ R х. Реостат G Пружина GG — генератор RR нн – нагрузка генератора (переменная величина) UU ГГ – выходное напряжение генератора ОВГ – обмотка возбуждения генератора II ВВ – ток в обмотке возбуждения генератора RR XX – переменное сопротивление, позволяющее регулировать ток обмотки возбуждения и, следовательно, выходное напряжение генератора

Выходной параметр – ИУЗАФ ОУ РОХ УСЭ ИЭцепь обратной связи. СОСТАВЛЯЕМ БЛОК-СХЕМУ САУ генератораВыходной параметр – ИУЗАФ ОУ РОХ УСЭ ИЭцепь обратной связи. СОСТАВЛЯЕМ БЛОК-СХЕМУ САУ генератора Тема 6. «Математические модели САУ» R н I в U ГОВГ R х. Реоста т G Пружина. U г (напряжение генератора)Объект управления ОУ – U г. ГЕНЕРАТОРВходной параметр – I в. Измерительный элемент ИЭ – КАТУШКА U г. На выходе ИЭ – F к. На входе в СЭ – Сравнивающий элемент СЭ – ПРУЖИНА F п =F п -F к. На выходе из СЭ – Исполнительное устройство ИУ – должно поменять положение «движка» реостата (механическая часть реостата, т. е. пружина + сердечник + движок) Регулирующий орган РО – генератор I в (ток возбуждения) катушка На входе ИЭ – напряжение генератора F к – усилие, развиваемое электромагнитом пружина F п – усилие пружины (начальная затяжка) =F п- F к реостат РЕОСТАТ

ЗАМЕНЯЕМ ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИКИ ТИПОВЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ЗВЕНЬЯМИ Тема 6.  «Математические модели САУ» ИУИУ ЗАФЗАФЗАМЕНЯЕМ ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИКИ ТИПОВЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ЗВЕНЬЯМИ Тема 6. «Математические модели САУ» ИУИУ ЗАФЗАФ ОУОУ РОРОХХ УУСЭСЭ ИЭИЭцепь обратной связи UU гг. ГЕНЕРАТОР II вв КАТУШКА UU гг FF кк. ПРУЖИНА FF пп =F=F пп -F-F кк Объект управления ОУ: Катушка – безынерционное звено (с некоторым допущением) Генератор – инерционное звено 1 )(1 1 p. T k p. W Г В В Г R L Т ВГ Г ГIk. U dt d. U T 1 В Г I U k 1 Измерительный элемент ИЭ: ГК Uk. F 2 22)(kp. WПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

ПРОДОЛЖЕНИЕ Тема 6.  «Математические модели САУ» ИУЗАФ ОУ РОХ УСЭ ИЭцепь обратной связиПРОДОЛЖЕНИЕ Тема 6. «Математические модели САУ» ИУЗАФ ОУ РОХ УСЭ ИЭцепь обратной связи U г. ГЕНЕРАТОР I в КАТУШКА U г F к. ПРУЖИНА F п =F п -F к Исполнительное устройство ИУ: Реостат – безынерционное звено (с некоторым допущением) механическая часть реостата, т. е. пружина + сердечник + движок 1)(31 22 2 3 1 p. T k p. W c m Т 2 2 Fc dt d m 2 с k 1 3 Рабочий орган РО: 4 k. I В 44)(kp. WПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ FF mm cc c Т

СТРОИМ СТРУКТУРНУЮ СХЕМУ САУ,  заменяя функциональные блоки типовыми звеньями Тема 6.  «МатематическиеСТРОИМ СТРУКТУРНУЮ СХЕМУ САУ, заменяя функциональные блоки типовыми звеньями Тема 6. «Математические модели САУ» W 3 (p) W 1 (p) W 4 (p) W 2 (p)цепь обратной связи ИУЗАФ ОУ РОХ УСЭ ИЭцепь обратной связи U г. ГЕНЕРАТОР I в КАТУШКА U г F к. ПРУЖИНА F п =F п -F к

