Скачать презентацию Сети Петри Глава 6 Фундаментальное уравнение сети Петри Скачать презентацию Сети Петри Глава 6 Фундаментальное уравнение сети Петри

Curs_6_RP_P-invarianti_rus.pptx

  • Количество слайдов: 25

Сети Петри Глава. 6. Фундаментальное уравнение сети Петри. Инварианты. Aurelia Prepelita Conf. , dr. Сети Петри Глава. 6. Фундаментальное уравнение сети Петри. Инварианты. Aurelia Prepelita Conf. , dr. , USM Chisinau, 2010

Оглавление: Глава. 6. Фундаментальное уравнение сети Петри. Инварианты. Формы математического представления сетей Петри Допустимая Оглавление: Глава. 6. Фундаментальное уравнение сети Петри. Инварианты. Формы математического представления сетей Петри Допустимая последовательность срабатываний Фундаментальное уравнение сети Петри Графовая Матричная Подстановочная Характеристический вектор последовательности Матрица инциденций Инварианты сети Петри p - инварианты t – инварианты Алгоритм поиска p- инвариантов. Примеры

Графовая форма математического представления сетей Петри. Определение: Сетью Петри называется набор из двух множеств Графовая форма математического представления сетей Петри. Определение: Сетью Петри называется набор из двух множеств (P и T) и двух функций (B и F): PN= (1) Здесь: Р={p 1, p 2, . . . , pm} – множество позиций, соответствующее множеству условий в системе; Т={t 1, t 2, . . . , tn} – множество переходов соответствующее множеству событий; функции предшествования B и следования F ставят в соответствие каждой паре (pi, tj) и (pk, tl) целые неотрицательные числа bij или fkl, соответственно.

Графовая форма математического представления сетей Петри. б) а) с) Рис. 1. Три представления сети Графовая форма математического представления сетей Петри. б) а) с) Рис. 1. Три представления сети Петри. а) графовое; b) матричное ; с) подстановочное.

Подстановочная форма математического представления сетей Петри Подстановочное представление сети Петри – это множество выражений Подстановочная форма математического представления сетей Петри Подстановочное представление сети Петри – это множество выражений вида: j: S’j S’’j , j=1, 2, . . . , |T|. (2) Каждая подстановка j выражает входные и выходные условия перехода следующим образом: S’j = {(xi≥bij, pi): pi tj)}; (3) S’’j = {(xi-bij, pi): pi tj) } {(yi+fij, p’i): pi tj )}; (4)

Подстановочная форма математического представления сетей Петри Подстановка, соответствующая переходу t (рис. 2) имеет вид: Подстановочная форма математического представления сетей Петри Подстановка, соответствующая переходу t (рис. 2) имеет вид: : {(x 1≥ 3, p 1), (x 2≥ 2, p 2)} {(x 1 -3, p 1), (x 2 -2, p 2), (x 3+1, p 3), (x 4+2, p 4), (x 5+1, p 5)} Рис. 2

Характеристический вектор последовательности Из правил срабатывания переходов следует что достижимые маркировки могут вычисляться путем Характеристический вектор последовательности Из правил срабатывания переходов следует что достижимые маркировки могут вычисляться путем применения матрично. Векторных операций. Пусть, например, в сети PN= маркировка М’ получается из М в результате срабатывания последовательности переходов =ti 1, . . . , tik, т. е. М[ >M’. Рекурсивно для всех tij получим: М’=M - B ’ + F ’, (5) где ’ = ( 1, … , n) - вектор-столбец длины n=|T| (T в Качестве вехнего индекса обозначает транспонирование), в котором i равно количеству вхождений ti в последовательность . Вектор ’ называется характеристическим вектором последовательности .

Матрица инциденций Существует более компактная запись выражения (5): M’=M+C ’, (6) где С=F-B. (7) Матрица инциденций Существует более компактная запись выражения (5): M’=M+C ’, (6) где С=F-B. (7) Выражение (6) можно применять для определения достижимой маркировки М’ , если известна допустимая последовательность срабатываний . Матрица С называется матрицей инциденций сети Петри, а уравнение (6)- фундаментальным уравнением.

