Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕМА 4. ПРЕДЕЛЫ Лекция

Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕМА 4. ПРЕДЕЛЫ Лекция 4. 1. Функция. Числовая последовательность. Вопросы 1. Функция. 2. Основные элементарные функции и их графики. 3. Числовая последовательность и ее предел. 4. Свойства пределов последовательностей.

1. Функция Опр. Заданы два непустых множества Х и Y. Соответствие , которое каждому элементу х Х сопоставляет один и только один элемент у Y , называется функцией и записывается у = f (х), х Х или f: Х Y.

Говорят еще, что функция отображает множество Х на множество Y. Например, соответствия и g , изображенные на рисунке 1 а и б , являются функциями, а в и г — нет. В случае в — не каждому элементу х Х соответствует элемент у Y. В случае г не соблюдается условие однозначности

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х ). Относительно самих величин x и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. у = у(х) или у = f (х) Частное значение функции f (х) при х = а записывают так: (а). Например, если f (х) = 2 x 2 — 3, то (0) = -3, (2) =5.

Опр. Графиком функции у = f (х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, a y — соответствующим значением функции.

Т ри способа задания функции: аналитический, табличный, графический. Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений Графический способ: задается график функции. Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.

Основные характеристики функции 1. Функция у = f (х), определенная на множестве D, называется четной, если х D выполняются условия -х D и f (-х) = f (х); нечетной, если х D выполняются условия -х D и f ( — х) = — f (х). График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.

2. Пусть функция y = f ( x ) определена на множестве D. Если для ( х 1 , х 2 ) D из х 1 < х 2 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), то ф-я наз возрастающей на множестве D ; из х 1 < х 2 f ( x 1 ) (х 2 ) , то ф-я наз неубывающей ; из х 1 f ( x 2 ), то ф-я наз убывающей; из х 1 < х 2 f ( x 1 ) ( x 2 ) , то ф-я наз невозрастающей . Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными.

3. Функцию у = f (х), х D, называется ограниченной на D, если М >0: x D f (х) М. Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у = -М и у = М (см. рис. ). · 4. Функция у = f (х), определенная на D, называется периодической на этом множестве, если Т > O, что при каждом х D значение (х+ T) D и f (х+ T) = f (х). При этом число T называется периодом функции.

2. Основные элементарные функции и их графики

52) Степенная функция у = х R.

3) Логарифмическая функция у = logаx, а > 0, а 1;

4) Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tgx, у = ctg х.

заданная на множестве N натуральных чисел. def: { x n } или x п , n N. Число х 1 называется первым членом (элементом) последовательности, x 2 — вторым, . . . , x п — общим или п-м членом последовательности. Опр. Под числовой последовательностью х 1 , х 2 , х з , … , x п , … понимается функция х п = f (n) , 3. Числовая последовательность и ее предел

n = n ² + 1, z n = , y n = , u n = , n N задают соответственно последовательности nn 1 n 1 n n 1 n ={2, 5, 10, . . . , n ² + 1, . . . }; z n ={-1, 2, -3, 4, . . . , , . . . }; у n ={1, , …, , …} u n ={0, , , …, , …} nn

Опр. Последовательность {хn} называется ограниченной, если М > О т. ч. n N выполняется неравенство хn М. Опр. Последовательность {хn} называется возрастающей (неубывающей), если для т выполняется неравенство am+1 > am (am+1 am).

Опр. Число а называется пределом последовательности {х n }, если для любого положительного числа найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство x n — a < .

Коротко определение предела можно записать так: ( 0 N : n N x n – a ) lim x n = a

Пример Доказать, что 11 lim nn n. Решение: По определению, число 1 будет пределом последовательности x n = , n N, если > 0 найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N выполняется неравенство -1 , т. е. . Оно справедливо для всех n > , т. е. для всех n > N = [ ] , где [ ] — целая часть числа (целая часть числа х, обозначаемая [ х ] , есть наибольшее целое число, не превосходящее х; так [3] = 3, [5, 2] = 5). Если > l, то в качестве N можно взять [ ] + 1. Итак, > 0 указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что п п 1 1 1 п п 1 11 lim nn n

Выясним геометрический смысл определения предела последователь ности. Неравенство (2) равносильно неравенствам — < x – a < или а- < x n N, попадут в -окрестность точки а (см. рис. ). Чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри — окрестности точки а находится бесконечное число членов после- довательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся последоват ельност ь имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, назы- вается расходящейся.

Теорема: Р азность сходящихся последов ательностей {xn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, пред ел которой равен разно сти пред елов последовательностей {xn} и {yn}. Теорема: Про изведение сходящихся последователь ностей { x n } и { y n } есть сходящаяся последовательность, пред ел которой равен произв едению пределов последовательностей { x n } и { y n }. Теорема: Ч астное сходящихся по следовательно стей { x n } и { y n }, при условии что предел { y n } отличен от нуля , есть сходящая ся последовательность, предел кото рой рав ен частно му пред елов последователь ностей { x n } и { y n }. Теорема: Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} есть сходящаяся последователь ность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Теорема Если x n = а, y n = b и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство x n y n , то а b. lim n

Теорема (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел