СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА-ВЕННА
МЕСТО, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ «Теория вероятностей и математическая статистика» включена в базовую часть математического и естественнонаучного цикла для специальности «Организация работы с молодёжью» . Лектор: кандидат технических наук, доцент кафедры технической кибернетики Кем. ГУ Инденко Оксана Николаевна (тел. 54 - 25 - 09, ауд. 4407, ул. Терешковой, 40).
Целями освоения дисциплины являются: – формирование математической культуры студентов, – фундаментальная подготовка студентов в области теории вероятностей и математической статистики, – овладение современным аппаратом обработки статистических данных для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: основные понятия, определения и свойства объектов теории вероятностей и математической статистики, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах профессионального цикла.
Уметь: решать задачи теории вероятностей, уметь применять полученные навыки для обработки статистических данных в других областях математического знания, дисциплинах профессионального цикла и научноисследовательской работе. Владеть: навыками нахождения вероятности случайного события, методам нахождения точечных и интервальных оценок параметров распределения, навыками проверки статистических гипотез.
Стандарт по дисциплине Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Вероятностное пространство. Случ. величины и способы их описания. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социальноэкономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных сл. величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема. Цепи Маркова и их использование в моделировании соц. -экономических процессов.
Рекомендуемая литература: 1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика М. : Высшее образование, 2007. 2. Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике М. : Высшее образование, 2007. 3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник М. : Юнити, 2007. 4. Кочетков Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник – М. : ФОРУМ, 2012
«Теория вероятностей - наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. . . (математическая наука, выясняющая на теоретикомодельном уровне закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов)» .
Зарождение теории вероятностей как науки началось с того, что шевалье де Мере предложил салону Мерсенна (Мерсенн Марен 1588 -1648 - фр. математик) задачи: 1. Сколько раз нужно бросить игральные кости, что бы случаев выпадения сразу двух шестёрок было больше половины от общего числа бросаний? 2. Как справедливо разделить поставленные на кон деньги, если игроки прекратили игру преждевременно? Вызов был принят Блезом Паскалем и Пьером Ферма.
Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623 - 1662), Ферма (1601 - 1665) и Гюйгенса (1629 - 1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли в задачах страхования.
Джон Граунт (английский учёный, родоначальник науки демографии) в 1662 году впервые составил таблицы вероятности смерти как функции возраста. Ван Худде (1633 или 1640 - 1704 голландский математик) и Ван де Витт (Главное нидерландское общество страхования жизни) применили её для вычисления пожизненной ренты. Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654 - 1705).
Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – закона больших чисел. Муавр (1667 - 1754) впервые ввел в оборот и обосновал для простейшего случая так называемый нормальный закон (иначе – закон Гаусса). Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название «центральной предельной теоремы» .
Лаплас (1749 - 1827) впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, представил доказательство одной из форм центральной предельной теоремы и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности, к анализу ошибок наблюдений и измерений. Гаусс (1777 - 1855) дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный как «метод наименьших квадратов» .
Тема: Основы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Изучая любое явление в природе пытаемся, определить его закономерности. Наиболее часто их установление происходит по схеме: G ЯВЛЕНИЕ A G - комплекс условий; А - событие, которое может произойти в результате осуществления комплекса условий G.
Средой применимости теоретико-вероятностного способа рассуждения является ситуация не изменяющегося во времени действия большого числа случайных факторов, не позволяющих делать полностью достоверные выводы о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие. При этом предполагают: имеется принципиальная возможность многократного повторения эксперимента в рамках одного комплекса условий - условие соблюдения статистической однородности исследуемой совокупности.
Понятия теория вероятности: Опыт - действие, результат которого заранее неизвестен. Например, результат бросания монеты или игральной кости. Эксперимент - один или несколько опытов. Например, бросание монеты 6 раз. Исход - возможный результат эксперимента. Например, монета брошена 6 раз, результат: «решка» , «орел» , «решка» . Событие один или несколько исходов эксперимента. Например, монета брошена 6 раз, событие: 2 «орла» , 4 «решки» .
Предметом теории вероятностей является изучение законов, управляющих случайными событиями. К основным понятиям теории вероятностей относятся ИСПЫТАНИЕ и СОБЫТИЕ. Под испытанием понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие.
