Справочный материал Теория погрешностей
Абсолютная погрешность • Пусть х – точное значение некоторой величины; а – приближенное значение числа х. • Определение 1. Разность точного и приближенного значения величины называется погрешностью приближения • Определение 2. Модуль разности точного и приближенного значения величины называется абсолютной погрешностью приближения
• Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью приближения называется число , такое что • Замечание. Очевидно, что чисел бесконечно много. На практике выбирают возможно меньшее из этих чисел.
Относительная погрешность • Определение 4. Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения величины х • Замечание. Так как точное значение величины обычно неизвестно, то его заменяют приближенным значением, тогда
• Определение 5. Предельной относительной погрешностью приближения называется число , такое что • Замечание. Обычно за предельную относительную погрешность принимают число. • Иногда ее выражают в процентах. • Очевидно, что если известна относительная погрешность, то
Десятичная запись приближенных значений чисел • Определение 6. Цифра α в десятичной записи приближенного значения величины х называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, которому принадлежит цифра α.
• Пример. х = 7, 158 ± 0, 0009, где 0, 0009 – абсолютная погрешность приближения. Выясним, какие цифры числа являются верными в широком смысле. По определению мы должны сравнить единицу разряда, в котором стоит цифра с абсолютной погрешностью. Обычно этот процесс начинают с последней цифры: цифра 8 стоит в разряде тысячных, единицей этого разряда является 0, 001; сравним единицу разряда с абсолютной погрешностью 0, 001>0, 0009, то есть абсолютная погрешность меньше, чем единица разряда, в котором стоит цифра 8, следовательно, эта цифра верна в широком смысле. • Очевидно, что все остальные цифры данного числа в широком смысле будут верны, так как единицы разрядов, в которых они стоят уже больше, чем 0, 001.
• Определение 7. Цифра α в десятичной записи приближенного значения величины х называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит половины единицы того разряда, которому принадлежит цифра α.
• Пример. х = 7, 158 ± 0, 0009, где 0, 0009 – абсолютная погрешность приближения. Выясним, какие цифры числа являются верными в строгом смысле. По определению мы должны сравнить половину единицы разряда, в котором стоит цифра с абсолютной погрешностью. Этот процесс тоже начинают с последней цифры: цифра 8 стоит в разряде тысячных, половина единицы этого разряда 0, 0005; сравним это число с абсолютной погрешностью 0, 0005 < 0, 0009, то есть абсолютная погрешность больше, чем половина единицы разряда, в котором стоит цифра 8, следовательно, эта цифра верной в строгом смысле не является. • Цифра 5 стоит в разряде сотых половина единицы этого разряда 0, 005; сравниваем: 0, 005 > 0, 0009 , то есть абсолютная погрешность меньше, чем половина единицы разряда, в котором стоит цифра 5, следовательно, эта цифра и все цифры данного числа, стоящие левее являются верными в строгом смысле.
Связь между количеством значащих цифр и относительной погрешностью • Определение 8. Значащими цифрами числа, записанного в виде десятичной дроби, называются все его верные цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля. • Пример. Числа 7, 36; 0, 000201; 564; 0, 300 имеют по три значащих цифры, если все цифры каждого числа верные
• По количеству значащих цифр можно легко оценить относительную погрешность, используя следующее правило. • Правило. Предельную относительную погрешность можно принять равной дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель – целое число, записанное при помощи всех значащих цифр данного числа. Если же известно, что в десятичной записи все цифры верны с строгом смысле, то относительная погрешность вдвое меньше, чем та, которая получена по указанному правилу.
• Пример. Пусть а = 0, 065 – приближенное значение с верными в широком смысле цифрами. • Очевидно, оно имеет две значащие цифры 6 и 5. • Воспользуемся правилом: . • Если же принять, что цифры данного числа верны в строгом смысле, то
Погрешности результатов действий над приближенными значениями чисел Действия над числами
Скачать презентацию Справочный материал Теория погрешностей Абсолютная погрешность
Справочный материал погрешности.ppt