Пусть переменная y есть функция от переменной

Пусть переменная y есть функция от переменной u , y = f(u). И пусть переменная u есть функция от переменной x , u = φ (x). То есть задана сложная функция)(xfy

Если y = f(u) , u = φ (x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной: xuufy)(

Дадим аргументу х приращение Δ х, не равное 0, тогда функции u = φ (x) , y = f(u) получат приращения Δ u и Δ y. Предположим, что Δ u не равно нулю, тогда в силу дифференцируемости функции y = f(u) получим: )(lim 0 uf u y u Причем, величина )(uf не зависит от Δ u.

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций функцию, стоящую под знаком предела, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины: )()(uuf u y Отсюда: uuuufy)()(где α ( Δ u ) – бесконечно малая величина при 0 u Делим обе части равенства на Δ x : xu uf xy )()(

Т. к. по условию функция u = φ (x) дифференцируема, то она непрерывна в точке x. Следовательно, при 0 x и 0 u 0)(u Переходим в последнем равенстве к пределу при 0 x x u uuf x u x y y xxxx 0000 lim)(limlim 0 x uuf )(

Правило дифференцирования сложной функции можно записать иначе: xux uyy или dx du du dy dx dy

11 Найти производные сложных функций: 3 5 xy

553 2 xxy x xxx

223 2 2 1 1 x x y

1 1 3 1 2 23 2 2 2 x x y 22 22223 2 2 2 )1()1()1()1( 1 1 3 1 x xxxx x x

22 223 2 2 2 )1(2)1(2 1 1 3 1 x xxxx x x 22 333 2 2 2 )1( 2222 1 1 3 1 x xxxx x x 22 3 2 2 2 )1( 4 1 1 3 1 x x