Стереометрия Оглавление Стереометрия Аксиомы Некоторые следствия из

Стереометрия

Оглавление: Стереометрия Аксиомы Некоторые следствия из аксиом Параллельные прямые в пространстве Параллельность прямой и плоскости Скрещивающиеся прямые Углы с сонаправленными сторонами Угол между прямыми Параллельные плоскости Свойства параллельных плоскостей

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве(простейшие фигуры – точки, прямые, плоскости, геометрические тела). параллелипипед пирамида конус

В отличие от реальных предметов геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Изображением пространственной фигуры служит её проекция на ту или иную плоскость.

Аксиомы А 1. через любые 3 точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна. А . С В . . α

А 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. В . А . а α

А 3 если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую на которой лежат все общие точки этих плоскостей. . А β α а

Некоторые следствия из аксиом Th Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 1 а С В А α Дано: а, А а. Доказать: 1)(а, А)сα 2) α единственная Доказательство: } 1)В є а, С є а, А ∉ а ⇒(А, Б, С) с α ⇒(а, А) с α В с а, С с α, ⇒ а с α 2)(А, Б, С)с α, α-единственная (по А 1) чтд.

Параллельные прямые в пространстве Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Th. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. а в

Th Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. а О А в Дано: а, в; а ⋂в=0 Доказать: 1)(а, в)с α 2) α - единственная Доказательство 1)А Є а, А ∉ в ⇒ (в, А) с α (Следствие 1). ⇒ (а, в) с α. 2) А Є а, О Є а ⇒ а с α (А 1) }

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Параллельность прямой и плоскости Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: a) Прямая лежит в плоскости b) Прямая и плоскость пересекаются c) Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Th. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой – нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Следствие 1. если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следствие 2. если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. a) Прямые пересекаются b) Прямые параллельны c) Прямые скрещиваются Th. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

скрещивающиеся прямые Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Th. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

углы с сонаправленными сторонами Th. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Угол между прямыми Угол между пересекающимися прямыми равен α. Угол между скрещивающимися прямыми равен φ.

Параллельные плоскоти Параллельность а а || в а || β α а в Лежат в одной плоскости и не пересекаются β Не имеют общих точек β Не пересекаются и не совпадают

Теоремы Две плоскости называются параллельными если они не пересекаются и не совпадают.

Th Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым др. плоскости, то эти плоскости параллельны. Дано: а с α, в с α, а ⋂ в=м а’с β, в’ с β, а’ ⋂ в’ = м’ а||а’, в||в’ Доказать: α || β Доказательство 1)а с α, а ⋂ а’, а’ с β ⇒ а || в в с α, в || в’, в’ с β ⇒ в || β 2) ] α ⋂ β= а с α, α ⋂ β = с, а || β = с || а в с α, в ⋂ β, α || β = с с || а / ⇒ α ⋂ β ⇒ α || β } а || в чего не может быть

Свойства параллельных прямых Свойство первое. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Свойство второе. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Задача 1(49) Прямая m пересекает плоскость α в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через прямую m и параллельная плоскости α?

Задача 2(52) Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.