ТЕМА 4 МАТЕМАТИЧНІ ЕЛЕМЕНТИ ТОПОГРАФІЧНОЇ КАРТИ

ТЕМА 4 МАТЕМАТИЧНІ ЕЛЕМЕНТИ ТОПОГРАФІЧНОЇ КАРТИ

• План (логіка) викладу матеріалу: • 1. Рамки аркушів топографічних карт • 2. Картографічна проекція вітчизняних топографічних карт. Система плоских прямокутних координат на топографічній карті • 3. Орієнтування ліній (кути напрямів)

1. Рамки аркушів топографічних карт • Рамками топографічних карт є відрізки меридіанів та паралелей. • Внутрішня рамка служить для обмеження картографічного зображення і є відрізками меридіанів та паралелей. Сам аркуш є трапецією. У кутах аркушів карт підписуються координати його рамок. Розміри аркушів відповідають розграфленню.

• Паралельно до внутрішньої рамки проведена мінутна рамка – подвійна лінія, розділена на відрізки, які відповідають одній мінуті широти на бічних рамках і одній мінуті довготи на верхній та нижній рамках. Кожна мінута розділена на 6 проміжків – по 10 cекунд кожен. Мінутна рамка служить для визначення географічних координат точок або нанесення точок на карту за їхніми географічними координатами. Точність визначення географічних координат залежить від точності вимірів, масштабу карти, спотворень на карті при її друці.

• Потовщена зовнішня рамка обмежує саму карту від елементів допоміжного оснащення та допоміжної характеристики.

Фрагмент навчальної топокарти

• Координатами називають величини, які визначають положення певної точки на місцевості (на плані чи на карті) відносно прийнятої системи координат. Система координат встановлює початкові (вихідні) точки поверхні або лінії відліку потрібних величин – початку відліку координат та одиниці їх обчислення.

• На топографічних картах представлені система географічних координат та система плоских прямокутних координат. • Система географічних координат (географічні координати) застосовується для визначення положення точок земної поверхні відносно екватора й початкового (нульового) меридіана. Координатами є кутові величини: географічна широта B й географічна довгота L. Для визначення географічних координат на топографічних картах служить мінутна рамка. Кожна її поділка, рівна 1 мінуті довготи, розділена точками на 6 рівних частин, по 10 секунд кожна.

• Для визначення географічної широти слід провести найближчу з півдня до точки паралель, кратну 10″, опустити перпендикуляр із заданої точки на цю проведену паралель і зміряти його довжину m в мм. Крім того, слід зміряти довжину M десятисекундної поділки бічної рамки в мм (вона дорівнює 12, 0 мм) і підрахувати величину приросту широти: B=m 10″/M. Широта заданої точки визначається за формулою: B=Bпівд. +ΔB.

• Для визначення географічної довготи слід провести найближчий із заходу до точки меридіан, кратний 10″, опустити перпендикуляр із заданої точки на проведений меридіан і зміряти його довжину k, а також довжину десятисекундної поділки K на південній (чи північній) рамці (вона дорівнює 7, 0 мм), після чого знайти величину приросту довготи: L=k 10″/K і довготу точки за формулою: L=Lзах. +ΔL.

• Географічні координати передають горизонтальне (планове) положення точок. Але при роботі із топографічною картою необхідно знати і абсолютну висоту. Абсолютні висоти в Україні визначають в Балтійській системі висот (відносно поверхні геоїда). Для забезпечення правильного положення об’єктів, що наносяться на карту, необхідно визначити географічну широту та географічну довготу й абсолютну висоту певної кількості точок, а положення всіх інших – відносно цих.

• Точки, закріплені на місцевості із точно встановленими плановими і висотними координатами, називають опорними пунктами, які поділяються на пункти планової основи та пункти висотної основи. Сукупність опорних пунктів дає опорну геодезичну мережу. Точність визначення координат опорних пунктів впливає на точність геодезичної основи карти.

2. Картографічна проекція вітчизняних топографічних карт. Система плоских прямокутних координат на топографічній карті • Топографічні карти дуже точні, що дозволяє проводити широкий спектр вимірювальних робіт. Топографічні карти повинні мати мінімальні спотворення довжин і площ, які неминуче виникають при переході від еліпсоїдальної поверхні до площини.

• При картографуванні великих територій кривизна Землі буде впливати на величину спотворень. Тому для побудови топографічних карт в Україні та інших країнах Східної Європи застосовується поперечна циліндрична рівнокутна проекція Гауса-Крюгера (Гаус – німецький вчений, який розробив загальну теорію рівнокутних проекцій, а Крюгер – німецьких вчений, який розробив робочі формули даної проекції).

