ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Что же такое простое число Это

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Что же такое простое число? Это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, …

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? Ч. Узерелл

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА Числа Мерсенна — числа вида Mn =2ⁿ-1, где n – натуральное число. Числа носят имя французского математика Марена Мерсенна, жившего в начале XVII века. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, . . . Мерсенна интересовало, какие из чисел Марен Мерсенн Mn =2ⁿ-1 являются простыми. 1588 – 1648 Последовательность простых чисел Мерсенна начинается так: 3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, . . . Простые числа Мерсенна являются самыми большими простыми числами, известными науке.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА То, что М 31 – простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число М 127 = 170141183460469231731687303715884105727– простое. В 1883 году Сельский священник Пермской губернии И. М. Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М 61=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М 89 и М 107 – простые.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА В XX веке в работу по поиску простых чисел Мерсенна включились ЭВМ, считающие с огромной скоростью. В 1952 году было найдено сразу пять новых простых чисел Мерсенна: М 521, М 607, М 1279, М 2203, М 2281. Они являются соответственно тринадцатым – семнадцатым простыми числами Мерсенна. Следующие шесть простых чисел Мерсенна были найдены в период с 1958 года по 1963 год: М 3217, М 4253, М 4423, М 2689, М 9941, М 11213. В 1971 году было найдено 24 -е простое число Мерсенна М 19937. В 1978 году – 25 -е простое число Мерсенна М 217021, в 1979 году – 26 -е и 27 -е простые числа Мерсенна М 23209 и М 44497.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА К 1991 году было известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых имеет 65050 цифр. В конце 2001 года было найдено простое число, равное 213466917 -1. Его запись содержит 4 053 946 цифр. Честь его открытия принадлежит 20 -летнему канадцу Майклу Камерону.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА Согласно статистике Проекта распределенных вычислений GIMPS на отыскание простого числа Мерсенна 213466917 -1 суммарно было затрачены 13000 лет машинного времени (130 000 участников в течении почти 2 -х лет). На независимую проверку простоты указанного числа ушло 3 недели вычислений на рабочей станции Alpha. У самого же Камерона на персональном компьютере открытие – конечно, совершённое им случайно – заняло 45 дней. Найденное Камероном число стало 39 -м из известных в математике простых мерсенновских чисел. Предыдущее, 38 -е число, обнаруженное два с половиной года назад (также в рамках проекта GIMPS), содержит более двух миллионов цифр.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА На декабрь 2005 года было известно 43 простых числа Мерсенна. Наибольшим из них является число 230402457 -1. 4 сентября 2006 года, доктор Куртис Купер и команда доктора Стивена Буна нашли 44 простое число Мерсенна: 232582657 -1. На данный момент самым большим известным простым числом является число Мерсенна М 43112609=243112609 -1, найденное 23 августа 2008 года. Вычисление было осуществлено с помощью 75 компьютеров, объединенных в сеть. 6 сентября 2008 года было найдено 46 простое число Мерсенна.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА Интересно отметить, что 46 -е найденное простое число Мерсенна было найдено на две недели позднее 45 -го найденного простого числа Мерсенна и оказалось меньше его. Длина 46 -го числа M 43112609 составляет 12978189 десятичных цифр, что позволило GIMPS в 2009 году получить премию в 100 тыс. долларов США, назначенную сообществом Electronic Frontier Foundation (фонд “электронный рубеж”) за нахождение простого числа длина которого превышает 10 миллионов десятичных цифр. Таким образом, всего известно 47 простых числа Мерсенна, причём порядковые номера с уверенностью установлены только у первых сорока.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА *Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным критерием простоты Люка — Лемера, благодаря которому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа. *Тест Люка — Лемера — эффективный тест простоты для чисел Мерсенна. Этот тест был предложен Люка в 1878 году и в 1930 году усовершенствован Лемером (Lehmer). *Именно тест Люка — Лемера лежит в основе проекта распределённых вычислений GIMPS, занимающимся поиском новых простых чисел Мерсенна.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА *Тест Люка — Лемера базируется на том наблюдении, что простота числа Мерсенна Mp = 2 p - 1 влечёт простоту числа p, и следующем утверждении: *Для простого числа р≥ 3 число Mp является простым тогда и только тогда, когда оно делит число Lp - 1, где числа Lk определяются рекуррентным соотношением: . *Например, M 3 = 23 – 1=7. L 3 – 1 =L 2 = L 12 -2= 42 -2=16 -2=14. 14: 7=2, т. о. L 3 – 1 : M 3 – простое число Мерсенна.

Применение Числа Мерсенна долгое время были абсолютно бесполезными, как, впрочем, и совершенные числа. Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики. На практике простые числа Мерсенна применяются для построения генераторов псевдослучайных чисел с большими периодами, таких, как вихрь Мерсенна.

Открытые проблемы До сегодняшнего дня важнейшими остаются следующие вопросы: 1. Конечно или бесконечно множество всех простых чисел Мерсена? 2. Является ли простым число Мерсенна вида 3. .

Это интересно! За нахождение простых чисел из более, чем 100 000 и 1 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ * Варпаховский А. С. Тайны совершенных чисел и дружественные пары. // Квант. – 1973. – № 10. – с. 71 -74. * Депман И. Я. Совершенные числа. // Квант. – 1991. – № 5. – с. 13 -17. * Черемушкин A. В. Лекции по арифметическим алгоритмам по криптографии. – М. : МЦНМО, 2002. – 104 с. * * http: //dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/5319 http: //hypatia. magomir. ru/ariph/lesson 17. html