ПРИВОДИМ СХЕМУ К ПРОСТОМУ ВИДУ Тема 6.  «Математические модели САУ» W 3 (p)ПРИВОДИМ СХЕМУ К ПРОСТОМУ ВИДУ Тема 6. «Математические модели САУ» W 3 (p) W 1 (p) W 4 (p) W 2 (p)цепь обратной связи Получим типовое соединение – соединение с обратной связью через промежуточное звено y(p) x(p) W Э (p) W 2 (p)y 1 (p)Заменим последовательное соединение типовых звеньев – эквивалентным звеном W 3 (p) W 4 (p) W 1 (p) W Э (p) )()( 143 p. Wp. W Э ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ)()(1 )( )( 2 p. W Э Э системы

ПОЛУЧАЕМ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ САУ Тема 6.  «Математические модели САУ» R н I вПОЛУЧАЕМ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ САУ Тема 6. «Математические модели САУ» R н I в U ГОВГ R х. Реоста т G Пружина )()(1 )()()( )( 2143 p. Wp. W системы ИМЕЕМ ПЕРЕДАТОЧНУЮ ФУНКЦИЮ САУ ПРИРАВНИВАЕМ ЗНАМЕНАТЕЛЬ К 0 0)()(1 2143 p. Wp. W 0 )1)(1( 1 1 22 2 4321 р. Тр. T kkkk Г ПОЛУЧАЕМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА – МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ САУ 0 32 2 1 3 0 арарара 2 20 ТТа. Г 2 211 ТТТа. Г 12 ТТа. Г 432131 kkkkа

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Тема 6.  «Математические модели САУ» МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРМИЕНЯЮТПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Тема 6. «Математические модели САУ» МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРМИЕНЯЮТ ПРИ ОЦЕНКЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАБОТЫ МАШИНЫ С СИСТЕМОЙ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАМКНУТОГО ТИПА (НАПРИМЕР СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА).

  Тема 6. 1 УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Тема 6.  «Математические модели САУ» Тема 6. 1 УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Тема 6. «Математические модели САУ»

Устойчивость –Устойчивость –  свойство возвращаться в состояние устойчивого равновесия после снятия возмущения, Устойчивость –Устойчивость – свойство возвращаться в состояние устойчивого равновесия после снятия возмущения, нарушевшего равновесное состояние. Тема 6. «Математические модели САУ» Устойчивая в большомв большом система – имеет устойчивость при любых отклонениях управляемой величиныимеет устойчивость при любых отклонениях управляемой величины Устойчивая в маломв малом система – обладает устойчивостью при небольшихпри небольших или строго определенных отклоненияхотклонениях Устойчивость – необходимое свойство функционирования любой системыфункционирования любой системы МЕТОДЫ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ 1. 1. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКИХ (ПЕРЕХОДНЫХ) ХАРАКТЕРИСТИК 2. 2. МЕТОД КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Метод динамических характеристик Тема 6.  «Математические модели САУ» Использует условия: если  ааМетод динамических характеристик Тема 6. «Математические модели САУ» Использует условия: если аа то система устойчива если аа то система неустойчива, t, y , t, 0 y tt yy 11 22 3344 1 – неустойчивая 2 – устойчивая 3 – устойчивая 4 – на грани устойчивости Получить динамические характеристики можно АНАЛИТИЧЕСКИ – требуется составить математическую модель у(р)= WW (р)(р) ·· х(р) ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО – требуется провести натурные испытания