• Застосування цієї проекції дає можливість практично без суттєвих спотворень зобразити досить значні ділянки земної поверхні, і. що дуже важливо, побудувати на цій території систему плоских прямокутних координат. Ця система є найбільш простою і зручною при проведенні інженерних та топографо-геодезичних роботах. • Зображення земного еліпсоїда в проекції Гауса-Крюгера можна отримати таким чином.

• Еліпсоїд вписують в циліндр так, щоб один із меридіанів дотикався до його бічної поверхні, а площина екватора співпадала із віссю циліндра (була перпендикулярною до осі обертання Землі). Проектування поверхні земного еліпсоїда на бічну поверхню циліндра відбувається так, щоб нескінченно мала фігура еліпсоїда зберігала свою форму на проекції (бічній поверхні циліндра). Цим досягається рівність кутів на місцевості і на карті (площині).

• Після проектування поверхню циліндра розгортають в площину, розрізавши її по дотичних на полюсах. На отриманому зображенні земної півкулі дотичний меридіан та екватор зобразяться прямими, всі інші – кривими лініями. Масштаб зображення буде зберігатися на дотичному меридіані. В місцях, що прилягають до цього меридіана, спотворення будуть мінімальними, а при віддаленні від нього будуть швидко зростати.

Побудова картографічної проекції топокарт

Поперечна циліндрична рівновелика проекція Гауса-Крюгера

• У результаті досліджень було встановлено, що оптимальні розміри території зображення повинні обмежуватися меридіанами, віддаленими один від одного на 6°. Ця фігура отримала назва сфероїдального двокутника. Його розміри: 180° по широті (від полюса до полюса), і 6° по довготі. Не дивлячись на те, що площа зони в проекції (зони Гауса) буде збільшеною, відносні спотворення довжин у найбільш віддалених від середнього меридіана точках екватора на межі зони складатиме 1/800.

• Максимальні спотворення довжин в межах зони складає +0, 14%, а площ – +0, 27%, а в межах України – ще менші. Таким чином, спотворення довжин та площ в межах зони менші, ніж спотворення, що виникають при друці карти за рахунок деформації паперу. Зображення зони в проекції Гаусса практично не має спостворень і допускає будь-які карто- та морфометричні роботи.

• Кожна шестиградусна зона будується на окремому дотичному циліндрі. Границями зон є меридіани, які одночасно є границями колон, що використовуються при розграфленні аркушів карт. Границі зон на поверхні земного еліпсоїда проводяться в системі географічних координат. Нульовий (Гринвіцький) меридіан є західною границею першої зони, 6° сх. д. – 2 -ої, 12° сх. д. – 3 -ої. Всього є 60 зон. Їх нумерують із заходу на схід проти годинникової стрілки.

Зона Гауса

• Територія України знаходиться в 4 -7 зонах Гауса. для визначення довготи меридіанів, що обмежують зону, та середнього (осьового) меридіана зони застосовують такі формули: • • для східної півкулі: Lзах. =6°(n-1); Lос. =6°n – 3°; Lсх. =6°n;

• • • для західної півкулі: Lзах. =180° – 6°(n – 30 – 1); Lос. =180° – 6°(n – 30)+3°; Lсх. =180° – 6°(n – 30), де n – номер зони Гауса. • Нумерація колон і зон пов’язані між собою і різняться на 30 одиниць. У східній півкулі Nколони=Nзони+30.

Геодезичні шестиградусні зони

• Крім географічних координат (B, L, φ, λ), на топографічних картах можна визначити прямокутні координати точки чи, навпаки, нанести точку на карту за прямокутними координатами. Система плоских прямокутних координат створюється для кожної зони Гауса. Середній меридіан зони є осьовим і співпадає із напрямом осі абсцис – XX 1, а лінія екватора замінює вісь ординат YY 1. Північний напрям осі абсцис та східний напрям осі ординат прийнято вважати додатними, південний напрям осі абсцис та західний напрям осі ординат – від’ємними.

Схематичне положення ліній координатної сітки в межах зони Гауса по відношенню до меридіанів та паралелей

Зональна система координат

Х +х +х -у +у -х -х -у +у У

• Координатна сітка в зоні утворюється рівновіддаленими взаємно перпендикулярними лініями, проведеними паралельно до осьового меридіана зони XX 1 та екватора YY 1. Положення будь-якої точки на топографічній карті в системі плоских прямокутних координат визначається абсцисою X – відстанню від даної точки до екватора та ординатою Y – відстанню від точки до осьового меридіана.

• На території України X всюди має знак ”+“, а Y змінює знак: у західній половині зони він має знак ”-“. Це створює певні труднощі при обчислювальних роботах. Для зручності роботи із картами (щоб Y мав всюди знак ”+“) початок ординат (вісь Y чи осьовий меридіан) виносять на 500 км на захід із кожної зони Гауса. У результаті на осьовому меридіана всі точки матимуть ординату Y=500 км, ті, що знаходитимуться на захід від нього, – менші від 500 км, а ті, що на схід від осьового меридіана, – більші від 500 км. Координати, отримані при такому відліку Y, називають умовними, приведеними чи перетвореними.

• Позаяк однакові ординати точок можуть повторюватися в кожній із 60 -ти зон, на які розділена поверхня земного еліпсоїда, необхідно вказувати номер зони, в межах якої пункт знаходиться. Його вказують перед ординатою Y. Вираз X=6 072, 145 км означає, що від даної точки до екватора відстань 6 072, 145 км. Вираз Y=4 308, 890 км означає, що точка знаходиться в 4 -їй зоні, а відстань від неї до осьового меридіана, винесеного на 500 км із зони на захід, складає 308, 890 км.

• Для нанесення точок за їхніми прямокутними координатами та визначення цих координат на картах масштабу від 1: 10 000 до 1: 500 000 включно служить прямокутна координатна сітка, утворена вертикальними лініями, паралельними до осьового меридіана зони Гауса XX 1, та горизонтальними лініями. паралельними до екватора – YY 1. Ці лінії проводять на відстані 1 км чи 2 км, а тому їх називають лініями кілометрової сітки, а сітку прямокутних координат – кілометровою сіткою.

• Лінії сітки не паралельні до рамок карти, бо прямі осі координат не паралельні до меридіанів і паралелей (вони утворюють внутрішню рамку карти), які мають кривизну. • Координати ліній сітки, виражені в кілометрах, підписують біля рамок карти: абсциси – на бічних рамках, а ординати – на верхній та нижній. Повністю підписані лише крайні лінії: на карті У-34 -37 -В-в (Снов) масштабу 1: 25 000 горизонтальні – 6 065 км і 6 073 , вертикальні – 4 307 км і 4 314 км (перші цифри підписані дрібнішим шрифтом), на інших лініях вказуються лише десятки та одиниці кілометрів – 66, 67 чи 08, 09 і т. д.

Гаусове зближення меридіанів: а – сітка меридіанів і паралелей у зоні Гауса; б – кути між географічними меридіанами та вертикальними лініями кілометрової сітки

• Для вказівки локалізації об’єктів використовують скорочені координати – X і Y південно-західного кута квадрата кілометрової сітки, наприклад, гора Велика Михайлинська точка із висотою 213, 8 знаходиться в квадраті 6812 (кв. 6812) • На фрагменті карти точка з висотою 152, 7 знаходиться у квадраті 6613.

Визначення місця положення об”єктів за картою (скорочені координати)

• Труднощі при використанні зональної системи координат виникають тоді, коли топографо-геодезичні роботи проводяться на приграничних ділянках, розташованих в двох сусідніх (суміжних) зонах Гауса. Координатні лінії таких зон розташовуються під кутом одна до одної. Для ліквідації цих ускладнень вводиться смуга перекриття зон, у якій координати можуть бути визначені в обох суміжних зонах.

Розміщення координатних сіток у суміжних зонах (заштриховано смуги перекриття сусідніх зон – по 2°)

• Ширина зони перекриття складає 4° – по 2° із кожної із двох суміжних зон. Вперше ця система координат впроваджена в 1928 році, у 1932 році затверджена як загальнодержавна. Із введенням для геодезичної основи еліпсоїда Красовського вона отримала назву ”система координат 1942 року“.

• Для визначення прямокутних координат X і Y спочатку необхідно опустити перпендикуляр на південну горизонтальну (Δx) і західну вертикальну (Δy) сторони того квадрата кілометрової сітки, в межах якого знаходиться задана точка (для точки з висотою 167, 7 у кв. 7207 це лінії 6072 і 4307 відповідно). Довжини перпендикулярів вимірюють на лінійному масштабі в метрах (це відповідно Δx=630 м та Δy=110 м) і додають до цілих кілометрів абсциси X південної і ординати Y західної сторони квадрата сітки.

