СИММЕТРИЯ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ Решетки Бравэ Пространственные группы симметрии

СИММЕТРИЯ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ Решетки Бравэ. Пространственные группы симметрии. Обратная решетка.

Геометрической схемой, описывающей расположение материальных частиц в кристалле, является пространственная решетка. Она строится на трех основных некомпланарных трансляциях, или параметрах решетки: a, b, c. Элементарная ячейка — это наименьший параллелепипед, с помощью которого можно построить всю пространственную решетку путем непрерывных параллельных переносов (трансляций) в трех направлениях пространства.

Каждая решетка Бравэ - это группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве. Любую кристаллическую структуру можно представить с помощью одной из 14 решеток Бравэ. Для выбора ячейки Бравэ используют три условия: 1. симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, точнее, наиболее высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл. Ребра элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки; 2. элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов между гранями и равных ребер. 3. объем элементарной ячейки должен быть минимальным. Эти условия должны выполняться последовательно, т. е. при выборе ячейки первое условие важнее второго, а второе важнее третьего.

Симметрия плоских систем описывается десятью двумерными кристаллографическими точечными группами: 1, 2, 3, 4, 6, m, mm 2, 3 m, 4 mm, 6 mm.

По характеру взаимного расположения основных трансляций или расположению узлов все кристаллические решетки разбиваются на четыре типа: примитивные (Р), базоцентрированные (С, В или А), объемно-центрированные (I), граненцентрированные (F). Примитивные ячейки Бравэ – это те основные ячейки, по которым были характеризованы сингонии кристалла.

Ромбоэдр, эквивалентный кубической ячейке гранецентрированной (а) или объемно-центрированной (б)

дважды центрированная гексагональная ячейка Вершины ромбоэдра занимают все вершины гексагональной элементарной ячейки и два дополнительных узла с координатами

трансляционная группа – совокупность основных трансляций элементарной ячейки.

Чтобы выделить в структуре элементарную ячейку Бравэ, надо найти три кратчайшие некомпланарные трансляции a, b, c, причем каждая трансляция должна начинаться и кончаться на одинаковых узлах. Далее надо проверить основные требования: 1. можно ли на этих трансляциях построить ячейку, отвечающую правилам выбора ячейки Бравэ; 2. все ли частицы в структуре можно получить с помощью такого набора трансляций.

Совокупность координат узлов, входящих в элементарную ячейку, называется базисом ячейки.

Элементы симметрии кристаллических структур Характерным элементом симметрии бесконечных фигур является трансляция, т. е. бесконечно повторяющийся параллельный перенос на некоторое определенное расстояние, называемое периодом трансляции. Сочетание трансляции с плоскостями и осями симметрии дает два новых элемента симметрии – плоскости скользящего отражения и винтовые оси симметрии. Плоскостью скользящего отражения называется совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельной ей трансляции. При этом перенос производится на величину, равную половине периода трансляции.

Действие плоскостей скользящего отражения a, b, и с

Плоскость скользящего отражения n или клиноплоскость – это плоскость, у которой компонента скольжения направлена по диагонали параллелограмма, построенного на элементарных трансляциях, лежащих в этой плоскости, и равна ½ длины этой диагонали.

Плоскости скользящего отражения типа d или алмазные характерны только для гранецентрированных решеток, компоненты скольжения плоскостей d направлены вдоль плоскостей диагонали элементарного параллелограмма, расположенного в плоскости отражения, а величина переноса составляет ¼ длины диагонали

Винтовой осью симметрии называется совокупность оси симметрии и параллельного ей переноса, действующих совместно. Могут быть двойными, тройными, четверными и шестерными. Различают правые и левые винтовые оси. Правая ось – перемещение вдоль оси связано с вращением по часовой стрелке, в случае левой – против часовой стрелки. Обозначается двумя цифрами, например, 41.

Действие винтовой оси 21 заключается в повороте на 180 0 с последующим переносом вдоль оси на величину t/2, где t – элементарная трансляция вдоль оси. Винтовая ось второго порядка является одновременно и правой и левой, т. е. ось 21 нейтральна.

Действие оси третьего порядка заключается в повороте на 120 0 и одновременном переносе на t/3 вдоль оси поворота (ось 31) или на 2 t/3 (ось 32) вдоль оси трансляции. Тройная поворотная ось симметрии 3 (а), тройные винтовые оси - правая 31 (б) и левая 31 (в)

Для четверной винтовой оси возможны трансляции t/4, 2 t/4, 3 t/4. Правая ось 41 эквивалентна левой оси 43, так же как левая ось 41 – правой 43, а винтовая ось 42 нейтральна. Ось 42 является одновременно простой осью 2.

Винтовые оси 21 и 42 в ОЦК-решетке

У винтовых осей шестого порядка могут быть трансляции t/6, 2 t/6, 3 t/6, 4 t/6, 5 t/6, соответственно правые и левые. Левая ось 61 равнозначна правой 65 обратно, так же как левая 62 равнозначна правой 64 и обратно. Ось 63 является нейтральной. Оси 62 и 64 являются одновременно простыми осями 2, а ось 63 есть одновременно простая ось 3.

Полный список элементов симметрии, встречающихся в кристаллических структурах

Теорема 1. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии равносильно трансляции на параметр t = 2 a, где a – расстояние между плоскостями. Теорема 1 а (обратная). Любую трансляцию можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга на расстоянии a = t/2, где t – параметр трансляции. Теоремы о сочетании операций симметрии структур

Теорема 2. Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция с параметром t порождают новые вставленные плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее на расстоянии t/2. Из теоремы следует, что если вдоль стороны прямоугольной примитивной элементарной ячейки проходит плоскость симметрии (порождающая), то через середины сторон ячейки обязательно пройдет порожденная плоскость симметрии того же типа.

