Сечение поверхности плоскостью построение линии пересечения поверхности плоскостью

Сечение поверхности плоскостью построение линии пересечения поверхности плоскостью

Алгоритм решения задачи 1. Объекты ( и ) рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г B Г b 2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждым из объектов а. А Г Ю ; а 3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям Г Юb a b. Ю A, B 4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения

Методические указания • Вспомогательные плоскости выбирают так, чтобы при построении получались просматриваемые линии связи • Сначала определяют опорные точки: - крайние точки сечения; - точки видимости очерка поверхности; - особые точки кривой сечения (концы осей эллипса, вершины гиперболы или параболы, вершины ломанной кривой) • Уточнение линии пересечения поверхностей с помощью промежуточных точек

Методические указания • Плоскость, пересекающая поверхность, может занимать общее и частное положение относительно плоскостей проекций • В общем случае вид сечения – кривая линия • Сечение поверхности вращения плоскостью является фигурой симметричной. Ось симметрии фигуры сечения лежит в плоскости общей симметрии заданной поверхности и плоскости, при условии: проходит через ось вращения поверхности; перпендикулярности секущей плоскости • Сечением многогранной поверхности является ломаная линия, вершины которой лежат на ребрах поверхности

Сечения прямого кругового цилиндра 1 2 3 1 3 При рассечении прямого кругового цилиндра плоскостями можно получить: 1 - окружность, 2 - эллипс, 3 – прямые линии 2

N 2 (22) f 2 h 2 1 M 2 2 f 1 N 1 1 h 1 2 1 M 1 11 При построении линии сечения цилиндра плоскостью общего положения находят прежде всего крайние точки, лежащие в плоскости ( 1), которые проходит через ось цилиндра и перпендикулярна заданной плоскости. На П 2 проекция самая низкой точки - 12, а самой высокой – 22.

N 2 (22) 42 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 2 f 1 N 1 1 h 1 K 1 2 4 1 1 3 1 M 1 Ф 1 11 Проекции точек изменения видимости линии на П 2, лежащие на очерке цилиндра (32 и 42), строим с помощью плоскости Ф(Ф 1), которая рассекает цилиндр по очерковым образующим, а плоскость по фронтали, исходящей из точки К. Пересечение этих линий и даст искомые точки.

N 2 (22) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 2 4 1 1 3 1 1 11 Ф 1 61 1 Учитывая, что на П 1 отрезок 1121 это проекция большой оси эллипса сечения, найдем проекцию его малой оси с помощью плоскости ( 1), рассекающей цилиндр по образующим, а заданную плоскость– по горизонтали. На П 1 проекциями искомых точек будут 51 и 61, а на П 2 - 52 и 62.

N 2 (22) (82) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 72 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 1 2 4 1 1 3 1 81 11 Ф 1 71 61 1 Проекции экстремальных точек (71 и 81) фиксируем на П 1 как точки касания фронталей заданной плоскости горизонтального очерка цилиндра. На П 2 проекции 72 и 82 располагаем на соответствующих построению фронталях, учитывая видимость точек относительно цилиндра.

N 2 (22) (82) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 71 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 1 2 4 1 1 3 1 81 11 Ф 1 71 61 1 Объединяем все построенные на П 2 проекции точек в линию - эллипс с учетом ее видимости относительно цилиндра. Видимость линии будет меняться в точках 32 и 42, построенных заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи. На П 1 проекция линии сечения - очерк цилиндра.

N 2 (22) (82) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 71 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 1 2 4 1 1 3 1 81 11 Ф 1 71 61 1 На П 2 уточняем видимость очерка цилиндра и прямых, ограничивающих заданную плоскость. Для большей наглядности изображения затушевываем видимые части пересекающихся геометрических образов.

Сечение сферы Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Окружность на плоскость проекций может проецироваться в натуральную величину (плоскость уровня), в виде отрезка, равного диаметру (проецирующая плоскость) и в виде эллипса (плоскость общего положения)

Q 2 22 О 2 12 О 1 (11 ) 21 Ф 1 При построении линии сечения сферы плоскостью частного положения Q(Q 2) прежде всего находим на П 2 проекции экстремальных точек. Это точки пересечения следа Q 2 с очерком сферы – 12 и 22. На П 1 проекции 11 и 21 располагаем на следе плоскости Ф 1 с учетом их видимости.

Q 2 22 О 2 32 (42) Г 2 12 41 О 1 21 (11 ) Ф 1 31 С помощью плоскости Г(Г 2) зафиксируем совпадающие проекции точек (32 и 42) на пересечении Г 2 со следом заданной плоскости Q 2. Проекции 31 и 41 располагаем на горизонтальном очерке сферы – экваторе. Это будут точки изменения видимости линии сечения на П 1.

Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) 12 (61 ) 41 b 1 О 1 21 (11 ) (51 ) Ф 1 31 Экстремальные точки эллипса (высшую и низшую) находим, разделив пополам отрезок 12 22 перпендикуляром, опущенным из точки О 2. В основании перпендикуляра фиксируем две совпадающие проекции точек (5 2 и 62). На П 1 проекции 51 и 61 располагаем на параллели b 1 как невидимые.

Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 12 (61 ) 41 b 1 О 1 21 (11 ) Ф 1 с1 (51 ) 31 Для уточнения формы кривой – эллипса находим промежуточные точки ( на чертеже не обозначены). Совпадающие точки фиксируем произвольно на следе Q 2 и переносим их на П 1 с помощью параллели с.

Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 12 (61 ) 41 b 1 О 1 21 (11 ) Ф 1 с1 (51 ) 31 Объединяем все построенные на П 1 точки в линию (эллипс) с учетом ее видимости относительно сферы. Видимость линии будет меняться в точках 31 и 41, построенных заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи.

Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 x П 2 x 1 П 4 12 П 2 (61 ) П 1 41 b 1 О 1 21 (11 ) Ф 1 О 4 с1 (51 ) 31 На П 1 дополняем построенную проекцию эллипса большой осью, проходящей через экстремальные точки 51 и 61. Показать натуральную линию сечения можно, применив преобразование чертежа – замену плоскости проекций

Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 x 12 П 2 Rc (61 ) П 1 П 2 x 1 П 4 41 b 1 О 1 21 (11 ) Rc Ф 1 О 4 с1 (51 ) 31 На дополнительной плоскости проекций П 4 линия сечения – окружность проецируется в натуральную величину.

S 2 В 2 A 2 C 1 1 S 1 A 1 D 1 При построении линии пересечения наклонного конуса с плоскостью ( 1) следует учесть, что на П 1 линия пересечения будет проецироваться в отрезок прямой, совпадающий со следом заданной плоскости.

S 2 (12 ) A 2 В 2 K 1 1 C 1 11 S 1 A 1 D 1 L 1 Экстремальную (высшую) точку линии сечения находим с помощью плоскости, проходящей через ось конуса и перпендикулярной заданной (на чертеже она затушевана). На П 1 фиксируем точку 11 как пересечение следа 1 с образующей конуса К 1 S 1. Точку (12) располагаем на К 2 S 2.

S 2 (12 ) A 2 K 2 32 K 1 C 1 В 2 (22) 1 11 (21 ) S 1 A 1 31 D 1 L 1 Низшие точки линии сечения фиксируем на П 1 как проекции точек пересечения (21 и 31) следа 1 с окружностью, лежащей в основании конуса. Фронтальные проекции точек (22 и 32) располагаем на основании конуса с учетом их видимости.

S 2 (12 42 ) A 2 K 2 32 K 1 C 1 В 2 (22) 1 11 (21 ) S 1 41 A 1 31 D 1 L 1 Точки изменения видимости линии должны лежать на фронтальном очерке конуса. На П 1 фиксируем горизонтальную проекцию одной из двух искомых точек (41) как точку пересечении следа 1 и проекции очерковой образующей А 1 S 1. Проекцию 42 располагаем на А 2 S 2.

S 2 (12 42 ) A 2 K 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) S 1 41 A 1 31 D 1 L 1 Построим проекции еще одной опорной точки линии, лежащей на горизонтальной очерковой образующей конуса. Сначала зафиксируем на П 1 проекцию 51 на пересечении С 1 S 1 и следа заданной плоскости 1. Фронтальную проекцию - 52 располагаем на С 2 S 2 как невидимую.

S 2 (12 42 ) 62 A 2 K 2 M 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) S 1 41 A 1 M 1 31 61 D 1 L 1 Для уточнения формы кривой найдем промежуточную точку линии сечения с помощью произвольно проведенной образующей конуса МS. На П 1 это будет проекция 61, а на П 2 – видимая проекция 62.

S 2 (12 42 ) 62 A 2 K 2 M 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) S 1 41 A 1 M 1 31 61 D 1 L 1 Объединяем все построенные на П 2 точки в линию с учетом ее видимости относительно конуса. Точкой перемены видимости линии будет проекция 42, лежащая на очерковой образующей конуса А 2 S 2 и построенная заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи.

S 2 (12 42 ) 62 A 2 K 2 M 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) 31 61 D 1 1 S 1 41 M 1 4 1 21 5 1 A 1 3 61 L 1 Для определения натурального вида кривой сечения преобразуем чертеж, расположив плоскость сечения параллельно фронтальной плоскости проекций.

S 2 (12 42 ) K 2 M 2 32 K 1 42 (52) 62 A 2 12 C 2 C 1 В 2 (22) 1 51 11 (21 ) 52 н. в. 22 31 61 D 1 1 S 1 41 M 1 4 1 21 5 1 A 1 3 61 L 1 Путем построений, соответствующих способу плоскопараллельного перемещения, на П 2 получаем натуральный вид сечения - 32 62 42 12 52 22

Сечения прямого кругового конуса 1 3 5 3 4 1 2 2 4 5 При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью в зависимости от ее расположения получаются: 1 – окружность; 2 – эллипс; 3 – парабола; 4 – гипербола; 5 – прямые линии

Сечения тора 3 5 2 4 3 2 5 1 1 4 При пересечении открытого тора с плоскостью получаются линии с общим названием – кривые Персея: 1 - овал с двумя осями симметрии; 2 волнообразная кривая; 3 - двухлепестковая кривая с узловой точкой в начале координат; 4 - овалы с одной осью симметрии; 5 - две окружности

Сечения тора 6 8 7 6 9 7 10 8 9 10 Сечения Другие формы линии пересечения открытого тора с плоскостью показаны на рисунках 7, 8, 9, 10, 11, которые получаются в зависимости от расположения секущей плоскости, пересекающей ось вращения тора

2 l 1 При построении линии пересечения заданных на чертеже открытого тора (с образующей l ) и плоскости ( 2) следует учесть, что на П 2 линия пересечения будет проецироваться в отрезок прямой, совпадающий со следом плоскости 2.