• Прямокутні координати точки з висотою 167, 7 у кв. 7207 X=6072, 630 км, Y=4 307, 110 км, • точки з вис. 198, 4 у кв. 7009 X=6070, 585 км, Y=4307, 270 км. • Точність одержаних значень прямокутних координат визначається точністю лінійних вимірів у масштабі карти, а також станом карти й кваліфікацією виконавця.

3. Орієнтування ліній (кути напрямів) • При роботі з топографічною картою доводиться визначати напрямки. Напрями ліній на місцевості чи на карті може бути визначений відносно якихось початкових напрямів.

• Таким напрямами можуть бути географічний (на топографічній карті він має назву істинного меридіана) меридіан, магнітний меридіан (збігається з напрямом вільно підвішеної магнітної стрілки), осьовий меридіан зони Гауса чи лінії до нього паралельні – вертикальні лінії кілометрової сітки. Через будь-яку точку земної поверхні чи точку на карті можна провести географічний меридіан, магнітна стрілка приладів дасть магнітний меридіан, а також можна провести лінію, паралельну до осьового меридіана зони Гауса.

Вихідні напрями

• Залежно від прийнятого початкового напряму розрізняють азимут географічний (дійсний, істинний), азимут магнітний, дирекційний кут. У зв’язку із цим кути на місцевості та на карті визначаються відносно цих названих вихідних напрямів, а відлік їх ведеться від 0° до 360° за ходом годинникової стрілки, тобто від вихідного напряму до напряму на даний предмет (до напряму даної лінії).

• Географічним (істинним, дійсним) азимутом Aіст. називається кут, який відраховують від північного напряму географічного (істинного) меридіана за ходом годинникової стрілки до напряму на даний предмет в межах від 0° до 360°. Для вимірювання на карті географічних азимутів заданого напряму в початковій точці лінії проводять за лінійкою географічний меридіан і транспортиром вимірюють кут між меридіаном і заданим напрямом.

• Магнітним азимутом Am називається кут, який відраховують від північного напряму магнітного меридіана до напряму на даний предмет за ходом годинникової стрілки в межах від 0° до 360°. Магнітні азимути напрямів вимірюються на місцевості за допомогою приладів, що мають магнітну стрілку (компаси, бусолі). На карті магнітні азимути можуть бути обчислені за зміряним істинним азимутом Aіст. і величиною магнітного схилення, яке вказується на полях карти, зліва від записів масштабів.

• Магнітне схилення (схилення магнітної стрілки) – кут між істинним (географічним) та магнітним меридіанами в даній точці. • Схилення від істинного меридіана на схід називається східним (додатнім), а на захід – західним (від’ємним). Зв’язок між магнітними та істинними азимутами можна представити так: Аm=Aіст. –.

Кути напрямів і зв”язок між ними

Кути напрямів

Схилення магнітної стрілки

Схилення магнітної стрілки +δ – східне, -δ - західне

• Дирекційним кутом напряму називається кут, який вимірюють від північного напряму осьового меридіана зони Гауса або від вертикальних ліній сітки до напряму на даний предмет за ходом годинникової стрілки в межах від 0° до 360°. Як правило, вимірюється на карті від вертикальних ліній кілометрової сітки. Використання вертикальних ліній сітки дає можливість швидко і точно зміряти кути за допомогою транспортира.

• Дирекційний кут можна обрахувати, знаючи зміряний на місцевості магнітний азимут та поправку на зближення меридіанів – кут між північним напрямом вертикальної лінії кілометрової сітки та північним напрямом географічного (істинного) меридіана. Для точок, які знаходяться у східній частині координатної зони (на схід від осьового меридіана), величина зближення меридіанів додатна, а для точок, розташованих у західній частині зони, – від’ємна.

Зближення меридіанів в координатній зоні Гауса

Зближення меридіанів на топокарті: а – західне (γ=-2˚ 21 ΄), б – східне (γ=+2˚ 12΄)

Графічне зображення дирекційних кутів та положення транспортира при їх вимірюванні

Вимірювання географічного азимуту та дирекційного кута на топокарті

• Зв’язок між кутами напрямів можна записати так: • • Am= a + (±g); a=Am– (±g); Am=a – d + g; a=Am+ d – g.

