Решение задач на пределы Пример 1. Пример

Решение задач на пределы

Пример 1. Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7. Пример 8.

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.

Пример 12. Пример 13. Подстановка тогда

Пример 14. при Пример 15. Подстановка тогда

Пример 16. 1 -й способ 2 -й способ

Пример 17. при Подстановка так как при

Пример 18. Подстановка так как

Пример 19. Подстановка

Пример 20. Подстановка при этом тогда

Пример 21. Подстановка тогда

Пример 22. Подстановка при этом

Пример 23. так как при то

Пример 24. так как при то

Определить характер разрывов функции, сделать рисунок Пример 1. Решение. Подстановка при этом

Пример 2. Решение. и бесконечные разрывы (2 рода) Подстановка при этом

Пример 3. Решение. При разрыв 1 рода, скачок

Пример 4. Решение.

Пример 5. Решение. - тока разрыва

Найдите производные функций: Пример 1. Решение. Пример 2. Решение.

Пример 3. Решение. Пример 4. Решение.

Пример 5. Решение. Пример 6. Решение. Пример 7. Решение.

Пример 8. Решение.

Пример 9. Решение.

Пример 10. Решение.

Пример 11. Решение.

Пример 12. Решение.

Пример 13. Решение.

Пример 14. Решение.

Пример 15. Решение.

Пример 16. Решение.

Пример 17. Решение.

Пример 18. Решение.

Пример 19. Решение.

Пример 20. Решение. Найдите

Пример 21. Решение. Найдите

Пример 22. Решение. Найдите

Пример 23. Решение. Найдите

Пример 24. Решение. Найдите

Пример 25. Решение. Найдите

Пример 26. Решение. Найдите

Пример 27. Вычислить приближенно используя соотношение Решение.

Пример 28. Вычислить приближенно используя соотношение Решение.

Пример 29. Написать уравнение касательной к кривой в точке Решение.

Пример 30. На кривой найти точку в которой касательная параллельна прямой Решение. Пусть - искомая точка где - угловой коэффициент касательной. Из уравнения но Ответ:

Пример 31. Точка движется вдоль прямой по закону , м. Определить скорость и ускорение точки в момент времени Решение.

Пример 32. Зависимость между количеством вещества, получаемого в химической реакции и ее временем выражается уравнением: где и , заданные скорость реакции Решение. . Определить

Пример 33. Определить значение , при которых система имеет ненулевое решение и найти их Решение. Т. к. то в системе бесчисленное множество решений.

Пример 34. Дано Доказать, что Доказательство.

35. Определить углы треугольника ми с вершина- Решение. Угол между ними находим по формуле Отсюда угол между ними Следовательно,

Пример 36. Найти значение коэффициента , при котором векторы и будут взаимно перпендикулярны, если и угол между векторами и равен Решение. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю Произведения векторов по определению скалярного произведения будут Таким образом, откуда

Пример 37. Пирамида задана координатами ее вершин Найти а) длину ребра б)площадь грани в)угол между ребрами и Решение.

Откуда

Пример 38. На векторах и построен параллелепипед. Найти его высоту, опущенную на грань, образованную векторами и Решение. где векторами площадь грани, образованная и Таким образом,

Пример 39. Через точку провести прямую так, чтобы середина ее отрезка между прямыми и лежала на прямой Решение. Определим координаты точки А, решив систему уравнений Определим координаты точки В, решив систему уравнений Подставляя координаты точек и в уравнение прямой, проходящей через две точки, получим

Пример 40. Установить, как расположены относительно окружности точки Решение. Подставим координаты точки окружности, получим тельно, точка лежит вне окружности. в уравнение следова- Подставим координаты точки , будем иметь следовательно, точка лежит вне окружности. Подставим координаты точки получим следовательно, точка лежит вне окружности.

Пример 41. Определить координаты вершины параболы, величину параметра и уравнение симметрии, если парабола задана уравнением Решение. Дополним левую часть уравнения до полного квадрата переменной или Следовательно, вершина параболы имеет координаты Параметр а ось симметрии параллельна оси и имеет уравнение

Пример 42. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярную линии пересечения плоскостей и Решение. Найдем вектор параллельной линии пересечения Плоскостей Воспользуемся теперь уравнением плоскости, проходящей через точку нормальный вектор которой параллелен линии пересечения плоскостей или

Пример 43. Написать уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости с прямыми и Решение. Запишем уравнение первой прямой в параметрическом виде Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью подставим эти уравнения в уравнение плоскости и найдем параметр

Пример 44. Найти проекцию прямой на плоскость Решение. прямой; пусть тогда Проекция есть пересечение плоскостей

Пример 45. Гипербола проходит через точку асимптоты и имеет Составить уравнение гиперболы. Решение. Запишем уравнения асимптот в общем виде тогда Обозначим и где - коэффициент пропорциональности. Так как точка принадлежит гиперболе, то, подставляя ее координаты и значения и в каноническое уравнение, получим откуда следовательно, Уравнение гиперболы примет вид

Пример 46. Решить матричное уравнение: относительно Решение.

Пример 47. Даны вершины трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны: Найти координаты вершины Решение. Уравнение прямой Для прямой

по условию Уравнение прямой Уравнение

Точка Ответ: есть точка пересечения и :