Т. В. Безрукова Инженерная и компьютерная графика Лекция № 6 Основные позиционные задачи на комплексном чертеже. Взаимное пересечение двух поверхностей
Алгоритм решения задачи 2. Способ параллельных вспомогательных плоскостей 3. Способ вспомогательных сфер 4. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка 1. План лекции
Задачи на взаимопринадлежность (взять точку на линии или поверхности, провести линию на поверхности, провести поверхность через данные линии); 2. Задачи на пересечение различных геометрических образов (найти точку пересечения линии с поверхностью или линию пересечения двух поверхностей). 1. Основные позиционные задачи на комплексном чертеже
Способ вспомогательных секущих поверхностей Даны две произвольные поверхности θ и Λ. Нужно построить линию их пересечения, т. е. определить точки, которые принадлежат линии их пересечения. 1) пересечь данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью Γ (посредником); 2) построить линии пересечения вспомогательной поверхности с данными: θ Γ =m; Λ Γ =n; 3) отметить точки пересечения полученных линий, лежащих на одной и той же поверхности Γ: m n= {K, L}; эти точки принадлежат поверхностям θ и Λ, следовательно, они являются общими точками для двух заданных поверхностей, т. е. искомыми; 4) построение повторить несколько раз (в результате получим плавную кривую, которая и является искомой линией пересечения поверхностей θ и Λ). Взаимное пересечение поверхностей: алгоритм решения задачи
Способ универсален и применяется для широкого класса задач. Он применяется тогда, когда вспомогательные плоскости, пересекая поверхности, дают в пересечении с каждой поверхностью такие линии. Как прямые и окружности. Далее рассмотрим ряд задач, решаемых этим способом. Способ параллельных вспомогательных плоскостей
A. Пересечение двух плоскостей Вспомогательная задача 1. Определить точку пересечения прямой с проецирующей плоскостью. Решение. Дана горизонтально-проецирующая плоскость Γ(Γ 1) и прямая АВ. Где лежит общая точка? Т. к. она принадлежит плоскости Γ, то очевидно, в пересечении ее горизонтального следа Γ 1 и прямой АВ: К 1=Γ 1 А 1 В 1 Вторую проекцию определим по принадлежности точки К к прямой АВ: К 2€А 2 В 2. Способ параллельных вспомогательных плоскостей
Вспомогательная задача 2. Определить линию пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью Решение. Дана плоскость общего положения Α(∆АВС) и горизонтальнопроецирующая Γ(Γ 1). Определение линии их пересечения складывается из двух задач 1 -го типа. Способ параллельных вспомогательных плоскостей
Построение линии пересечения плоскости общего положения Р и плоскости уровня, в частности, горизонтальной плоскости Г, показано на рисунке. Способ параллельных вспомогательных плоскостей
Основная задача. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения α(a b) и β(c //d). 1 1 Решение. Для нахождения линии пересечения заданных плоскостей введем две фронтально проецирующие плоскости, параллельные между собой δ 1// δ 2. Плоскость δ 1 пересекает заданные по прямым 1 -2 и 5 -6. Пересечение их дает первую точку М(М 1), затем М 2. Аналогично находится точка N. Способ параллельных вспомогательных плоскостей
Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей Г и Р, заданных следами. На наглядном изображении а) показана линия пересечения этих плоскостей – MN. Она проходит через точку N, в которой пересекаются фронтальные следы Г 2 и Р 2, и точку М, в которой пересекаются горизонтальные следы Г 1 и Р 1. При построении линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных непрозрачными треугольниками АВС и DEF, воспользуемся способом построения точек пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, т. е. в качестве прямых линий примем две стороны, DE и FE, треугольника DEF и определим точки пересечения их с плоскостью, заданной треугольником АВС. Частный случаи решения задач на пересечение плоскостей