Фундаментальное уравнение сети Петри играет большую роль в структурной теории сетей Петри. Однако при Фундаментальное уравнение сети Петри играет большую роль в структурной теории сетей Петри. Однако при анализе функционирования сети Петри при заданной маркировке М 0 применять матрицу С следует осторожно, поскольку в общем случае она не является представлением сети Петри – при вычислении сij = fij-bij теряется информация о значениях кратности дуг (pi, tj) и (tj, pi), если обе эти дуги существуют. Иными словами, по матрице С определить матрицу В однозначно невозможно, и, следовательно, невозможно выразить условие возбуждения для перехода tj.

Фундаментальное уравнение сети Петри С= Рис. 1 -1 1 0 -1 0 1 2 Фундаментальное уравнение сети Петри С= Рис. 1 -1 1 0 -1 0 1 2 0 -1 Например, одна и та же матрица инциденций соответствует сети на рис. 1 и на рис. 3. Рис. 3

Фундаментальное уравнение сети Петри Роль фундаментального уравнения состоит в том, что оно дает формальную Фундаментальное уравнение сети Петри Роль фундаментального уравнения состоит в том, что оно дает формальную возможность исследовать соотношения между последовательностями срабатываний и изменениями маркировок, которые определяются структурными характеристиками сети и не зависят от начальных маркировок: М = M’ – M = C ’. (8) Если М – вектор с неотрицательными компонентами, то M’ ≥ M и согласно условию срабатывания переходов, все переходы, возбужденные при М, возбуждены также при M’.

Фундаментальное уравнение сети Петри Отсюда непосредственно вытекает следующее Утверждение. Все последовательности срабатываний, допустимые в Фундаментальное уравнение сети Петри Отсюда непосредственно вытекает следующее Утверждение. Все последовательности срабатываний, допустимые в сети , допустимы также в сети , если M’ 0 ≥ M. Это утверждение называется принципом монотонности. Поскольку показывает что увеличение вектора маркировки влечет за собой увеличение числа допустимых последовательностей срабатываний.

Фундаментальное уравнение сети Петри Например, в сети на рис. 3 <N, M 0>, М Фундаментальное уравнение сети Петри Например, в сети на рис. 3 , М 0 =(2, 0, 0) допустимая последовательность =t 1, t 2, t 3, которая приведет к маркировке M’ =(2, 0, 0) + -1 1 0 -1 0 1 2 0 -1 1 2 =(2, 0, 0) + (1, 1, 0)=(3, 1, 0) 2 Легко провенить, что при M’ допустимы все последовательности срабатывания, которые допустимы при М 0.

Инварианты сети Петри Определение. Повторяющаяся последовательность срабатываний называется стационарно повторяющейся, если она приводит к Инварианты сети Петри Определение. Повторяющаяся последовательность срабатываний называется стационарно повторяющейся, если она приводит к той же маркировке, из которой началась, т. е. С ’ =0. (9)

Инварианты сети Петри Например, в сети на рис. 4 Последовательность срабатываний =(t 1, t Инварианты сети Петри Например, в сети на рис. 4 Последовательность срабатываний =(t 1, t 2, t 3, t 4) стационарно повторяющаяся. Рис. 4 2 0 0 -2 С= -1 1 0 0 -1 2 0 0 1 -2 0 -1 1 0 0 1 -1 0

t-инварианты сети Петри Определение. t-инвариантом сети Петри N=<P, T, N= C> называется целочисленный неотрицательный t-инварианты сети Петри Определение. t-инвариантом сети Петри N= называется целочисленный неотрицательный вектор-столбец g удовлетворяющий условию C g =0. (10) Очевидно, что каждый t-инвариант равен характеристическому вектору стационарно повторяющейся последовательности срабатываний. tинварианты определяют стационарно повторяющиеся последовательности срабатываний (с точностью до характеристических векторов).

