Суммирование погрешностей 1 1 Введение в суммирование

Суммирование погрешностей 1

1. Введение в суммирование погрешностей Ø При расчете погрешностей следует помнить: 1. Каждое значение погрешности само обладает погрешностью. Ø 2. Следствие – правило округления погрешностей – результирующую (суммарную) погрешность не представляют более чем двумя значащими цифрами. Например, 0, 015 вместо 0, 014875 и т. п. Правило ничтожной погрешности: если одна из составляющих погрешности больше другой в 3 раза, то ей, как правило, пренебрегают, т. к. эта погрешность второго порядка малости (менее 10%): 2

2. Суммирование действительных погрешностей Ø Ø Действительное значение погрешности – есть приближенная оценка истинного значения. Действительное значение погрешности получают с помощью эталонов, которые в свою очередь также обладают погрешностями, правда, меньшими, чем оцениваемые. Подразумевается, что эти погрешности являются детерминированными величинами (по крайней мере за время эксперимента). Правило сложения детерминированных погрешностей – арифметическое сложение с учетом знака: 3

3. Суммирование случайных погрешностей, заданных числовыми характеристиками распределений Ø Ø Ø Ø Числовые характеристики случайных погрешностей получают из опыта: оценки математических ожиданий и оценки стандартных отклонений и оценку коэффициента корреляции Правило сложения числовых характеристик случайных погрешностей: При 4

4. Суммирование пределов погрешностей Ø Пределы погрешности СИ нормируют в виде границ интервала, в которых должна находиться погрешность с вероятностью, равной единице. Ø Границы интервала чаще всего устанавливают симметричными. Ø Ø Пример означает Правило сложения пределов погрешностей – арифметическое сложение модулей погрешностей 5

5. Композиция законов распределения Ø Ø Ø Наиболее достоверным способом суммирования является композиция законов распределения Исходными данными о суммируемых погрешностях являются их полные вероятностные характеристики, т. е. плотности вероятностей или функции распределения. Задача состоит в том, что бы найти закон распределения суммы случайных погрешностей. Закон распределения суммы случайных величин представляет собой композицию законов распределения, которая находится с помощью свертки: где – плотности вероятностей суммы и плотности вероятностей слагаемых, 6

5. Композиция законов распределения Ø 5. 1. Композиция двух законов распределения, один из которых характеризуется равномерной функцией плотности распределения а другой – непрерывной функцией плотности распределения Ø Плотность вероятности суммы этих двух случайных погрешностей (композиция) определяется выражением: 7

5. Композиция законов распределения Ø Учитывая, что Ø Отсюда Ø Таким образом, 8

5. Композиция законов распределения Ø Графическая интерпретация Ø Из полученного выражения следует, что композиция представляет собой разность смещенных друг относительно друга на (b – a) интегральных функций распределения второй составляющей. Ø Умножение на коэффициент делает результат нормированным, т. е. позволяет получить под построенной кривой площадь, равную единице. 9

5. Композиция законов распределения Ø 5. 1. 1. Композиция двух законов распределения, каждый из которых характеризуется равномерной функцией плотности распределения (при ) 0, 5 a m 1 b 1 c m 2 d 2 10

5. Композиция законов распределения Ø Для построения результирующего закона распределения отметим на оси абсцисс точки a; b; a+m 2; m 1+m 2; b+m 2. Вокруг точек a+m 2 и b+m 2 построим две кривые интегральной функции F 2( – a) и F 2( – b), как это показано на рисунке: 1 0, 5 a m 1 a+m 2 b m 1+m 2 b+m 2 11

5. Композиция законов распределения Ø Частный случай – при треугольный закон (закон Симпсона) 1 0, 5 a m 1 a+m 2 b m 1+m 2 b+m 2 12

5. Композиция законов распределения Ø 5. 1. 2. Композиция двух законов распределения, первый из которых характеризуется равномерной функцией плотности распределения, а второй – нормальной 0, 5 a m 1 b 1 m 2 2 13

5. Композиция законов распределения Ø Для построения результирующего закона распределения отметим на оси абсцисс точки a; b; a+m 2; m 1+m 2; b+m 2. Вокруг точек a+m 2 и b+m 2 построим две кривые интегральной функции F 2( – a) и F 2( – b), как это показано на рисунке: 1 0, 5 a m 1 a+m 2 b m 1+m 2 b+m 2 14

5. Композиция законов распределения Ø 5. 2. Композиция двух законов распределения, каждый из которых характеризуется нормальной функцией плотности распределения Ø даёт закон распределения, характеризующийся нормальной функцией плотности распределения с характеристиками и Ø В итоге 15

5. Композиция законов распределения Ø Пример определения доверительного интервала 16