B. Пересечение поверхности с плоскостью Линия, которая получаются при пересечении поверхности плоскостью, является плоской кривой. Чтобы построить проекции этой линии на чертеже, необходимо найти проекции ряда ее точек, а затем их соединить. Среди точек этой кривой есть такие, которые называются опорными. Это точки, которые выделяются своим особым расположением относительно плоскости проекций или занимают особые места на кривой. Например, это самая близкая и самая удаленная точки от плоскости проекций – экстремальные; точки видимости, проекции которых лежат на очерках поверхностей и т. д. Для нахождения таких точек часто приходится пользоваться специальным приемом. Для нахождения остальных точек кривой (их называют произвольными) пользуются общим приемом – способом вспомогательных плоскостей. Способ параллельных вспомогательных плоскостей
Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т. е. известна. Пример 1. Построить проекции сечения конической поверхности вращения с фронтальнопроецирующей плоскостью Σ. Решение. Заданная плоскость Σ пересекает исходную поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого расположена на следе этой плоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам в соответствии с задачей на принадлежность линии поверхности. Проекцию эллипса на плоскости Π 1 можно построить также по его большой Α 1Β 1 и малой C 1 D 1 осям. Фронтальная проекция малой оси эллипса (точки C 2=D 2) находится на середине отрезка А 2 В 2. Способ параллельных вспомогательных плоскостей
Показано построение проекций фигуры сечения прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения Ф, заданной треугольником АВС. Так как цилиндр прямой, горизонтальные проекции фигуры сечения и самого цилиндра будут совпадать. В сечении будет получаться эллипс. Для нахождения точек, ограничивающих большую ось эллипса (низшей и высшей), необходимо в плоскости треугольника АВС построить горизонталь h (h 1, h 2), т. к. большая ось совпадает с линией ската плоскости. Затем через ось цилиндра перпендикулярно h 1 проводим линию ската плоскости и заключаем ее в горизонтально-проецирующую плоскость Г (Г 1). Плоскость Г пересечет плоскость треугольника АВС по линии 23 (2131, 2232), а цилиндр – по прямоугольнику. Точки, общие для линии пересечения плоскостей и сечения цилиндра плоскостью Г – D и Е (D 1 D 2, Е 1 E 2) – и будут искомыми. Точки, ограничивающие малую ось эллипса – М и N – определим, проведя через ось цилиндра линию перпендикулярно горизонтальной проекции большой оси – 4 151 – и заключая ее в плоскость Λ. Точки, лежащие на крайних образующих и определяющие границы видимости – К и L (К 1 L 1, К 2 L 2) – определим при помощи фронтальной плоскости уровня Σ(Σ 1), а ближнюю и дальнюю точки линии сечения Q и R (Q 1 R 1, Q 2 R 2) – с помощью плоскостей Θ и λ, проведя их касательно к цилиндру через ближнюю и дальнюю образующие. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения R и G (R 1 G 1, R 2 G 2), определены с помощью горизонтальной плоскости уровня Τ (Τ 2). Способ параллельных вспомогательных плоскостей
В пересечении кругового цилиндра плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получаться: окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения цилиндра; эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра под углом, отличным от прямого; прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра. Плоские сечения. Цилиндрические сечения
В пересечении кругового конуса плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получиться: окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса под углом, отличным от прямого и пересекает все образующие конуса гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса; парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса; треугольник, если секущая плоскость проходит через вершину конуса. Плоские сечения. Конические сечения
Построение сечения конуса
1) Построения следует начинать с определения опорных точек; 2) Если заданные поверхности имеют случайное расположение в исходной системе плоскостей проекций, то для удобства решения полезно делать их расположение частным с помощью способов преобразования комплексного чертежа. Пример. Построить линию пересечения прямого кругового конуса и сферы В данном случае удобно выбрать в качестве посредника горизонтальные плоскости уровня Γ и Φ(они пересекают обе поверхности по окружностям, которые проецируются в прямую и окружность на плоскости проекций). Сначала определяются опорные точки линии пересечения: 1) наивысшая 2, как точка пересечения фронтальных проекций меридианов поверхностей сферы и конуса; 2) Точки видимости линии относительно горизонтальной плоскости проекций (все точки видимы). Затем находятся произвольные точки 3, 3’, 4 b 4’. Взаимное пересечение двух поверхностей
