Пусть y = f(x) – дифференцируемая и

Пусть y = f(x) – дифференцируемая и монотонная функция на промежутке Х. Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную x как функцию, то функция x = φ (y) является обратной функцией к данной, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

ТЕОРЕМА Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции: x y y x

По условию функция y = f(x) дифференцируема и Тогда. Пусть Δ y — приращение независимой переменной y , не равное 0. Δ х – соответствующее приращение обратной функции x = φ (y) , также неравное 0. 0)()(xfxy x yy x 1 Переходим в этом равенстве к пределу при 0 y

Учитываем, что в силу непрерывности обратной функции 0 x x yy x x y 0 0 lim 1 lim y x x y y x

Эта формула имеет простой геометрический смысл. Еслиx y есть тангенс угла наклона касательной к кривой y = f(x) к оси абсцисс, то y x есть тангенс угла наклона той же касательной к оси ординат.

x y)(xfy

Причем 2 если α и β – острые углы 2 3 если α и β – тупые углы tg tg