Примеры: 1. Брошена монета - испытание. Появление орла или решки - событие. 2. Брошена игральная кость - испытание. Выпадение определенного количества очков- событие. 3. Произведен выстрел по мишени - испытание. Попадание или промах - событие. Совокупность элементарных событий обозначается Ω и называется пространством элементарных событий.
Под случайным понимается событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. Испытанием считают как целенаправленное действие, так и явление, происходящее независимо от наблюдателя. Пример 1. Испытание – подбрасывание монеты. События – выпадение «орел» , «решка» . Пример 2. Студент сдает экзамен – испытание. Студент получил оценку «отлично» – событие.
Множество всех элементарных событий Е называется пространством элементарных событий. Может состоять из одного или нескольких элементарных событий, например, появление двух тузов подряд при вынимании карт из колоды, или выпадение одного и того же числа при трёхкратном бросании игральной кости. Т. е. событие - произвольное подмножество пространства элементарных событий.
События делятся на достоверные, невозможные и случайные. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий, обозначается Ω. Вероятность достоверного события равна 1. Пример: игральный кубик подбрасывается вверх, выпадет число от 1 до 6. Невозможное событие (Ø). Событие, которое никогда не произойдет при определенной совокупности условий. При бросании игральной кости невозможное событие - её падение на ребро.
Предположим, что комплекс условий G мы можем повторять многократно. Если в результате каждого выполнения G постоянно наступает событие А, то А называют достоверным. Например, если вода при атмосферном давлении в 760 мм рт. ст. нагревается выше 100° по Цельсию (комплекс условий G), то она превращается в пар (событие А). Или: при бросании игральной кости, достоверное событие – выпадение числа очков в пределах от 1 до 6.
Если при многократном повторении условий G событие А ни в одном не может наступить, то событие - невозможное. Например, замерзание воды при её нагревании в ограниченном объеме. Вывод: В окружающем мире имеется множество явлений, в которых при каждом осуществлении комплекса условий G интересующее нас событие А может произойти, или нет. Такие события - слyчайные.
Случайным событием называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Пример: вынутой на удачу из колоды картой окажется туз Вероятностью события называется численная мера возможности появления события в результате данного опыта. Вероятность события А обозначается Р(А).
События А и В называются тождественными ( А = В ), если событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В. Событие А' называется противоположным событию А, происходит, если не произошло событие А. Промах и попадание при стрельбе – противоположные события. Если проведении опыта могут произойти несколько событий и каждое из них не является более возможным, чем другое, то такие события называются равновозможными.
Наглядно представим события в виде диаграммы Эйлера — Венна. Изобразим все пространство элементарных исходов прямоугольником. При этом каждый элементарный исход ω соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие A некоторому подмножеству точек этого прямоугольника. Трактовкой диаграммы Эйлера-Венна может служить опыт с бросанием случайным образом частицы в прямоугольник. Тогда элементарный исход ω - это попадание частицы в точку ω прямоугольника, а событие A в часть прямоугольника, задаваемую подмножеством A.
Диаграммы Эйлера-Венна. Прямоугольник - пространство элементарных исходов. Каждый элементарный исход ω соответствует точке внутри прямоугольника, а событие A некоторому подмножеству точек прямоугольника.
Пересечением (произведением) событий A и B называют событие C, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события A и B, т. е. событие, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию A, и событию B. Пересечение событий A и B записывают: C = A ∩ B или C = A·B.
Пример. Событие А — извлечение из колоды карты пиковой масти, событие В — извлечение из колоды дамы. Тогда событие С = А·В - извлечение из колоды дамы пик.
События A и B называют несовместными, если их пересечение является невозможным событием, т. е. если A ∩ B = ∅.
Объединением (суммой ) событий A и B называют событие C, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или B, т. е. событие C, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из подмножеств A или B. C = A U B или C = A + B.
Пример. Если событие А- появление пяти очков при бросании игральной кости, а В - шести очков, то событие С = А + В - появление не менее пяти очков.
Разностью двух событий A и B называют событие C, происходящее тогда, когда происходит событие A, но не происходит B, т. е. событие C, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат A, но не принадлежат B. Разность событий A и B записывают: C = A B.
Пример. При бросании игральной кости событие А означает выпадение четного числа очков, событие В- выпадение не менее 3 очков (т. е. 3, 4, 5 или 6). Тогда А – В = А В состоит в выпадении «двойки» .
Дополнением события A (обозн. Ā) называют событие, происходящее тогда, когда не происходит событие A. Другими словами, Ā= Ω A. Событие Ā называют противоположным событию A.
Пример. Ω - извлечение карты из колоды. Событие А - из колоды извлечена карта чёрной масти, событие Ā - из колоды извлечена карта красной масти.
Событие A включено в событие B, что записывают A B, если появление события A обязательно влечет за собой наступление B или каждый элементарный исход ω, принадлежащий A, обязательно принадлежит и событию B. Включение A B эквивалентно равенству AB = A. Используют и обратное понятие: событие B включает событие A (B A).
Основные свойства операций над событиями 1. Коммутативность суммы и произведения: A U B = B U A, AB = BA. 2. Ассоциативность суммы и произведения: A U B U C = A U (B U C), (AB)C = A(BC). 3. Дистрибутивность относительно сложения: (A U B)C = AC U BC. 4. Дистрибутивность относительно умножения (новое свойство, не выполняющееся для чисел): AB U C = (A U C)(B U C).
5. Включение A в B, т. е. A B, влечет за собой включение в Ā, т. е. 6. Совпадение двойного дополнения с исходным событием: Ā = A. 7. Совпадение суммы и произведения одинаковых событий с самим событием A U A = A. 8. Законы де Моргана:
Тема: Основные аксиомы теории вероятностей Случайный эксперимент это эксперимент, результат которого заранее предугадать нельзя. Каждый различный исход опыта (эксперимента) называется элементарным событием и обозначается ω. Множество всех элементарных событий, относящихся к одному и тому же эксперименту, называют пространством элементарных событий и обозначают Ω = {ω}.
Случайное событие Случайным событием называют любое подмножество пространства элементарных событий. События обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, . . . Пример. - Выпадение числа очков на игральной кости, выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты; - При тестировании выбор наугад одного ответа из 4 возможных, среди которых один ответ верный, – случайные события.
Несколько событий составляют полную группу, если в результате эксперимента обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, всегда равна 1. Пример: Проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий: A: монета упадет орлом; B: монета упадет решкой; Таким образом, система {A, B} является полной группой событий.
Cобытия называют несовместными, если происхождение одного из них исключает происхождение остальных в результате опыта. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты — выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте). События называют равновозможными, если условия, в которых ставится эксперимент, позволяют считать, что ни одно из событий не будет происходить чаще другого при многократном повторении испытания.
Бросание 2 -х игральных костей Все равновозможные исходы (их число равно 36) можно записать в виде таблицы: (здесь пара (k, l) означает, что на первой кости выпало k очков, а на второй l).
1. Найти вероятность выпадения в сумме 12 очков. Событие А: 12 очков = 6 + 6 – один возможный исход 2. Найти вероятность выпадения в сумме 10 очков. Событие В: 10 очков = 5 +5 = 6 + 4 = 4 + 6 – три возможных исхода
Пример. Подбрасывая две монеты – монету N 1 и монету N 2. Какова вероятность одновременного выпадения двух гербов? Перечислим сначала все возможные исходы: 1) на обеих монетах выпали решки (РР), 2) на монете N 1 выпала решка, а на монете N 2 – герб (РГ), 3) на монете N 1 выпал герб, а на монете N 2 – решка (ГР), 4) на обеих монетах выпал герб (ГГ)
Из четырёх исходов интересующее нас событие – выпадение двух гербов – наблюдается только в одном. Так как все четыре исхода равновозможны, то вероятность выпадения двух гербов равна 1/4.
