Рассмотрим числовую последовательность где aa 11 =2,

Рассмотрим числовую последовательность где aa 11 =2, aa 22 =2. 25, aa 33 =2. 37 … … Можно предположить, что эта последовательность будет возрастающей. n nn a

Воспользуемся формулойn m x n nmmm x mm mxx ! )1). . . (1(. . . !3 )2)(1( !2 )1( 1)1( 32 где m m – – любое действительное число. В нашем случае:

n nn nnnn n a 1. . . 21 ))1(). . . (1(. . . 1 321 )2)(1( 1 21 )1(1 1 3 2 n n nnn 1 1. . . 2 1 1 1. . . 321 1. . .

Видно, что с ростом nn увеличивается число положительных слагаемых, которых всего будет n+1 n+1 , и растет величина каждого слагаемого, т. е. . . . 321 naaaa Это значит, что данная последовательность возрастает. Теперь покажем, что она является ограниченной. . Поскольку каждая скобка меньше единицы, отбрасываем эти скобки и получаем неравенство:

n an . . . 321 1 2 Теперь каждую дробь в правой части заменяем большей дробью с двойкой в знаменателе: 12 2 1. . . 321 1. . . 2 1 321 1 n n Получаем: 12 2 1. . . 2 1 2 nna

Сумма есть сумма nn — 11 членов геометрической прогрессии, где первый член 12 2 1. . . 2 1 n 2 1 1 a и знаменатель 2 1 q По формуле суммы членов геометрической прогрессии имеем:

1 2 1 1 )1( 1 11 1 1 n nn n q qa SТ. к. SS n-1 n-1 <1<1 , то 312 1 1 n n n a Действительно, данная последовательность является ограниченной.

Согласно признаку существования предела, монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Числом е или вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательностиe n n n 1 1 lim

е – число Эйлера е=2, 718281… Можно показать, что функция x x xf 1 1)( при x где хх пробегает все значения, а не только целые, тоже имеет предел, равный ее : :

e x x x 1 1 lim

Пусть x y 1 , тогда eyy y 1 0 1 lim

1 x xx 3 5 1 lim Вычислить

x xx x x xxx 3 5 5 3 5 1 lim 15 15 55 1 lime x x x e

2 y y y 2 0 31 lim Вычислить

y y y yy 3 2 3 1 0 2 0 31 lim e 6 6 3 1 0 31 lim eyy y

3 В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составляет QQ 00 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно Р %Р % годовых. Найти размер вклада через tt лет. При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину 0 100 Q P

То есть 100 101 P QQ На практике часто применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число. . . 100 2 102 P QQ 100 10 Pt QQt 100 1 P раз, т. е.

100 101 P QQЕсли начислять проценты не один, а nn раз в году, то при ежегодном приросте Р %Р % , процент начисления за 1/1/ nn часть года составляет Р/Р/ nn %. %. . 100 1 2 02 P QQ t t P QQ 100 10 Тогда размер вклада за tt лет при ntnt начислениях составит

nt t n P QQ 100 10 Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие ( nn =2=2 ), ), ежеквартально ( nn =4=4 ), ежемесячно ( nn =12=12 ), каждый день ( nn =365 ), каждый час ( nn =8760 ) ) и далее непрерывно x Тогда размер вклада за tt лет составит nt nt n P QQ 100 1 lim

t Pt nt n P P n n Qe. Q n P Q 100 0 100 1 lim e. Эта формула выражает показательный (экспоненциальный) рост (при P>0 P>0 ) или убывание (при P<0 P<0 )). Погрешность вычисленной суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов оказывается незначительной (около 2. 5 %).