Собственные функции и собственные значения операторов Если при действии оператора F на функцию (x) получается та же функцию, умноженная на некоторый множитель F (x) = f (x), то говорят, что функция (x) является собственной функцией оператора F, принадлежащей собственному значению (или собственному числу) f.
Ограничения решений Решения: exp(ax) и exp( ax )
Квантование Оператор Значения = 0 и = 2 соответствуют одной и той же точке. Потребуем, чтобы решения были однозначными
(0) = (2 ) Из граничных условий следует или а/ – целое число (m) Решение (m = 0, 1, 2 …) Собственные значения равны m Спектр дискретен
Собственные значения и квантовые числа • Индекс m при собственных функциях введен для удобства, чтобы можно было различать функции, принадлежащие разным собственным значениям. Эти индексы называют квантовыми числами.
• Сколько может быть собственных функций (и значений) у оператора?
Оператор в показателе степени • Оператор (х)= (х)
Формально решение уравнения Шредингера может быть записано в виде. Таким образом, изменение состояния системы может быть рассматриваться как действие на волновую функцию оператора , который называют оператором эволюции или пропагатором.
Теоремы об собственных значениях и собственных функциях эрмитовых операторов • Собственные значения эрмитовых операторов вещественны. • Пусть n(x) – собственная функция оператора F, принадлежащая его собственному значению fn. Тогда
• С другой стороны, этот интеграл равен своей комплексно-сопряженной величине • Таким образом , что и требовалось доказать.
Собственные функции эрмитовых операторов ортогональны, то есть если i k
Докажем сначала это свойство для случая, если функции принадлежат разным собственным значениям F i(x)=fi i(x), F k(x)=fk k(x) или (F k(x))* = fk* k*(x), fi fk.
Задача • • Докажите, что если а – собственное значение оператора • , то собственное значение оператора • • равно
Задача • Написать оператор потенциала, создаваемого атомными ядрами атомов азота, расположенных в точках (0, 0, 0) и (0, 0, 2. 5).
Скачать презентацию Собственные функции и собственные значения операторов Если при
Кванты Lecture1.ppt