2 12 (22) l 2 21 l 1 11 При построении горизонтальной проекции линии пересечения находим прежде всего проекции опорных точек, лежащих на очерке тора. Фикси руем на П 2 совпадающие проекции точек 12 и 22 как пересечение следа 2 с линией экватора. Проекции 11 и 21 располагаем на экваторе - очерке.

2 12 (22) 32 (42) l 2 21 (31 ) 41 l 1 11 Проекции еще двух опорных точек, лежащих на пересечении следа 2 с фронтальным меридианом тора (образующей окружности l 2) обозначаем 32 и 42 с учетом видимости. 31 и 41 располагаем на горизонтальной проекции меридиана l 1 как невидимую и видимую соответственно.

52 (62) 12 (22) 32 2 (42) l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Опорные (экстремальные) точки линии пересечения 5 и 6 фиксируем сначала на пересечении следа 2 с фронтальным очерком тора как совпадающие проекции 52 и 62, а затем на П 1 как видимые проекции 51 и 61, лежащие на центровой окружности тора.

52 (62) 12 (22) 32 2 (42) l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Промежуточные точки (на чертеже не обозначены) строим в соответствии с общим алгоритмом нахождения точек линии пересечения.

52 (62) 12 (22) 32 2 (42) l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Объединяем все построенные на П 1 проекции точек в линию с учетом ее видимости относительно тора. При этом проекции точек (1 1 и 21), лежа щие на очерке тора и построенные заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи, будут изменять видимость линии на противоположную.

52 (62) 12 (22) 32 2 (42) 32 12 22 42 52 62 l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Для определения натурального вида кривой сечения преобразуем чертеж, расположив плоскость сечения параллельно горизонтальной плоскости проекций.

52 (62) 12 (22) 32 2 (42) 32 12 22 42 l 2 21 21 61 (31 ) 61 31 41 н. в. l 1 11 52 62 41 51 51 11 Путем построений, соответствующих способу плоскопараллельного перемещения, на П 1 получаем натуральный вид сечения - 31 21 61 41 51 11

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 c 1 a 1 b 1 Задана трехгранная призма с двумя параллельными основаниями. Ребра призмы являются фронталями и на П 2 проецируются в натуральную величину.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 c 1 a 1 b 1 Если учесть тезис о том, что нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы, то на П 2 можно провести след плоскости Р 2, перпендику лярный проекциям ребер призмы a 2, b 2, c 2. Пересечение следа Р 2 с ребрами a 2, b 2, c 2 определяет проекцию сечения на П 2 - 12 22 32.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 31 c 1 a 1 b 1 11 21 Горизонтальные проекции опорных точек сечения 11, 21, 31 располагаем на проекциях соответствующих ребер призмы, и объединяем их в треугольник.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 12 b 1 32 31 c 1 a 1 22 11 21 Для определения натуральной величины нормального сечения призмы преобразуем чертеж, расположив плоскость сечения параллельно горизонтальной плоскости проекций.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 12 a 1 b 1 11 32 31 c 1 22 11 21 21 Путем построений, соответствующих способу плоско-параллельного перемещения, на П 1 получаем новые расположения опорных точек сечения: 11 , 21 , 31.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 12 a 1 b 1 11 32 31 c 1 22 1 н. в. 1 21 21 Объединив на П 1 новые проекции точек в треугольник, получим натуральную величину нормального сечения призмы.

Вопросы для самопроверки 1. Какая линия получается при пересечении сферы любой плоскостью? а) окружность б) гипербола в) эллипс 2. Если наклонная плоскость пересекает все образующие прямого кругового цилиндра, то в сечении получается… а) прямоугольник б) окружность в) эллипс 3. Как пройдет плоскость, пересекающая конус вращения по прямым линиям? а) через ось вращения б) перпендикулярно оси вращения в) через вершину

Вопросы для самопроверки 4. Как провести плоскость, пересекающую конус вращения по параболе? а) перпендикулярно основанию б) параллельно одной образующей в) параллельно двум образующим 5. Где располагаются точки изменения видимости? а) на направляющих поверхности б) на осях вращения в) на очерках поверхности 6. Что называется нормальным сечением призмы? а) плоскость, перпендикулярная основанию б) плоскость, перпендикулярная граням в) плоскость, перпендикулярная образующим 7. Что называется нормальным сечением конуса? а) плоскость, перпендикулярная оси симметрии б) плоскость, перпендикулярная основанию в) плоскость, параллельная основанию