«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (ФГОБУ ВПО «Сиб. ГУТИ» ) Математический анализ для направления 080100 – «Экономика» квалификация (степень) бакалавр профили «Финансы и кредит» , «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Касательная плоскость и нормаль Прямой в пространстве , проходящей через Mo в направлении г. м. т. M(x, y, z), обладающее свойством: , называется Нормалью к поверхности S в точке Мo называется прямая, проходящая через эту точку ортогонально данной поверхности (т. е. параллельно ).
Плоскостью в пространстве , проходящей через Mo ортогонально называется г. м. т. M(x, y, z), обладающее свойством: , Касательной плоскостью к поверхности S в точке Мо называется плоскость, проходящая через эту точку ортогонально нормали к поверхности S (т. е. направляющий вектор плоскости равен ).
Формула Тейлора для ФНП
Экстремум функции нескольких переменных Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функция z=f(x, y) дифференцируема в точке Mo и имеет локальный экстремум в этой точке, тогда
Доказательство
Следствия 1. Точка, в которой все частные производные первого порядка одновременно обращаются в 0, называется стационарной. 2. Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием экстремума. 3. Если Mo – стационарная точка функции f(x, y), то дифференциал 1 порядка равен 0: df = 0. 4. В стационарной точке 5. В стационарной точке касательная плоскость параллельна плоскости XOY.
Достаточные условия локального экстремума.
Теорема 2. Пусть Mo - стационарная точка f(x, y)
Доказательство
Примеры
Условный экстремум 1 способ нахождения условного экстремума: Если удается из уравнения связи (2) выразить один из аргументов через другой (y=g(x)), то его можно подставить в исходное выражение (1). Тогда получится функция одного аргумента z=f(x, g(x)), ее исследуем обычным образом. Это удаётся сделать, но не всегда.
Метод наименьших квадратов. X X 1 X 2 … Xn Y Y 1 Y 2 … Yn
Метод наименьших квадратов
Пример x 10 20 30 40 50 60 y 150 100 40 0 -60 -100
Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве Задача: найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной ФНП. Решение: • Найти стационарные точки; проверить, что они попадают в область и вычислить значения функции в этих точках. 2. Найти критические точки – точки, где функция 3. недифференцируема, но непрерывна. Найти значения функции 4. в этих критических точках, если они попадают в область. 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на 4. границе области (задача на условный экстремум). 4. Сравнить значения в стационарных, критических и 5. граничных точках и выбрать наибольшее и наименьшее 6. значения f
Скачать презентацию Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики ФГОБУ
L9(Matan).ppt