Пример. Определить, образуют ли события полную группу: 1) Испытание состоит в бросании монеты. События А- выпал герб; В - выпала решка. Да образуют, т. к. описывают все возможные исходы испытания. 2) Испытание состоит в 2 -х выстрелах по мишени. События А- ни одного попадания; В- ровно одно попадание; С- ровно два попадания. Да образуют, т. к. описывают все возможные исходы испытания. 3) Испытание состоит в бросании 2 -х монет. События А- выпало 2 орла; В - выпали 2 решки. Нет, не образуют, т. к. в результате опыта еще может выпасть 1 орел и 1 решка. 4) Студент во время сессии сдает 2 экзамена. События А- студент сдал 1 экзамен; В - студент не сдал ни одного экзамена. Нет, не образуют, т. к. студент может сдать 2
Пример. Являются ли следующие события несовместными? 1) Испытание состоит в бросании монеты. События А- выпал герб; В- выпала решка. Да, так как одновременно в одном опыте эти события появиться не могут. 2) Испытание состоит в бросании 2 -х монет. События А- выпал орел на одной монете; В- выпал орел на второй монете. Нет, так при бросании 2 -х монет может выпасть 2 орла – на первой и второй монетах.
• Пример. Выпущено 100 лотерейных билетов и установлены призы, из которых 8 по 1 руб. , 2 - по 5 руб. и 1 -10 руб. Найти вероятность того, что купленный билет выиграл: а) 5 рублей; б) не более 5 рублей. • Решение: а) Общее число исходов равно n =100. Благоприятное число исходов равно числу с выигрышем в 5 руб. m =2. Тогда: Р(А) = 0, 02. • б) Условие выигрыш “не более 5 руб. ” означает, что купленный билет имеет выигрыш, равный 1 руб. (таких билетов 8), или выигрыш, равный 5 руб. (таких билетов 2). Общее число исходов n = 100, благоприятных исходов m = 8+2=10. Р(А) = 0, 1.
Алгебра случайных событий Суммой (объединением) событий А и В называют событие (А + В или А U В), которое происходит тогда и только тогда, когда произойдет хотя бы одно из этих событий, то есть или А, или В, или А и В одновременно.
Пример. При бросании игральной кости пространство элементарных исходов – множество: Ω ={ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 }. Cобытие A= { ω1, ω3, ω5} – выпало нечетное число; В = {ω2, ω4, ω6 } - чётное число; С = { ω1, ω2, ω3} – выпало не более трех очков. Тогда сумма А + В = А U В ={ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 }- выпало некоторое число очков от одного до шести - событие достоверное. Сумма А + С = А U С = { ω1, ω2, ω3, ω5} – не выпало ни четырех, ни шести очков.
Произведением (пересечением) событий А и В называется событие (А·В или А∩В ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и В одновременно. Пример: Произведением событий А и В будет событие А·В = Ø. Это событие невозможное (невозможно одновременное выпадение чётных и нечётных чисел). Произведением событий В и С будет В ·С = В ∩ С = игральной кости. – выпало два очка при бросании
Примеры произведения событий: nпусть А - из урны вытянули белый шар, В - из урны вытянули белый шар, то А·В - из урны вытянули два белых шара; n. А - идет дождь, В - идет снег, то А·В - дождь со снегом; n. А - число четное, В - число кратное 3, то А · В - число кратное 6.
Разностью событий А и В называется событие А–В, которое происходит тогда, когда происходит А, но не происходит В. Разностью указанных событий А и С будет А – С = , то есть выпадение «пятёрки» .
Два события, одно из которых обязательно должно произойти, но наступление одного исключает возможность наступления другого, наз. противоположными (А и Ā). Пример: Событием, противоположным к А будет событие = - чётное число очков. Противоположным к событию С будет – выпало более трёх очков.
События А и В называют равносильными (эквивалентными) (А = В), если они состоят из одних и тех же элементарных событий, т. е. всегда происходят или не происходят одновременно.
Пример. Среди общего списка студентов факультета, выбирают наудачу одного. Событие А = выбран юноша ; В = не курит ; С = живет в общежитии. а) Описать событие . - выбран курящий юноша, который живет в общежитии. б) При каком условии будет справедливо тождество АВС=А? При условии, что все некурящие юноши живут в общежитии.
Домашнее задание Брошены две монеты. Рассматриваются события: • А – выпал «герб» на первой монете; • В – выпала «решка» на первой монете; • С – выпал «герб» на второй монете; • D – выпала «решка» на второй монете; • E – выпал хотя бы один «герб» ; • F – выпали два «герба» . Какими событиями этого списка являются: а) А+C; б) АС; в) B+D; г) BE; д) A+E; е) AE; ж) DF.
Скачать презентацию СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА-ВЕННА МЕСТО ЦЕЛИ И
тервер-вводная лекция.pptx