Метод корней характеристического уравнения Тема 6.  «Математические модели САУ» ИСПОЛЬЗУЮТ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ –Метод корней характеристического уравнения Тема 6. «Математические модели САУ» ИСПОЛЬЗУЮТ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ – МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ САУ ПУСТЬ имеем аа 00 =1, аа 11 =2, аа 22 =0, 5021 2 0 арара Корни уравнения: рр 11 = – 0, 3 рр 22 = – 1, 7 ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ КОРНЕЙ РЕШАЕМ УРАВНЕНИЕ: ПУСТЬ 0 20 2 11 2 4 a aaaa p Для оценки устойчивости по корням уравнения используют теоремы устойчивости Ляпунова: Теорема 1. ЕСЛИ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИ НЕКОТОРЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАНЕНИЯ МЕНЬШЕ 0 , ТО СИСТЕМА – УСТОЙЧИВА (необходимое и достаточное условие) Теорема 2. ЕСЛИ ВЕЩЕСТВЕННАЯ ЧАСТЬ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ КОРНЕЙ УРАНЕНИЯ БОЛЬШЕ 0, ТО СИСТЕМА – НЕУСТОЙЧИВА. . Теорема 3. ЕСЛИ ВЕЩЕСТВЕННАЯ ЧАСТЬ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ КОРНЕЙ УРАНЕНИЯ РАВНА 0, ТО СИСТЕМА – НА ГРАНИ УСТОЙЧИВОСТИ. .

Специальные критерии устойчивости систем Тема 6.  «Математические модели САУ» Алгебраические критерии: критерий Гурвица,Специальные критерии устойчивости систем Тема 6. «Математические модели САУ» Алгебраические критерии: критерий Гурвица, критерий Раусса Частотный критерий: критерий Михайлова

Критерий Гурвица Тема 6.  «Математические модели САУ» ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ ФОРМИРУЕМ ДИАГОНАЛЬНЫЙ МИНОРКритерий Гурвица Тема 6. «Математические модели САУ» ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ ФОРМИРУЕМ ДИАГОНАЛЬНЫЙ МИНОР 032 2 1 3 0 apарара заполним диагональ минора коэффициентами уравнения, начиная с aa 11 ПУСТЬ система имеет уравнение: ЗНАЧЕНИЕ МИНОРА 33 =а=а 33 (а(а 11 аа 22 -а-а 33 аа 00 ))аа 11 аа 22 аа 33 сверху от главной диагонали размещаем коэффициенты уравнения по мере увеличения индексов, если коэффициента нет, то ставим 0 аа 33 00 00 снизу от главной диагонали размещаем коэффициенты уравнения по мере уменьшения индексов, если коэффициента нет, то ставим 0 аа 00 00 аа 11 ИЗ МИНОРА ВЫСШЕГО ПОРЯДКА ФОРМИРУЕМ ОСТАЛЬНЫЕ МИНОРЫ аа 11 аа 22 аа 33 аа 00 ЗНАЧЕНИЕ МИНОРА 22 =а=а 11 аа 22 -а-а 33 аа 00 аа 11 11 =а=а 11 ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ СЧИТАТЬ СИСТЕМУ УСТОЙЧИВОЙ НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ ВСЕ ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ БЫЛИ БОЛЬШЕ

Критерий Раусса Тема 6.  «Математические модели САУ» СОСТАВИМ СПЕЦИАЛЬНУЮ ТАБЛИЦУ 032 2 1Критерий Раусса Тема 6. «Математические модели САУ» СОСТАВИМ СПЕЦИАЛЬНУЮ ТАБЛИЦУ 032 2 1 3 0 apарара первая строка заполняется коэффициентами с четными индексами. ПУСТЬ система имеет уравнение: аа 11 аа 22 аа 33 вторая строка заполняется коэффициентами с нечетными индексами аа 33 00 остальные строки заполняют коэффициентами, вычисляемыми по формуле: аа 00 00 cc 11 33 , 1, 12, 1 nknnkknbrbc№ № строки nn rr nn номер столбца, kk 11 22 33 44 bb – – коэффициенты в двух предшествующих строках, rr 33 == аа 00 аа 22 rr 44 == аа 11 аа 33 == аа 22 — rr 33 00 cc 2323 == 00 rr 33 — 00 cc 3333 == 00 rr 33 — cc 2323 cc 11 44 == аа 33 — rr 44 00 00 заполняем таблицу, пока в 1 столбце не останется свободный коэффициент, а все остальные коэффициенты в строке должны быть равны 0 rr nn – расчетный параметр ЧТОБЫ СИСТЕМА БЫЛА УСТОЙЧИВОЙ НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ ВСЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРВОГО СТОЛБЦА БЫЛИ БОЛЬШЕ