p-инварианты сети Петри Определение. Скалярное произведение положительного целочисленного вектора f=(f 1, . . . p-инварианты сети Петри Определение. Скалярное произведение положительного целочисленного вектора f=(f 1, . . . , fm), m=|P|, на вектор маркировки f. M= fi M(pi), i=1, . . . , m (11) называется взвешенной суммой маркеров. Вектор f называется весовым, а каждая его компонента fi – весом маркеров в позиции pi.

p-инварианты сети Петри Приращение взвешенной суммы маркеров при функционировании сети получается умножением (8) на p-инварианты сети Петри Приращение взвешенной суммы маркеров при функционировании сети получается умножением (8) на f М = f * M’ – f *M = f * C ’. Существенно то, что не зависит от М начальной маркировки, т. е. является структурной характеристикой сети.

p-инварианты сети Петри Определение. p-инвариантом сети Петри N=<P, T, N= C> называется целочисленный неотрицательный p-инварианты сети Петри Определение. p-инвариантом сети Петри N= называется целочисленный неотрицательный вектор-столбец f=(f 1, . . . , fm) удовлетворяющий условию f * C =0. (10) Очевидно, что каждый p-инвариант определяет весовый вектор для подмножества позиций, в котором взвешенная сумма маркеров при функционировании сети остается постоянной. Поиск таких подмножеств можно выполнить, решив уравнение (10).

p-инварианты сети Петри Можно убедиться на примере рис. 4, что f 1=(1, 1, 0, p-инварианты сети Петри Можно убедиться на примере рис. 4, что f 1=(1, 1, 0, 0), f 2=(0, 0, 1, 1, 0, 0) и f 3=(0, 0, 1, 1)-минимальное порождающее семейство p-инвариантов. Вектор f 4=(1, 1, 1, 1) тоже p-инвариант, но получается как линейная комбинация векторов f 4=f 1+f 2+f 3. Минимальное порождающее семейство t-инвариантов для этой сети содержит только один вектор g=(1, 2, 2, 1).

Алгоритм поиска p- инвариантов 1. 2. Исходные данные: матрица С размерности mxn. Начальная установка: Алгоритм поиска p- инвариантов 1. 2. Исходные данные: матрица С размерности mxn. Начальная установка: формируемая матрица B=Emxm. 3. Основной цикл. Выполняется, пока матрица С имеет хотя бы один столбец. Шаг 1: Формируются множества I и J такие, что I={i: ci 1>0}, J={j: cj 1>0}. Шаг 2 : Для каждой пары (i, j) Ix. J выполняется следующее. 2. 1. Приписывается к С строка, равная вектору ci 1*C(j, -) - cj 1*C(i, -) 2. 2. Приписывается к В строка, равная вектору ci 1*B(j, -) - cj 1*B(i, -)

Алгоритм поиска p- инвариантов Шаг 3 3. 1. Исключаются из С и B строки Алгоритм поиска p- инвариантов Шаг 3 3. 1. Исключаются из С и B строки с индексами i I J. 3. 2. Исключается из С первый столбец. Конец алгоритма. Множество строк матрицы B есть минимальное порождающее семейство инвариантов.

Алгоритм поиска p- инвариантов. Пример -1 1 3 -3 1 -1 -1 1 -2 Алгоритм поиска p- инвариантов. Пример -1 1 3 -3 1 -1 -1 1 -2 6 Рис. 5. Сеть Петри и ее матрица инциденций 1 -6

Алгоритм поиска p- инвариантов. Пример Исходную информацию для алгоритма представим в виде 2 матриц: Алгоритм поиска p- инвариантов. Пример Исходную информацию для алгоритма представим в виде 2 матриц: -1 1 3 -3 1 -1 -1 1 6 1 1 -2 1 1 -6 1

Литература 1. Ачасова С. М. , Бандман О. Л. Корректность параллельных вычислительных процессов. Новосибирск: Литература 1. Ачасова С. М. , Бандман О. Л. Корректность параллельных вычислительных процессов. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1990. 2. Guţuleac E. Modelarea şi evaluarea performanţelor sistemelor de calcul prin Reţele Petri: Departamentul Editorial-Poligrafic al U. T. M. Chişinău, 1998.