Тема 1. Антагонистические игры Введение 1.

Тема 1. Антагонистические игры Введение 1. Матричные игры в чистых стратегиях 2. Мажорирование (доминирование) стратегий

Введение Основные вопросы теории игр 1. Какие свойства стратегий следует считать признаками оптимальности? 2. Существуют ли стратегии игроков, которые обладали бы свойствами оптимальности? 3. Как определить оптимальные стратегии, если они существуют?

1. Матричные игры в чистых стратегиях Антагонистическая игра представляет собой математическую модель принятия решения в условиях противоположности интересов

? ? «Орел» «Решка» «Игра в орлянку» — игра двух лиц с нулевой суммой

Матрица игры 1 b 2 b 1 а 2 а Возможные чистые стратегии (орел) (решка) (орел) 1 -1 (решка) —

«Дилемма заключенного» Два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (допустим, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться , выдав при этом сообщника. Сознатьс я или нет? ? ? — игра с ненулевой суммой

сознаться. Не. Сознаться сознаться. Не Сознаться 1, 1 0, 10 01, 0 5, 5 Стратегии 2 -го игрока Стратегии l-го игрока «Дилемма заключенного» Матрица «выигрышей» для обоих игроков

Модель конечной матричной игры двух сторон с нулевой суммой 1 B 2 B k. B n. B 1 A 11 a 12 a 1 k a 1 na 2 A 21 a 22 a 2 k a 2 na i. A i 1 ai 2 aina m. Am 1 a m 2 amkamna. Игрок А Игрок В … … … … … … A i – стратегии игрока A B k – стратегии игрока В а ik – выигрыши A (проигрыши B ) ika

1 B 2 Bk. B n. B 1 A 11 a 12 a 1 ka 1 na 1 ka min 2 A 21 a 22 a 2 k a 2 na 2 ka min i. Ai 1 ai 2 ainaikki aminmax m. Am 1 am 2 amkamnamka min 1 maxia 2 maxiaikikamaxmininamax. Игрок А Игрок В Минимумы … … строк … … … … … … Максимумы столбцов … … ika

ik ki aminmax. Нижняя цена игры i А — максиминная стратегия Верхняя цена игры ik ik amaxmin k. B — минимаксная стратегия Цена игры V Игра с седловой точкой V i А k. Bи — оптимальные стратегии i. Аk. B ( , ) – решение игры ik a — седловая точка , ее значение — цена игры

Пример Две компании А и В продают два вида лекарств против гриппа. Компания А рекламирует продукцию на радио ( A 1 ), телевидении ( А 2 ) и в газетах ( А 3 ). Компания В, в дополнение к использованию радио ( B 1 ), телевидения ( В 2 ) и газет ( В 3 ) рассылает также по почте брошюры ( В 4. ). В зависимости от умения и интенсивности проведения рекламной кампании, каждая из компаний может привлечь на свою сторону часть клиентов конкурирующей компании. Компания «А» Компания «В» «Радио» «Телевидение» «Газеты» «Брошюры» ?

Компании В 1 В 2 В 3 В 4 А 1 8 -2 9 -3 А 2 6 5 6 8 А 3 -2 4 -9 5 Компании В 1 В 2 В 3 В 4 Минимумы строк А 1 8 -2 9 -3 -3 А 2 6 5 6 8 5 – максимин А 3 -2 4 -9 5 -9 Максимумы столбцов 8 5 – минимакс

2. Мажорирование (доминирование) стратегий Пример 6 5 4 3 2 1 A , A , A С учетом вариантов конъюнктуры Найти оптимальное решение. Возможные варианты среднедневного товарооборота в млн руб. приведены ниже : 54321 B , B , Bсложившейся на рынке, и поведения покупателей в микрорайоне города коммерческое предприятие разработало шесть технологий продажи товаров , 654321 A , A , A , A 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 AИгроки 0, 4 0, 9 0, 5 0, 6 0, 5 0, 7 0, 8 0, 9 0, 6 0, 3 0, 8 0, 6 0, 7 0, 3 0, 8 0, 5 0, 4 0, 3 0, 1 0, 3 0, 5 0, 4 0, 3 0, 4 0, 8 0, 5 0, 4 0,

6 5 4 3 2 1 A , A , A 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 1 A 2 A 3 A 4 AИгроки 0, 4 0, 9 0, 5 0, 6 0, 5 0, 7 0, 8 0, 9 0, 6 0, 3 0, 8 0, 6 0, 7 0, 3 0, 8 0, 5 0, 4 0, 3 1 B 2 B 1 A 2 A 3 A 4 A Игроки 0, 4 0, 9 0, 6 0, 5 0, 6 0, 3 0,

1 B 2 B 1 A 2 AИгроки 0, 4 0, 9 0, 6 0, 5 1 B 2 A 2 B 1 A Игроки Минимумы строк 0, 4 0, 9 0, 4 0, 6 0, 5 Максимумы столбцов 0, 6 0, 9 6, 05,