Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами выражается следующей теоремой:

Если функция α (х) -бесконечно малая величина при 0 xx или приx то функция )( 1 )( x xf есть величина бесконечно большая при 0 xx или приx

Проведем доказательство для случая По условию, α (х) — бесконечно малая величина при , следовательно 0 xx для любого, сколь угодно малого числа ε >0 , найдется такое число δ >0 , что при всех х , таких что | x — x 0 |< δ , выполняется неравенство: 0 xx )( x Это равносильно неравенству: 1 )( 1 x

Следовательно, Mxf)( , где )( 1 )( xxf 1 M Это означает, что является бесконечно большой величиной при 0 xx )(xf Справедлива и обратная теорема:

Если функция α (х) -бесконечно большая величина при 0 xx или приx то функция )( 1 )( x xf есть величина бесконечно малая при 0 xx или приx

Функция xycos является бесконечно малой величиной при 2 x Тогда функция x y cos 1 является бесконечно большой величиной при 2 x