Производная и дифференциал. Вычисление производной путем логарифмирования.

Производная и дифференциал.

Вычисление производной путем логарифмирования. • Функцию вида называют показательно-степенной или сложной показательной функцией. vxv uxuy )(

v uylnln uvylnln uvuv y y lnln

u u vuv y y ln u u vuvyyln u u vuvuy v ln

1. Продифференцировать функцию: x xylnln xxylnln xxxx y y lnln x xx y y 1 ln 1 ln x y y xyyln 1 xxy x ln 1 x xy

2. Продифференцировать функцию: 3 22 1 1 x xx y 3 2 2 1 1 lnln x xx y 3 1 2 2 1 1 lnln x xx y 2 2 1 1 ln 3 1 ln x xx y

22 1 lnln 3 1 lnxxxy 1 ln 21 lnln 3 1 ln 2 xxxy 1 12 1 11 3 1 2 2 x x xy y

1 21 3 1 2 xx x xy y 1 21 3 1 2 xx x x yy 1 21 1 1 3 1 2 3 2 2 xx xx y. Ответ:

3. Продифференцировать функцию: xyxtanlogsin xx y tanlnsinln xxytanlnsinln x x y sinln tanln

x x y sinln tanln x xxxx y sinlntanlnsinlntanln 2 x xx x x y sinln sin tanlnsinln tan

x xx xx x xsin tanlncos costan sinln 1 22 x xx xx x xsin tanlncos cossin sinln 1 2 xx xcossin tanlncossinln

x xxx x 2 sin 21 tanlncossinln 12 2 xx xxx sinln 2 sin tanlncossinln

Производная неявной функции. явная функция неявная функция y=f(x) y-f(x)=0 или F(x, y)=001 xxy 1 1 x y yxxysin 3 22 xy 2 2 xy

Пусть01 xxy 01 xyxyx 01 yxy yyx 1 x y y 1 1 11 xx x y 2 1 1 1 xx y

x y y 1 2 1 1 1 xx y 2 1 1 1 xx x x y y 1 1 x y

4. Продифференцировать функцию: yxxy sin 3 yxxysin 3 yxyxyxsin 33 yyyyxycos 13 23 32 1 cos 3 yyyxy y y cos 3 1 2 3 Ответ:

Производная функции, заданная параметрически. Пусть — обратная для функции Тогда функцию y = f ( x ) можно рассматривать как сложную функцию: , т. е где t — промежуточный аргумент. )( )( tyy txx )(txx)(xt )(, xttyy)(xyy

По правилу дифференцирования сложной функции, получим: t t t xxtx x y x ttyy 11 t t x x y y теорема о дифференцировании обратной функции

Пример: найти , если 22 1 1 : 1 1 t t ttx y y t t x xy ty tx arctan ln 2 1 t t yx t txt 1 ln 2 1 1 arctan t tyt Ответ: