С П О С О Б Ы Р

С П О С О Б Ы Р Е Ш Е Н И Я К В А Д Р А Т Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Выполнили ученики 9 Б класса : Гасанов Александр , Уланов Данила, Ельков Артём, Шильненков Николай Руководитель проекта : учитель математики высшей категории Шмелёва О. В.

Ч то такое квад ратны е уравнения? ax 2 + bx + c = 0 a , b , c — некоторые числа ( a ≠ 0) x — неизвестное.

Кто первый «изобрёл» квадратные уравнения?

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

К вад ратны е уравнения в Европе

О бщ еизвестны е способы 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. 2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата. 3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. 4. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. 5. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

6. С П О С О Б : Реш ение уравнений способом «переброски «. Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а = 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у: а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 : а и х 1 = у 2 : а. Решим уравнение: 2 х 2 — 11 х + 15 = 0. Решение: «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 — 11 у + 30 = 0. Согласно обратной теореме Виета у 1 = 5 х 1 = 5: 2 x 1 = 2, 5 у 2 = 6 x 2 = 6: 2 x 2 = 3. Ответ: х 1 =2, 5; х 2 = 3.

7. С П О С О Б : С войства коэф ф ициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а > 0. 1. Если a+ b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1, х 2 =. 2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = — 1, х 2 = -. Решим уравнение 345 х2 — 137 х — 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = Ответ: х 1 =1; х 2 = . Решим уравнение 132 х 2 + 247 х + 115 = 0 Решение. Т. к. a-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то х 1 = — 1, х 2 = — Ответ: х1= — 1; х2= —

8. С П О С О Б : Реш ение уравнений с использованием теорем ы Безу. При делении P (х) на х- в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка): P (x) = (x — ) Q (x) + r. (1) Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х =. При этом двучлен х — обращается в нуль, получаем, что P () = r. Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу. Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен х — равен P () (т. е. значению P (x) при х = ). Если число является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на х — без остатка. х²-4 х+3=0 Р 2 (х) = х²-4 х+3 ? ; ± 1, ± 3. ? =1, 1 -4+3=0 Разделим р (х) на (х-1) (х²-4 х+3) : (х-1) =х-3 х²-4 х+3 = (х-1) (х-3) =0 х-1=0; х 1 =1, или х-3=0, х 2 =3; Ответ: х 1 =1, х 2 =3.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Геометрический способ решения квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

кон ец