Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Система m
11-12.pptx
- Размер: 80.4 Кб
- Автор:
- Количество слайдов: 14
Описание презентации Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Система m по слайдам
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Система m линейных алгебраических уравнений c n неизвестными имеет вид: а 11 х 1 + а 12 х 2 +. . . + а 1 n х n = в 1 а 21 х 1 + а 22 х 2 + …. + а 2 n х n = в 2 ……………… а m 1 х 1 + а m 2 х 2 + …. + а mn х n = в m а ij – коэффициенты , х j — неизвестные, b i — свободные члены уравнений.
Опр. Решить систему означает найти все совокупности значений неизвестных ( х 1 , х 2 , . . х n ), удовлетворяющих системе или показать, что система не имеет решений. 1. Если система не имеет решений, то она называется несовместимой. 2. Если она имеет единственное решение – определенной. 3. Если она имеет бесконечно много решений – неопределенной. Опр: Если хотя бы одно из чисел b i , отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной.
Опр: Матрица составленная из коэффициентов системы называется основной матрицей , если к основной матрице приписать справа столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы.
Метод Крамера
По формулам Крамера решаются только неоднородные системы. 3333232131 2323222121 1313212111 вхахаха
Опр : Определитель Δ основной матрицы называется главным (основным) определителем. Δ = 333231 232221 131211 ааа ааа
Опр: Дополнительным определителем называется определитель полученный из главного определителя путем замены j-го столбца столбцом свободных членов. Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = . 33323 23222 13121 аав аав 33331 23221 13111 ава ава 33231 22221 11211 ваа ваа
Теорема : Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение , которое находится по формулам: Х 1 = Δ 1 / Δ; х 2 == Δ 2 / Δ; х 3 == Δ 3 / Δ
Теорема: Если определитель системы Δ=0, и хотя бы один из определителей ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 отличен от нуля, то система несовместна(т. е. не имеет решений).
Теорема: Если определитель системы ∆=0, и ∆ 1 =∆ 2 =∆ 3 =0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).
Матричный метод решения СЛАУ
Системе 3 х линейных уравнений соответствует матричное уравнение АХ=В А= Х = В = АХ=В А -1 АХ= А -1 В ЕХ = А -1 В ааа ааа 333231 232221 131211 3 2 1 х х х 3 2 1 в в в
Метод не работает, если число уравнений не равно числу неизвестных, или когда матрица системы хотя и квадратна, но вырождена (тогда не существует обратной матрицы, т. е определитель основной матрицы равен нулю).