Рассмотрим вертикальную пластинку, помещенную в поле сил тяжести,

Рассмотрим вертикальную пластинку, помещенную в поле сил тяжести, на которой происходит некоторая гетерогенная химическая реакция. Предположим, что скорость собственно химического превращения весьма велика по сравнению со скоростью переноса вещества, концентрация реагирующего вещества на поверхности пластинки равна нулю, концентрацию вещества вдали от пластинки с0, плотность раствора зависит от его концентрации. Если плотность раствора мало зависит от его концентрации, можно приближенно написать: Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки.

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Уравнения неразрывности и движения жидкости в пограничном слое в поле тяжести имеют вид: Уравнения конвективной диффузии: Здесь (с) — плотность раствора в произвольной точке раствора и (с0) — плотность вдали от пластинки, vх и vу — тангенциальный и нормальный компоненты скорости жидкости.

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Примем, прежде всего, что изменение плотности раствора с изменением его концентрации достаточно мало Подставляя плотность в уравнение движения, получаем Введем новую безразмерную концентрацию  = (с0 – c)/c0.

Граничные условия для этих уравнений: Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Вводим новую безразмерную переменную и функцию тока В новой переменной компоненты скорости имеют вид

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Функция f удовлетворяет уравнению В новых переменных уравнение диффузии приобретает вид Граничные условия задачи:

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Формальное решение уравнения В этой формуле функция f еще не определена. Введем такую толщину пограничного слоя 0, что вне пограничного слоя, при  > 0, скорость жидкости будет равна нулю, а на его границе, при  = 0, выполнится условие

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Значение толщины пограничного слоя 0 определяется из дальнейшего решения. Функцию f при  < 0 разложим в ряд по степеням  Ограничиваясь в первом приближении только одним членом разложения f, находим:

Вводя новую переменную интегрирования t =  ( Pr/2)1/3, находим: Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Если t > 1. то, учитывая быструю сходимость интеграла, можно заменить его предел на бесконечный и написать:

Напротив, если t < 1, то можно приближенно положить: Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Из граничного условия найдем толщину пограничного слоя η0 или

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Найдем величину β, подставляя распределение концентрации, определяемое формулой , в уравнение Приближенное решение этого уравнения можно написать в виде

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Величина  может быть найдена из граничного условия В точке  = 0 производная f’ должна обращаться в нуль. Это приводит к соотношению Подстановка в это выражение значения 0 дает возможность определить : =0.48/(Pr1/4).

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Плотность диффузионного потока при естественной конвекции имеет вид: Подставляя значение β в выражение и переходя к концентрации с получаем

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки. Эффективная толщина диффузионного слоя равна Оценка порядка величин диффузионных потоков при естественной конвекции позволяет упростить выражение определяющее плотность потока: Полный диффузионный поток на пластинку

Диффузионный поток при естественной конвекции. Случай вертикальной пластинки.