Производная и дифференциал. Производные высших порядков.

Производная и дифференциал.

Производные высших порядков. • n -ой производной (или производной n -го порядка ) функции f ( x ) в точке х называется производная от производной ( n -1) -го порядка в точке х. 1 nn yy n n nn dx yd xfy, , Обозначение:

yy dx yd dx dy dx d dx yd xfy , , ), (, 2 2 n. VIV yyyyyy, . . . , , , n yyyyyy, . . . , , , 54 вторая производная Обозначения: или

1. Найти производную второго порядка: 2 arcsin x y 4 1 1 21 arcsin 22 x x u u u x y 22 4 1 4 2 2 1 xx

2 2 224 41 4 1 x x u u ux y 2222 2 442 2 424 4 2 xx x u u u 22 44 xx x

2. Найти n -ую производную: x ey 2 xxuux eexeueey 222 22 xx eey 22 42 xx eey 22 84 xx. IV eey 22 168 xnn ey 2 2 Ответ: и т. д.

3. Найти n -ую производную: xyln x xy 1 ln 2 11 xx y 3422 2211 xx x u u ux y 46 2 3 32322 xx x xy IV 58 3 4 43243232 xx x x y. V n nn x n y !1 1 1 и т. д.

4. Найти производную 10 -го порядка: xysin 2 sincossin xxxy 2 2 sinsincos xxxy 3 2 sincossin xxxy 4 2 sinsincos xxxy IV и т. д.

nxy n 2 sin xxxxysinsin 5 sin 10 2 sin 10 Тогда xysin 10 Ответ:

Производная высших порядков неявно заданной функции. 5. Найти , если y 1 22 yx 1)1 22 yx 022 yyx y

22)2 y yx xy y yxyx yx y 33 22 1 yy xy 546 2 6 3 3 31 )3 y x y yy y y

Производная высших порядков от функции, заданной параметрически. )( )( tyy txx 3 t tttt xx x xyxy y t tx xx x y y или

6. Найти , если 22 1 1 : 1 1 t t ttx y y t t x ty tx arctan ln t txt 1 ln 2 1 1 arctan t tyt xxy

t t tttt t x y y t tx xx 22 22 2 1 11 1 22 22 1 1 1 21 t tt t t tt Ответ: 22 2 1 1 t tt yxx

7. Найти в точке t=1 , если Ответ: xxy 12 13 3 2 ty ttx 2 32 tt x tx ty ty tt 12 6 2 33 2 3 32 312 32 263212 t ttt x xyxy y t tttt xx 125 48 5 412 31 txxy 125 48 1 txxy

8. Найти , если xxy Ответ: 2 ty ttx 2 sin sincos

Физический смысл второй производной 0 0 0; t tt tvtv taср t v aa t cp t 00 limlim Среднее ускорение точки за время Δ t : Ускорением точки в момент времени t : tststv 2 2 dt sd dt ds dt dv t v aa t cp t 00 limlim или

• Ускорение прямолинейного движения точки в данный момент времени равно второй производной пути по времени. tstv t v a t 0 lim

Пример 9. Найти скорость v и ускорение a свободно падающего тела, если зависимость расстояния от времени t дается формулой cektmsstvgtts, 2 1 )(00 2 где -ускорение свободного падения, а — значение s при t=0 2 /8, 9 cekmg 00 tss(*)

0 vgttsv 00 tvv gtstva⇒(**) Замечание. Обратно, если ускорение некоторого движения постоянно и равно g , то скорость выражается равенством (**), а расстояние- равенством (*) при условии, что и 00 sst 00 vvt