Пересечение фронтально проецирующего цилиндра вращения с конусом вращения Пересечение горизонтально проецирующего цилиндра вращения с полусферой Примеры на построение линий пересечения
Пересечение проецирующей призмы с конусом Примеры на построение линий пересечения
Способ концентрических вспомогательных сфер Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения при условии, что оси поверхностей пересекаются. Частный случай пересечения поверхностей вращения Представленные поверхности образованы вращением меридианов вокруг общей оси. Такие поверхности называют соосными. Они имеют общие параллели, которые являются их линиями пересечения. Можно сформулировать следующие два положения: 1) Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения меридианов этих поверхностей; 2) Эти окружности проецируются в виде прямых, перпендикулярных к оси соосных поверхностей, на ту плоскость проекций, которой ось параллельна. Способ вспомогательных сфер
Пример. Построить линию пересечения двух конусов. Определяем центр вспомогательных сфер – это точка пересечения осей конусов (точка О). Затем определяем радиусы наибольшей и наименьшей сфер. Для этого надо определить опорные точки линии пересечения, точки пересечения очерковых линий на пл. П 2. Это точки А, В, С и D. Отрезок, представляющий расстояние от наиболее удаленной точки С 2 до центра О 2, будет радиусом максимальной сферы: Rmax=О 2 С 2. Для определения радиуса наименьшей сферы следует опустить перпендикуляры из точки О 2 на очерковые образующие поверхностей и взять больший из них. Rmin на рисунке. Параллели, общие для произвольной вспомогательной сферы и двух заданных конусов определяют точки, принадлежащие линии пресечения. Способ вспомогательных сфер
Способ заключается в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры Пример. Построить линию пересечения конуса с открытым тором. Ось конуса лежит в плоскости средней линии тора, поэтому поверхности имеют общую плоскость симметрии, которая параллельна фронтальной плоскости проекций. Сначала определяются опорные точки линии пересечения 1 и 2, как точки пересечения фронтальных очерков поверхностей. Для построения произвольных точек через ось тора проводится вспомогательная плоскость Φ(Φ 2), которая будет фронтально-проецирующей. Эта плоскость рассечет тор по окружности с центром на средней линии тора. Из этого центра восставим перпендикуляр к плоскости Φ. Любая сфера с центром на этом перпендикуляре пересечет тор по окружности. Чтобы выбранная сфера пересекала и конус по окружности, ее центр следует взять в точке пересечения перпендикуляра с осью конуса, точка О(О 2). Способ эксцентрических сфер
Условия применения способа эксцентрических сфер: 1) пересекающиеся поверхности должны нести на себе семейства окружностей (поверхности вращения, циклические, цилиндрические и конические 2 -го порядка); 2) Поверхности должны иметь общую плоскость симметрии (которая параллельна одной из плоскостей проекций). Способ эксцентрических сфер
Из аналитической геометрии известно, что порядок линии пересечения равен произведению порядка поверхностей, значит линия пересечения двух поверхностей второго порядка – линия четвертого порядка. Большое практическое значение имеют случаи, когда эта кривая распадается на несколько кривых более низких порядков или даже прямые (два цилиндра с параллельными осями пересекаются по 4 -м прямым). Особенно важны те случаи, когда кривая распадается на две плоские кривые второго порядка. Теорема 1 (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют касание в 2 -х точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (второго порядка), плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка
Теорема 2 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка
На рисунке показаны два цилиндра равного диаметра с пересекающимися осями. Из точки пересечения осей может быть проведена сфера, вписанная в оба цилиндра. Обе поверхности пересекаются по линии, состоящей из двух эллипсов. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка
Скачать презентацию Т В Безрукова Инженерная и компьютерная графика Лекция
Лекция - пересечен. поверхн.2003.ppt