Системы счисления © К. Ю. Поляков, 2007 -2009

Системы счисления © К. Ю. Поляков, 2007 -2009 1. Введение 2. Двоичная система 3. Восьмеричная система 4. Шестнадцатеричная система 5. Другие системы счисления

Системы счисления © К. Ю. Поляков, 2007 -2009 Тема 1. Введение

3 Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры : 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…

4 Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) , X – 10 (две ладони) , L – 50, C – 100 ( Centum ) , D – 500 ( Demimille ) , M – 1000 ( Mille )

5 Римская система счисления Правила : (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!) Примеры : MDC X L I V = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 2389 = M M C C C L X X X I X M M CCC LXXX IX =

6 Примеры: 3768 = 2983 = 1452 = 1999 =

7 Римская система счисления Недостатки : для записи больших чисел ( >3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется : номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов

8 Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальског о Кремля

9 Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10 3 7 82 1 0 разрядысотни десятки единицы 870300 = 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 10 0 Другие позиционные системы: • двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) • двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) • двадцатеричная (1 франк = 20 су) • шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Системы счисления © К. Ю. Поляков, 2007 -2009 Тема 2. Двоичная система счисления

11 Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2 10 2 2 10 19 2 918 11 2 4 8 11 2 2 4 00 2 1 2 00 2 0 0 11 19 = 10011 2 система счисления 10011 24 3 2 1 0 разряды = 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = 16 + 2 + 1 =

12 Примеры: 131 = 79 =

13 Примеры: 101011 2 = 110110 2 = Когда двоичное число четное? делится на 8? ?

14 Метод подбора 10 2 77 = 64 +77 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 07777 64 Разложение по степеням двойки: 77 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 8 + … + 4 + … + 1 77 = 1001 1 01 26 5 4 3 2 1 0 разрядынаибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 = 1 2 6 + 0 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 +

15 Перевод дробных чисел 10 2 2 10 0, 375 = 2 101, 011 22 1 0 -1 -2 -3 разряды = 1 · 2 2 + 1 · 2 0 + 1 · 2 -2 + 1 · 2 -3 = 4 + 1 + 0, 25 + 0, 125 = 5, 375 , 75 0 00 0, 75 2 , 5 011 0, 5 2 , 0 11 0, 7 = ? 0, 7 = 0, 1 0110… = 0, 1(0110) 2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой. 2 -2 = = 0, 25 2 210,

16 Примеры: 0, 625 = 3, 875 =

17 Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= 1 0 2 1 + 1 + 1 = 1 1 2 0 -0=0 1 -1=0 1 -0=1 1 0 2 -1=1 перенос заем 1 0 1 1 0 2 + 1 1 1 0 1 1 2 1 00 011 0 2 1 0 0 0 1 2 –

18 Примеры: 101101 2 + 11111 2 10111 2 + 101110 2 111011 2 + 11011 2 111011 2 +

19 Примеры: 101101 2 – 11111 2 11011 2 – 110101 2 – 11011 2110011 2 –

20 Арифметические операции умножение деление 1 0 1 2 1 0 1 2 + 1 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 0 1 2 – 1 1 1 2 1 1 1 2 –

21 Плюсы и минусы двоичной системы • нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т. п. ); • надежность и помехоустойчивость двоичных кодов; • выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. • простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей; • двоичные числа имеют много разрядов; • запись числа в двоичной системе однородна , то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

Системы счисления © К. Ю. Поляков, 2007 -2009 Тема 3. Восьмеричная система счисления

24 Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7 10 8 8 10 100 8 1296 44 8 1 8 44 8 0 0 11 100 = 144 8 система счисления 144 82 1 0 разряды = 1 · 8 2 + 4 · 8 1 + 4 · 8 0 = 64 + 32 + 4 =

25 Примеры: 134 = 75 = 134 8 = 75 8 =

26 Таблица восьмеричных чисел X 10 X 8 X

27 Перевод в двоичную и обратно 88 1010 22 • трудоемко • 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных ( триада )!! 1725 8 = 1 7 2 5 00 1 111 010 101 2{{{{

28 Примеры: 3467 8 = 2148 8 = 7352 8 = 1231 8 =

29 Перевод из двоичной системы 100101111 2 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 0000 11 001 011011 101 111111 22 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 11 33 55 77 Ответ: 100101111 2 =

30 Примеры: 101101010010 2 = 11111101011 2 = 11010 2 =

31 Арифметические операции сложение 1 5 6 8 + 6 6 2 8 1 6 + 2 = 8 + 0 5 + 6 + 1 = 1 2 = 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 + 0 1 в перенос1 в перенос 0 80 4 1 в перенос

32 Пример 3 5 3 8 + 7 3 6 8 1 3 5 3 8 +

33 Арифметические операции вычитание 4 5 6 8 – 2 7 7 8 ( 6 + 8 ) – 7 = 7 (5 – 1 + 8 ) – 7 = 5 (4 – 1 ) – 2 = 1 заем 7 81 5 заем

34 Примеры 1 5 6 8 – 6 6 2 8 1 1 5 6 8 –

Системы счисления © К. Ю. Поляков, 2007 -2009 Тема 4. Шестнадцатеричная системы счисления

36 Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0 16 16 10 10 7 16 696 1111 16 0 0 66 10 7 = 6 B 16 система счисления 1 C 5 162 1 0 разряды = 1 · 16 2 + 12 · 16 1 + 5· 16 0 = 256 + 192 + 5 = 453 A , 10 B , 11 C , 12 D , 13 E ,

37 Примеры: 17 1 = 206 = 1 BC 16 = 22 B 16 =

38 Таблица шестнадцатеричных чисел X 10 X 16 X

39 Перевод в двоичную систему 1616 1010 22 • трудоемко • 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных ( тетрада )!! 7 F 1 A 16 = 7 F 1 A 0 1 11{{ 1 1 11 0 001 1010 2{{

40 Примеры: C 73 B 16 = 2 FE 1 16 =

41 Перевод из двоичной системы 100101111 2 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 000000 1 1 0010 1110 1111 22 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 000000 1 1 0010 1110 1111 22 EE FF Ответ: 100101111 2 =

42 Примеры: 101010110 2 = 111100110111110101 2 = 110110110101111110 2 =

43 Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3 DEA 16 = 11 1101 1110 1010 21616 1010 88 22 Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: 00 1111 110110 111111 101101 010010 22 3 DEA 16 =

44 Примеры: A 35 16 = 765 8 =

45 Арифметические операции сложение A 5 B 16 + C 7 E 16 1 6 D 9 16 10 5 11 + 12 7 14 11+14=25= 16 +9 5+7+ 1 = 13 = D 16 10+12=22= 16 +6 1 в перенос1 в перенос

46 Пример: С В А 16 +

47 Арифметические операции вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 заем 1 D D 16 1 2 5 11 – 1 0 7 14 ( 11+ 16 ) – 14= 13 = D 16 (5 – 1 )+ 16 – 7= 13 = D 16 ( 12 – 1 ) – 10 = 1 заем

48 Пример: 1 В А 16 –

Системы счисления © К. Ю. Поляков, 2007 -2009 Тема 5. Другие системы счисления

50 Троичная уравновешенная система Задача Баше: Найти такой набор из 4 гирь , чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

51 Троичная уравновешенная система + 1 гиря справа 0 гиря снята – 1 гиря слева Веса гирь: 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг Пример: 27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг 1 1 1 1 3 ур = Реализация: ЭВМ «Сетунь» , Н. П. Брусенцов (1958) 50 промышленных образцов 40 Троичная система! !

52 Конец фильма