Критерий Михайлова Тема 6.  «Математические модели САУ» Запишем уравнение в форме полинома черезКритерий Михайлова Тема 6. «Математические модели САУ» Запишем уравнение в форме полинома через оператор Лапласса 032 2 1 3 0 apарара четные степени дают. ПУСТЬ система имеет уравнение: ДЛЯ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ НЕОБХОДИМО НАЙТИ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЕКТОРА D(D( jj ) ) С ОСЯМИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 32 2 1 3 0)(apарараp. DЗаменим оператор рр комплексной переменной jj 32 2 1 3 0)()(ajаjаjаj. D Представим вектор D(D( jj ) ) в виде )()()(j. MBj. D В(В( )) – – действительная часть вектора, j. M( )) – мнимая часть вектора нечетные степени дают 2 13)()(aajaa. B )()(2 022 3 0 aajjajaj. M

Точки пересечения с осями комплексной плоскости Тема 6.  «Математические модели САУ» Пересечение сТочки пересечения с осями комплексной плоскости Тема 6. «Математические модели САУ» Пересечение с мнимой осью032 2 1 3 0 apарара ПУСТЬ система имеет уравнение: Пересечение с действительной осью : 0)(M 1021)(22 2132 aa. B 02 13 aa ПУСТЬ аа 00 =1, аа 11 =4, аа 22 =1, аа 33 =1=1: 0)(B 5, 0 1 31 a a 375, 0)5, 011(5, 0)()(22 10211 aaj. M 0)(2 02 aa 021 0 23 a a 1 1 1 21)(2 3133 aa.

Имеем три точки пересечения Тема 6.  «Математические модели САУ» ОТМЕТИМ ТОЧКИ НА МНИМОЙИмеем три точки пересечения Тема 6. «Математические модели САУ» ОТМЕТИМ ТОЧКИ НА МНИМОЙ ПЛОСКОСТИ 22 == 0 0 M(M( 22 )) =0 =0 B(B( 22 )) =1=1 B(B( ))M(M( ))Начинаем с точки имеющей наименьшее значение частоты : : 11 == 0, 5 M(M( 11 )) =0, 375 B(B( 11 )) =0=0 33 == 1 1 M(M( 33 )) =0 =0 B(B( 33 )) =-1=-1 +1+1+0, 375 -1 -1 00 n=1 n=1 n=2 n=2 n=3 n=3 n=4 n=4 №№ 11№№ 22 №№ 33 D(j ))СТРОИМ ВЕКТОР D(j )) ЧТОБЫ СИСТЕМА БЫЛА УСТОЙЧИВОЙ НЕОБХОДИМО И ДИСТАТОЧНО, ЧТОБЫ ВЕКТОР D(j )) НАЧАЛ СВОЕ ДВИЖЕНИЕ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ И И ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ОТ 0 ДО ∞∞ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО ПРОШЕЛ nn КВАДРАТОВ ПЛОСКОСТИ, ПОВЕРНУВШИСЬ ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ НА УГОЛ nn == /2/2 И НИГДЕ НЕ ОБРАТИЛЯ В 0 DD 11 (j(j )) DD 22 (j(j )) DD 33 (j(j )) ВЫВОД: СИСТЕМА, ИМЕЮЩАЯ ВЕКТОР D(j )) — — УСТОЙЧИВА СИСТЕМА, ИМЕЮЩАЯ ВЕКТОР DD 11 (j(j )) — НЕ УСТОЙЧИВА СИСТЕМА, ИМЕЮЩАЯ ВЕКТОР DD 22 (j(j )) — — УСТОЙЧИВА СИСТЕМА, ИМЕЮЩАЯ ВЕКТОР DD 33 (j(j )) — НЕ УСТОЙЧИВА