Решение параболического уравнения (уравнение теплопроводности)
1. Постановка задачи • Рассмотрим однородный стержень длиной l. Боковая поверхность стержня теплоизолирована и потеря тепла через нее равна нулю. Тепло в стержне может распространяться только в направлении оси стержня. Поперечные сечения стержня – изотермические поверхности – во всех точках данного сечения температуры а данный момент времени одинаковы.
о x l • Температура в произвольной точке стержня является функцией 2 ух переменных – координаты x и времени t : T=f( x, t). • Пусть в начальный момент времени t=0 задано начальное распределение температуры по длине стержня в виде некоторой функции аргумента x: T(x, 0)=f (x) Зависимость (1. 1) – начальное условие. (1. 1)
Пусть заданы законы изменения температуры во времени на концах стержня при x =1 и x=l в виде некоторых функций, но другого аргумента t: T(0, t) = j 1(t), T(l, t) = j 2(t) (1. 2) Зависимости (1. 2) – краевые (граничные) условия. Задача моделирования процесса теплопередачи в однородном теплоизолированном стержне состоит в определении температуры в любом сечении стержня в некоторый, интересующий момент времени t при известных начальных (1. 1) и краевых (1. 2) условиях.
2. Математическая модель • Распределение температуры в однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью описывается уравнением • Где T- температура в градусах Кельвина (К); x – координата (расстояние от левого кона стержня), м; t – время, с; a 2 – коэффициент, характеризующий теплофизические свойства материала – коэффициент температуропроводности=l/cr, м 2/K. Коэффициент всегда положителен.
Введем новое время =a 2 t. Тогда (3) примет вид Уравнение (4) – приведенное однородное уравнение теплопроводности. Совместно с начальными (1. 1) и краевыми(1. 2) условиями оно является исходной математической моделью для решения задачи моделирования процесса теплопередачи в однородном стержне и теплоизолированной боковой поверхностью.
3. Метод решения Метод сеток. Рассмотрим в двумерной области {0 x l, 0 }пространственно-временную систему координат (x, ) рис. 2. Построим прямоугольную сетку: xi=i h, i = 0, 1, 2, …. n; j = j k, j = 0, 1, 2, … h = x = l/n – шаг сетки по оси x, k = = h 2 - шаг сетки по оси (по времени), -постоянная величина x
Введем обозначения Заменим уравнение (4) конечно-разностным уравнением Решим уравн. (5) относительно температуры на j+1 – м временном слое, получим Из формулы (6) ясно, что зная значения функции T(xi, yj) в точках j –го временного слоя можно вычислить значения функции T(xi, yj+1) в точках следующего (j+1) - го временного слоя. При вычислении пользуются четырьмя соседними узлами – явная разностная схема (рис. 3). k h i-1, j i, j+1 j +1– й временной слой h i, j j – й временной слой i+1, j Исходя из начального временного слоя j = 0, значения T (x, t) для которого определяются из начального условия , и используя значения функции в крайних узлах (0, j) и (l, j ) (j =0, 1, 2, . . ), определяемые граничными условиями Последовательно вычисляем значения температур в узлах сетки i = 1, 2, …, n-1. Вычислительная схема будет устойчивой, если малые погрешности, допущенные в процессе решения затушают или во всяком случае остаются малыми при неограниченном увеличении номера текущего. Условие устойчивости данной разностной схемы 0 < ½.
4. Алгоритм моделирования
Блок-схема алгоритма решения
5. Метод прогонки для уравнения теплопроводности • Процесс решения задачи можно ускорить, если при замене дифференциального уравнения конечноразностным использовать неявную разностную схему рис. 5. 1 i-1, j+1 i+1, j+1 Отличие от явной – для составления конечно-разностного уравнения используются три узла сетки на j+1 – м временном слое и один узел на j– м слое. i, j Рис. 5. 1. Неявная разностная схема Конечно-разностное уравнение, заменяющее диф. уравнение теплопроводности в узле (xi, j) сетки В уравнение (7) значение температуры на j - м слое в I – м узле являютcя известными, а все остальные – известными (кроме To и Tn). Положив h 2=s k, из (7) получим
Из граничных условий получим В результате получим систему n-1 линейных алгебраических уравнений, которую будем решать методом прогонки. Подставим в ур. (8) выражение (10), получим При i=1 из (8) получим
Прямым ходом вычисляем прогоночные коэффициенты Ai, Bi, i=1, 2, …n-1. Обратным ходом вычисляются значения температур на j+1 временном слое для i=n-1, n-2, …, 1 по формулам (10).
Алгоритм моделирования с использованием метода прогонки
Блок-схема алгоритма решения методом прогонки
Скачать презентацию Решение параболического уравнения (уравнение теплопроводности) 1. Постановка
параболическое_уравнение.ppt