Зв”язок між дирекційними кутами й істинними азимутами

Визначення магнітних азимутів за зміряними дирекційними кутами

• Алгебраїчна різниця γ-δ=ПН називається поправкою напряму. Дані про величини γ і δ даються на графіку під південною рамкою карти. • На карті Снов чи Загоряни масштабу 1: 25 000 γ=-2° 22 , δ=+6° 12. Поправка напряму ПН=8° 34.

Визначення магнітних азимутів за зміряними дирекційними кутами

• У навігації, метеорології, лісо- та землеустрої використовують румби. Румб r – кут між напрямом даної лінії та найближчим напрямом меридіана (північним чи південним) в межах від 0° до 90°. Румби є географічні, магнітні та ті, що відраховують від вертикальних ліній сітки. Кожен румб характеризується вказівкою чверті горизонту, в якій розташований даний напрям, і величиною кута.

Зв”язок між азимутами і румбами • • • Наприклад, r=Пн. З: 16° 57 , якщо А=343° 03 ; r=Пн. С: 36° 21 , якщо А=36° 21 ; r=Пд. З: 37° 45 , якщо А=217° 45 ; r=Пд. С: 76° 28 , якщо А=103° 32.

Зв”язок між румбами і азимутами

З”язок між істинними азимутами і румбами

• У практиці вимірювань використовують прямі й обернені (зворотні) кути. Кути, зміряні у початковій точці, називаються прямими, а кути, зміряні в протилежному напрямі (чи в кінцевій точці лінії), називають оберненими. Зв’язок між прямими і оберненими істинними азимутами виражається формулою: Aоб. =Aпр. ± 180°+(±γ); • якщо точки розміщені близько (на карті У 34 -37 -В-в масштабу 1: 25 000), то Аоб. =Апр. ± 180°.

Зв”язок між прямими й зворотними азимутами

• Дирекційний кут прямої лінії постійний у всіх точках (в межах однієї зони), тому Аоб. = Апр. ± 180°. Наприклад: Апр. =145° 15 , Аоб. =145° 15 +180°=325° 15 ; • Апр. =271° 21 , Аоб. =271° 21 180°=91° 21 ; Апр. =28° 53 , γ =-2° 04 , • Аоб. =28° 53 -2° 04 +180°=26° 49 +180°= • 206° 49 ; • Апр. =295° 32 , γ=+1° 42 , Аоб. =295° 32 +1° 42 =298° 14 -

Кути напрямів та їх взаємозв”язок на топокарті

Література основна: • Топографія з основами геодезії: Підручник / А. П. Божок. В. Д. Барановський, К. І. Дрич та ін. ; За ред. А. П. Божок. – К. : Вища шк. , 1995. – Стор. 25 -36, 39 -46, 83 -85. • Топография с основами геодезии: Учебн. для студ. географ. спец. ун-тов / А. П. Божок, К. И. Дрич, С. А. Евтифеев и др. ; Под. ред. А. С. Харченко и А. П. Божок. – М. : Высш. шк. , 1986. – Стор. стор. 24 -36, 53 -60, 90 -97, 102 -104, 111 -121. • Артамонов Б. Б. , Штангрет В. П. Топографія з основами картографії: Навчальний посібник. – Львів: Світ, 2006. – Стор. 109 -123, 135 -144.

Література основна • Ратушняк Г. С. Топографія з основами картографії: Навчальний посібник. – К. : Центр навчальної літератури, 2003. – Стор. 37 -59. • Картография с основами топографии. Учебник для студентов естеств. -геогр. фак. пед. ин-тов. Под ред А. В. Гедымина. Ч. 1. Понятие о географической карте. Топографическая карта. Съёмка местности. – М. : Просвещение, 1973. – Стор. 49 -61. • Картография з основами топографии: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. “География” / Г. Ю. Грюнберг, Н. А. Лапкина, Н. В. Малахов, Е. С. Фельдман; Под ред. Г. Ю. Грюнберга. – М. : Просвещение, 1991. – Стор. 28 -38. • Ляшенко Д. О. Картографія з основами топографії: Навчальний посібник. – К. : Наукова думка, 2008. – Стор. 31 -39, 155 -159, 163167. • Новак Б. І. , Порицький Г. О. , Рафальська Л. П. Геодезія: Підручник. – К. : “Арістей”, 2008. – Стор. 19 -23, 41 -50, 73 -76.

Література додаткова: • Верещака Т. В. . Подобедов Н. С. Полевая картография. Учебник для вузов. 3 -е изд, перераб. и доп. – М. : Недра, 1986.