РАЗДЕЛ 1 Элементы линейной алгебры

РАЗДЕЛ 1 Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра. Основные сведения о матрицах. Виды и свойства матриц. Операции над матрицами.

1. Понятие матрицы Определение. Прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов, называется матрицей размера тхп. Числа, составляющие матрицу – элементы матрицы. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита ( А, В, С, …), а элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией ( , где i – номер строки, j – номер столбца). Матрицы записываются ( ), или [ ], или || ||.

или

Определение. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т. е. А = В, если для любых

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед. ): Отрасли экономики Ресурсы промышленность сельское хозяйство Электроэнергия 5, 3 4, 1 Трудовые ресурсы 2, 8 2, 1 Водные ресурсы 4, 8 5, 1 может быть записана в виде матрицы Например, элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

2. Виды матриц Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)- строкой , а из одного столбца – матрицей- столбцом: – матрица-строка – матрица-столбец

Определение. Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной п-го порядка. Ее элементы образуют главную диагональ матрицы. Например, – квадратные матрицы 3 -го порядка.

Определение. Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: Например, диагональная матрица 3 -го порядка

Если у диагональной матрицы п-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной п-го порядка и обозначается буквой Е: Например, единичная матрица 3 -го порядка имеет вид

Определение. Матрица любого размера называется нулевой или нуль – матрицей , если все ее элементы равны нулю:

Определение. Квадратная матрица называется треугольной , если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например,

3. Операции над матрицами 1) Умножение матрицы на число. Определение. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой для Правило. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

Например, Если , то . Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например, . Частный случай: произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица, т. е.

2) Сложение матриц Определение. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В , элементы которой равны суммам элементов матриц А и В , расположенных на соответствующих местах, т. е. матрицы складываются поэлементно: для

Например, Частный случай: А + О = А.

3) Вычитание матриц Определение. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (− 1) ∙ В. Например,

4) Умножение матриц. Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица С , у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В, т. е.

т. е.

Элементы матрицы С вычисляются по формуле: , т. е. каждый элемент равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В. Правило. Для получения элемента , надо элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Пример. Вычислить произведение матриц А ∙ В, где Найдем размер матрицы-произведения

5) Возведение в степень Определение. Целой положительной степенью А т ( т >1) только квадратной матрицы А называется произведение т матриц, равных А, т. е. По определению:

Пример. Возвести матрицу A в квадрат и в куб, Решение.

6) Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы А:

Например, если , то . Свойства операции транспонирования:

4. Свойства операций над матрицами Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами: 1. А + В = В + А 2. (А + В) + С = А + (В + С) 3. А (В + С) = АВ +АС 4. (А + В) С = АС + ВС 5. А (В ∙ С) = (АВ) ∙ С 6. А + О = А 7. А – А = О 8. 9.

Однако имеются и специфические свойства матриц. 1) Если произведение матриц А∙В существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц В∙А может и не существовать. Например, существует, а не существует.

2) Если даже произведения А∙В и В∙А существуют, то они могут быть матрицами разных размеров. Пример. Найти произведение матриц А∙В и В∙А :

3) Когда оба произведения А∙В и В∙А существуют и оба – матрицы одинакового размера, коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще, не выполняется, т. е. . Пример. Найти произведение матриц А∙В и В∙А , где Решение.

Частный случай. Коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А п- го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А: Т. о. , единичная матрица при умножении играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

4) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т. е. из того, что А∙В = О , не следует, что А=О или В=О. Например,

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Даны матрицы

Найти: 1) 2 А-5 В; 2) АВ; 3) ВА; 4) АВ+ВА; 5)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 1 пересдача Даны матрицы