Производная и дифференциал Непрерывность функции Если функция непрерывна

Производная и дифференциал Непрерывность функции Если функция непрерывна в точке  как слева, так и справа, то она непрерывна в данной точке.

Производная и дифференциал Точки разрыва Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва. Разрывы I рода Разрывы II рода Устранимые Неустранимые Неустранимые

Производная и дифференциал Точки разрыва: разрывы I рода Если функция в точке  имеет конечный двусторонний предел, но этот предел отличен от значения функции в этой точке (или точка не входит в область определения функции), то точка  называется устранимой точкой разрыва.

Производная и дифференциал Точки разрыва: разрывы I рода -3 -3 -2 -2 -1 -1 0

Производная и дифференциал Точки разрыва: разрывы I рода 3 3 2 2

Производная и дифференциал Точки разрыва: разрывы I рода 1 1 Доопределим функцию:

Производная и дифференциал Точки разрыва: разрывы II рода Если функция в точке  не имеет конечного левого, правого или обоих пределов, то функция не является неразрывной в точке , и эта точка называется неустранимой точкой разрыва.

Производная и дифференциал Точки разрыва: разрывы II рода

Производная и дифференциал Свойства непрерывности функции Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке , то функция f(x)  g(x), f(x)* g(x) и f(x) / g(x) (при условии, что g() ≠ 0) непрерывны в этой точке. Если функция u=g(x) непрерывна в точке  и функция y=f(u) непрерывна в точке g(), то сложная функция y=f(g(x)) также непрерывна в точке . Элементарные функции непрерывны в области их определения.

Производная и дифференциал Свойства непрерывности функции Первая теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем.

Производная и дифференциал Свойства непрерывности функции Вторая теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке достигает своих наименьших и наибольших значений.

Производная и дифференциал Свойства непрерывности функции Теорема Больцано-Коши: пусть функция определена и непрерывна на отрезке [а, b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка с [а, b], в которой функция равна нулю.

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Чтобы найти производную f(x) в точке х, необходимо: определить значения этой функции в точке х и в точке x+Δx, где Δx – приращение аргумента х; найти приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x); найти предел (если он существует) отношения приращение функции к приращению аргумента.

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Предел отношения Δу/Δх=tgВАС(b) tgDАС(а) при Δх 0 (если таковой существует), называется производной функции у = f(x) в точке х.

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Производная степенной функции: любой радикал (корень) нужно представить в виде для применения формулы Свойства степени

Свойства степени

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Производная тригонометрических функций у = sin x Используем формулу двойного угла sin2 = 2 sin* cos и организуем первый замечательный предел

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Производная логарифмических функций у = ln x Используем свойства логарифма и организуем второй замечательный предел

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Недифференцируемая функция Если пределы отношения приращений не совпадают, то в этой точке производная не существует.

Производная и дифференциал Понятие производной функции в точке Следовательно: если функция прерывна, или имеет изломы в заданной точке (хотя и непрерывна), то она недифференцируема в этой точке; если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

Производная и дифференциал Понятие дифференциал функции

Производная и дифференциал Понятие дифференциал функции Δ f  f(х)*Δх. Правую часть этого приближенного неравенства называют дифференциалом функции f(х) в точке х и обозначают df(x). df(x)= f(x)*dx

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования Вынесение константы за знак производной Пример. Вычислить производную функции

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования Производная суммы функций Пример. Вычислить производную функции

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования Производная произведения функций Пример. Вычислить производную функции

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования Производная частного функций Пример. Вычислить производную функции

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования Производная сложной функций Пример 1. Вычислить производную функции Определяем внешнюю и внутреннюю (вложенную) функцию: Применяем правило дифференцирования сложной функции:

Производная и дифференциал Основные правила дифференцирования Пример 1. Вычислить производную функции Определяем внешнюю и внутреннюю (вложенную) функцию: Применяем правило дифференцирования степенной функции: Применяем правило дифференцирования сложной функции:

Производная и дифференциал Основные правила вычисления дифференциалов df(x)= f(x)*dx Пример. Вычислить дифференциал функции