Производная функции Приращение функции и аргумента

Производная функции

Приращение функции и аргумента х = х – хо – приращение аргумента f (х) = f (х) – f (х о ) f (х) = f (х о + х ) – f (хо ) приращени е функции– Найдите f , если f (х) = х 2 , х о = 1, ∆ х = 0, 5 Решение: f (х о ) = f (1) = 1 2 = 1, f (х о + х ) = f (1 + 0, 5) = f (1, 5) = 1, 5 2 = 2, 25, f = 2, 25 – 1 = 1, 25. Ответ: f = 1, 25 изменени е

хy 0 A B 0 хх x y AC BC tg 0 y y х y Секущая Сy х Итак, ktg x y bkxy k – угловой коэффициент прямой(секуще й)

хy 0 A 0 х 0 y Касательн ая Прямая, проходящая через точку ( х 0 ; f ( х 0 )), с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях близких к х 0 , называется касательной к графику функции f в точке ( х 0 ; f ( х 0 )).

Мгновенная скорость движения. . , , tвременипромежуткенадвиженияскоростьсредняя tх тодвижениеьвыполнялоскотороготечениив временипромежутокtателаеперемещенихесли. Или t х Vср . . Скорость, с которой движется тело в момент времени t называется мгновенной скоростью движения . Если ∆ t → 0 , то V ср. → V мгн. V мгн. = ∆х/∆t при ∆t → 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. . 0)( , )( 0 хпри x xf отношениестремитсякоторомукчисло называетсяхточкевxfфункциий. Производно Алгоритм нахождения производной : 1. С помощью формулы, задающей функцию f , находим ее приращение в точке х 0 : ∆ f = f ( х 0 + ∆ х ) — f ( х 0 ). 2. Находим выражение для разностного отношения ∆ f / ∆х , которое затем преобразуем — упрощаем , сокращаем на ∆х и т. п. 3. Выясняем, к какому числу стремится отношение ∆ f / ∆х , если считать, что ∆х стремится к 0. x xfxxf xf Ox )()( lim

Если функция у = f (х) имеет производную в точке х , то ее называют дифференцируемой в точке х . Она обозначается f ‘ (х) или у ‘ . Нахождение производной данной функции f называется дифференцированием . Геометрический смысл производной : Производная функции f в точке х выражает угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке х f ‘ (х) = tg α = к Физический (механический) смысл производной : Если s ( t ) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t . v = s ‘ ( t ).

Определение производной )( oxf xf f ′(x о ) – число Алгоритм: 1) ∆х, х о ; 2) ∆ f = f (х о + х ) – f (х о ) ; 3) при ∆х → 0. , ∆ f ∆ x

у = k х + в у(х о ) = k х о + в, у(х о + ∆х) = k ∙ (х о + ∆х) + в = k х о + k ∆х + в, ∆ у = у(х о + ∆х) – у(х о ) = k х о + k ∆х + + в – k х о – в = k ∆х, ( k х + в)′ = k. Ответ: = k ∆х = k. ∆ x∆ x∆ y

у = х 2 у(х о ) = х о 2 , у(х о + ∆х) = (х о + ∆х) 2 = х о 2 + 2 х о ∆х + (∆х) 2 , ∆ у = у(х о + ∆х) – у(х о ) = х о 2 + 2 х о ∆х + + (∆х) 2 – х о 2 = 2 х о ∆х + (∆х) 2 = ∆х(2 х о + ∆х), ∆ у ∆ х = ∆ х (2 х о + ∆х) ∆ х = 2 х о + ∆х → 2 х о при ∆х → 0 Ответ: (х 2 ) ′ = 2 х

у = х 3 у(х о ) = у(х о + ∆х) = = ∆ у = у(х о + ∆х) – у(х о ) = = х о 3 ∆ х(зх о 2 + зх о ∆х + (∆х) 2 )х о 3 + зх о 2 ∆х + зх о (∆х) 2 + (∆х) 3 ∆ у ∆ х зх о 2 → (х 3 ) ′ = 3 х

Вывод Нужны формулы: быстро, удобно. (kх + в)′ = k (х 2 ) ′ = 2 х (х 3 ) ′ = 3 х 2 (x n ) ′ = n x n – 1 C ′ =

Найди производную! 1. (х 7 )′ 2. (5 х 3 )′ 3. (- 7 х 9 )′ 4. (0, 5 х -3 )′ 5. (9 х + 16)′ 6. (7 – 4 х)′ х17. 8. х

Проверь себя!1. 7 х6 2. 15 х 2 3. – 63 х8 4. – 1, 5 х-4 5. 9 6. – 4 2 х 1 х1 7. 8. х2 1 х