С.44-54 С.20-28 С.5-15 Предыдущая лекция Латинские прямоугольники и

С.44-54

С.20-28

С.5-15

Предыдущая лекция Латинские прямоугольники и квадраты.

Проще всего получать латинские прямоугольники циклическим сдвигом строк.

Название «латинский квадрат» берёт начало от Леонарда Эйлера, который использовал латинские буквы вместо цифр в таблице.

Латинский квадрат Латинский квадрат - таблица n × n, заполненная n различными символами таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n символов (каждый по одному разу).

Греко-латинский квадрат

Греко-латинский квадрат

Судоку (яп. 数独 ) — головоломка. В переводе с японского «су» — «цифра», «доку» — «стоящая отдельно». Иногда судоку называют «магическим квадратом», что не верно, так как судоку является латинским квадратом 9-го порядка.

Количество возможных комбинаций в судоку 9x9 составляет по расчётам 6 670 903 752 021 072 936 960.

Магический квадрат

На известной гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (1514г. – почти полтысячи лет назад ):

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица , заполненная n n числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n n.

Ло Шу Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

Магический квадрат послужил предвестником нового направления в комбинаторике – оно рассматривает так называемые блок схемы – таблицы из систем чисел или множеств, которые удовлетворяют сразу большому количеству очень жёстких ограничений. Настолько жёстких, что речь идёт уже не о перечислении возможных вариантов, а о самом существовании такой схемы.

Конечные проективные плоскости

Проективная плоскость — это множества точек и прямых и такое отношение инцидентности, что - для любых двух различных точек существует единственная инцидентная им прямая; - для любых двух различных прямых существует единственная инцидентная им точка — точка пересечения; - существуют такие четыре точки, что прямая, инцидентная двум из них, не инцидентна ни одной из двух других.

Плоскость Фано Плоскость Фано имеет 7 точек и 7прямых. Отношение инцидентности на плоскости Фано задано следующей таблицей: 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

Плоскость Фано Обратите внимание, что каждая строка получена особой перестановкой - циклическим сдвигом исходной строки влево! Тернарные отношения: {(1,2,4),(1,3,7), (2,6,7),(1,5,6), (4,5,7),(3,4,6), (2,3,5)}

Плоскость Фано в виде тернарных отношений

Каждая из семи линий– тернарное отношение

Палиндром: SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (лат. Сеятель Арепо с трудом держит колеса)

Лекция 10 Метод рекуррентных соотношений.

Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить алгоритмически, исходя из того, что для небольшого количества предметов решение задачи легко находится.

Рекуррентным называют соотношение, в котором для вычисления некоторого члена числовой последовательности используют значения предыдущих членов.

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …

Решение рекуррентных соотношений Пусть Тогда

Разделим обе части выражения на получим

Получим Поскольку то

Найдём коэффициенты, использую начальные условия:

Таким образом:

Поэтому

Посему Это формула Бине Где «золотое сечение»

Решение рекуррентных соотношений В общем случае линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами имеет вид

Где Постоянные коэффициенты, начальные значения

Решение находим в виде Подставляя в исходное выражение получаем полином k-ой степени (после деления на

Это уравнение имеет k корней Тогда общее решение имеет вид Где неизвестные коэффициенты находят по начальным условиям, составляя соответствующую систему линейных уравнений

СКМ для комбинаторных вычислений

В информатике вычисления на конечных математических структурах часто называют комбинаторными вычислениями, и они требуют комбинаторного анализа для установления свойств и оценки применимости используемых алгоритмов Комбинаторные задачи могут быть решены, например, системой компьютерной математики Matematica (3,4) фирмы Wolfram Research,Inc. – пакет расширения «Дискретная математика» (DiscreteMath) – комбинаторика и ее функции (Combinatorica, CombinatorialFunctions)

В справочнике пакета Mathematica 5.1 закладка The Mathematica book, в ней – Advanced Mathematics, далее – Mathematics Functions, Combinatorial Functions:

In[13]:= 5 ! Out[13]= 120 In[19]:= 1 ! Out[19]= 1 In[16]:= 0 ! Out[16]= 1 In[14]:= 4 !! Out[14]= 8 In[15]:= 5 !! Out[15]=15 In[17]:= 1!! Out[17]= 1 In[20]:= 10 ! Out[20]= 3628800 In[26]:= 20 ! Out[26]= 2432902008176640000 In[27]:= 30 ! Out[27]= 2652528598121910586363308480000000 --------------------------------------------------------------- In[21]:= 100 ! Out[21]= 93326215443944152681692238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

Обратим внимание на факториал числа 100 – это 158-разрядное число!

Как проводить вычисления? Выделяем пример выполнения требуемой функции и копируем в новый открытый файл результатов, редактируем, а затем инициируем вычисления, нажав клавишу Shift с клавишей Enter.