Теорема 3. Плоскость симметрии m и трансляция t, составляющая с плоскостью угол α, порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей плоскости и отстоящую от нее в сторону трансляции на t/2 sinα. Величина скольжения вдоль порожденной плоскости равна t cosα. Теорема 4. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии можно заменить вращением вокруг оси симметрии, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей. Угол поворота вокруг этой оси равен удвоенному углу между плоскостями. Теорема 4 (обратная). Ось симметрии, простую или винтовую можно заменить парой плоскостей симметрии, простых или скользящего отражения, пересекающихся под углом, соответствующим порядку оси.

Теорема 5. Трансляция, перпендикулярная оси симметрии, порождает такую же ось симметрии, параллельную порождающей и смещенную на t/2 в направлении трансляции. Эта теорема относится к любым осям симметрии – простым, винтовым и инверсионным, в том числе и к оси т. е. к центру симметрии. Совокупность всех элементов симметрии кристаллической структуры называется пространственной группой симметрии.

Совокупность всех элементов симметрии кристаллической структуры называется пространственной группой симметрии. Правильной системой точек называется совокупность симметрично эквивалентных позиций (точек), связанных между собой симметричными преобразованиями пространственной группы. Можно получить из одной точки при повторении ее всеми элементами симметрии этой пространственной группы. Частная правильная система точек получается, если исходная точка лежит хотя бы на одном из элементов симметрии или отстоит на равных расстояниях от одинаковых элементов симметрии. Общая правильная система точек получается, если исходная точка не соприкасается ни с одним из элементов симметрии и лежит не на равных расстояниях от одинаковых элементов симметрии. Кратностью правильной системы точек называется число точек в элементарной ячейке, симметрично эквивалентных другу.

Схема утроенной ячейки структуры никелина Элементарная ячейка структуры никелина Ni. As характеризуется осевыми трансляциями и соотношением параметров а = b ≠ с и α = β = 90°, γ = 120° примитивная гексагональная. Вдоль ребра с элементарной ячейки располагается винтовая ось симметрии 63, а перпендикулярно ей — зеркальная плоскость симметрии т. Перпендикулярно основанию элементарной ячейки через его длинную диагональ проходит зеркальная плоскость симметрии т, а через его короткую диагональ — плоскость скользящего отражения с. Пространственная группа симметрии никелина - Р 63 /ттс.

ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА Построение

1) Оси обратной решетки a*, b*, c* определяются как векторные произведения: (1) 2) Осевые параметры обратной решетки a*, b*, c* равны обратным величинам межплоскостных расстояний плоских сеток прямой решетки, нормальных к этой оси. • Каждой плоскости (hkl) прямой решетки отвечает в обратной решетке узел [[hkl]]*. • Бесконечному семейству параллельных плоскостей {hkl} в пространстве прямой решетки соответствует в пространстве обратной решетки бесконечное семейство точек [[hkl]]* вдоль направления, нормального к этим плоскостям. • Расстояния этих точек от точки, принятой за начало координат в обратном пространстве, равны 1/d, 2/d, 3/d, …, где d = dhkl – расстояние между плоскостями {hkl} в прямой решетке.

Зоне плоскостей прямой решетки отвечает сетка из точек (узлов) обратной решетки, причем ось зоны прямой решетки нормальна к плоскости сетки обратной решетки. Прямая (а) и обратная (б) решетки

Основные векторы a*, b*, c* обратной решетки определяются скалярными произведениями: a*a = b*b = c*c = 1, a*b = a*c = b*a = c*b = c*a = 0 (2) Тройка векторов a*, b*, c* выбирается так, чтобы они, как и векторы a, b, c, составляли правую тройку. Векторы a*, b*, c* по абсолютному значению обратно пропорциональны межплоскостным расстояниям прямой решетки: (3) Прямая и обратная решетки сопряжены взаимно, т. е. решетка, построенная на осях a, b, c, является обратной по отношению к решетке a*, b*, c* , а решетка, построенная на векторах a*, b*, c*, - обратной по отношению к решетке а, b, c.

Основные свойства обратной решетки 1. Вектор обратной решетки перпендикулярен плоскости (hkl) прямой решетки, а длина этого вектора равна обратной величине расстояния d между плоскостями {hkl} прямой решетки, т. е. (4) 2. Объем V* элементарной ячейки обратной решетки равен обратной величине объема V элементарной ячейки прямой решетки (и обратно): (5)

Соотношения между параметрами ячеек прямой a, b, c, α, β, γ и обратной a*, b*, c*, α*, β*, γ*: Откуда и

Физический смысл обратной решетки Понятие обратной решетки используется для описания периодического распределения отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам. Отражение рентгеновских лучей от плоскостей структуры кристалла описывается формулой Вульфа-Брэгга, из которого следует, что при постоянной длине волны рентгеновского излучения λ большому d отвечает малый угол θ, т. е. , чем больше межплоскостное расстояние, тем ближе направления отраженных лучей к направлению падающего пучка. Отражения рентгеновских лучей от бесконечно протяженных идеальных кристаллов должны быть точечными. Каждый узел обратной решетки соответствует возможному отражению от плоскостей прямой решетки кристалла. Направление вектора обратной решетки H*hkl совпадает с направлением отражения от плоскостей {hkl} в прямой решетке, а n-ый узел обратной решетки в этом ряду отвечает отражению n-го порядка от этих плоскостей.