Производная функции Производные высших порядков Производные от функций,

Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала Применение дифференциала в приближенных вычислениях Правило Лопиталя

Производные высших порядков Итак: Производной n – ого порядка (или n – ой производной) называется производная от производной n -1 — ого порядка. Производная функции есть также функция от x и называется производной первого порядка. )(xfy Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается: )(xf 2 2 ); (; dx yd xfy)(yy Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка и обозначается: 3 3 ); (; dx yd xfy)(yy Итак: )( )1()( nn yy

Производные высших порядков — производная пятого порядка. Начиная от производной 4 порядка , производные обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках: v yилиy )5( Вычислить производную n – ого порядка от функции: )1 ln(xy 1 )1( 1 1 )1 ln( x xx x xy ; 111 21 xxy 32 1211 xxy 434 1321121 xxy 545 143211321 xxy nnn xny 1!

Производные от функций, заданных параметрически Производная первого порядка от этой функции находится по формуле: Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями: )( )( tyy txx t t x x y y Найдем производную второго порядка: xxxyy)( t tx x y )( Аналогично получаем: xxxyy)( t tx x y )( xxxyy)( )4( t tx x y )( и т. д.

Производные от функций, заданных параметрически Вычислить производную 3 – ого порядка от функции: 3 2 1 ty tx )( )1( 2 3 t t yxt t t 5. 1 2 3 2 t tx x x y y )( )( )5. 1( 2 t t 1 75. 0 2 5. 1 t tx x x y y )( )( )75. 0( 2 1 t t 3 2 4 3 2 75. 0 tt t

Дифференциал функции Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную от нуля производную, следовательно существует предел: 0)(lim 0 xf x y x где)()(xxf x y 0)(x при 0 x По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции xxxxfy)()( Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых: и , являющимися бесконечно малыми при . xxf)(x 0 x y При этом первое слагаемое есть бесконечно – малая одного порядка с , так как: x 0)( )( lim 0 xf x xxf x

Дифференциал функции Второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с , так как: x 0)( )( lim 0 x x xx x Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции. xxf)( Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется главная часть ее приращения: xxfdy)( Найдем дифференциал независимой переменной, то есть функции : xy 1 xyxdxdy Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной Поэтому: dxxfdy)( Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной dx dy xf)(

Геометрический смысл дифференциала Проведем к графику функции y = f(x) в точке М( x, y) касательную y 0 ххf(x ) x + Δ xy x. М М 1 f(x+ Δ x ) Рассмотрим ординату касательной для точки x + Δ x. α x AB tg Согласно геометрическому смыслу производной, dy xtg. AB B A Из прямоугольного треугольника A ВМ имеем: )(xftg xxf. AB)( dy Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение Δ x.

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях Как известно, приращение функции можно представить в виде: xxxxfy)()( dydy. Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получим приближенной равенство: xx)( x dyy Это равенство позволяет с большой точностью вычислять приращение любой дифференцируемой функции. Подставим в равенство выражения для приращения и дифференциала функции: xxfxfxxf)()()( Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в точке x 0 + Δ x , зная значение функции в точке x 0.

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях Вычислить приближенно: 05. 1 arctg Рассмотрим функцию: xarctgy Так как xxgarctxarctgxxarctg)()()(000 05. 10 xx то 05. 010 xx 4 1 arctg 2 1 1 )( x xarctg 2 1 )( 1 x xarctg 05. 0 2 1 4 )05. 1( arctg 81.