Симплекс–метод 1
Графический способ решения задачи ЛП. Оптимальное решение этой задачи всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений (в математике она также называется крайней точкой множества). Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой задачи линейного программирования. Переход от геометрического способа решения задачи ЛП к симплекс-методу лежит через алгебраическое описание крайних точек пространства решений. Для реализации этого перехода сначала надо привести задачу ЛП к стандартной форме, преобразовав неравенства ограничений в равенства путем введения дополнительных переменных. 2
Основное свойство симплекс-метода заключается в том, что решение задачи ЛП осуществляется итерационно. На каждой итерации алгоритм переходит к новой угловой точке, которая потенциально может улучшить значение целевой функции. Этот процесс перехода от одной угловой точки к следующей заканчивается, когда дальнейшее улучшение значений целевой функции невозможно. Процесс реализации симплекс-метода включает большое количество однотипных громоздких и утомительных вычислений. Это делает компьютер незаменимым инструментом для решения задач линейного программирования, поскольку вычислительный алгоритм симплекс-метода позволяет сравнительно легко автоматизировать вычисления. 3
4
5
Идеи, лежащие в основе графического метода решения задач линейного программирования, также являются основой и алгебраического симплекс-метода. Ниже показаны параллели между этими двумя методами. В графическом методе пространство решений определяется как пересечение полупространств, порождаемых ограничениями. В симплекс-методе пространство решений задают система из m линейных уравнений и n неотрицательных переменных. 6
7
Мы можем увидеть пространство решений графического метода, имеющее бесконечное число точек решений, но как можно сделать подобное заключение на основе алгебраического представления пространства решений? Ответ заключается в том, что в алгебраическом представлении количество уравнений m всегда меньше или равно количеству переменных n. Если m = n и система уравнений совместна, то она имеет только одно решение; если же m < n и система уравнений совместна, то она имеет бесконечное множество решений. 8
9
= = 10
Другую угловую точку можно определить, если положить s 1 = 0 и s 2 = 0. В этом случае надо найти решение системы 2 x 1+ x 2 = 4, x 1 + 2 x 2= 5. Решением в данном случае будет x 1 = 1 и x 2 = 2, что соответствует точке С. Без графического представление пространства решений (что возможно только для задач с двумя и тремя переменными) нельзя сказать, какие n – m нулевые переменные соответствуют той или иной угловой точке. Однако это не мешает перечислить все угловые точки пространства решений. Для этого надо просто рассмотреть все комбинации n-m переменных, приравнять их к нулю и затем найти решение полученной системы уравнений. Оптимальное решение, которое доставляет наилучшее значение целевой функции, будет среди допустимых угловых точек. 11
2 С 4 12
Для полного перехода к алгебраическому методу решения задач ЛП необходимо как-то назвать угловые точки разного типа на "алгебраическом" языке. На этом языке n – m переменные, которые полагаются равными нулю, называются небазисными переменными. Если оставшиеся m переменные имеют единственное решение, то в этом случае они называются базисными переменными, а совокупность значений, которые они получают в результате решения системы уравнений, составляют базисное решение. Если при этом все переменные принимают неотрицательные значения, то такое базисное решение является допустимым. В противном случае — недопустимым. 13
В следующей таблице перечислены все базисные и небазисные решения текущего примера. 14
Как видно из примера, при возрастании размера задачи (т. е. при увеличении значений n и m) процесс перечисления всех угловых точек становится отдельной чрезвычайно сложной задачей. Здесь следует учесть, что задачи ЛП размерности 10 x 20 считаются небольшими — реальные задачи могут иметь сотни и даже тысячи переменных и ограничений. Однако симплекс -метод в значительной степени снимает эту проблему, поскольку он рассматривает не все возможные базисные решения (т. е. угловые точки пространства решений), а только часть всех допустимых базисных решений. 15
Скачать презентацию Симплекс метод 1 Графический способ решения задачи ЛП
МП Лекция 3 Симплекс-метод.pptx