Производная функции может быть найдена по схеме: Дадим

Производная функции может быть найдена по схеме: Дадим аргументу х приращение Δ х и найдем значение функции y+ Δ y=f(x+ Δ x)

Находим приращение функции Δ y=f(x+ Δ x) — f(x) 22 33 Составляем отношение: x y 44 Находим x y y x 0 lim

Найдем производную функции 3 xy Дадим аргументу х приращение Δ х и найдем значение функции y+ Δ y : 11 3 )(xxyy 22 Находим приращение функции 33 )(xxxy

33223 33 xxxxxxx )33( 22 xxxxx 33 Составляем отношение xy 22 33 xxxx x y

Находим 44 xy y x 0 lim 222 0 3)33(limxxxxxy x 00 Полученный результат является частным случаем производной от степенной функции Можно показать, что в общем случае n xy

1 )( nn xnx

11 Производная постоянной величины равна 0: )(0 const. CC 22 Производная аргумента равна 1: 1 x

33 Производная алгебраической суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: vuvu)(

Пусть u=u(x) и v = v ( x ) -дифференцируемые функции. Найдем производную функции y=u + v. Дадим аргументу х приращение Δ х, не равное 0, тогда функции получат значения u+ Δ u, v+ Δ v. vvuuyy

Находим приращение функцииvuvuvvuuy Составляем отношение x vu x y Находим предел этого отношения: vu x v x u x vu x y y xxxx 0000 limlim u v

44 Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый: uvvuvu)(

Пусть u=u(x) и v = v ( x ) -дифференцируемые функции. Найдем производную функции y=uv. Дадим аргументу х приращение Δ х, не равное 0, тогда функции получат значения u+ Δ u, v+ Δ v. ))((vvuuyy

Находим приращение функцииvuvvuuy))(( Составляем отношение x x v x u u x v v x u x vu u x v v x u x y vuvuuvvuvu vuuvvu

Находим предел этого отношения: x x v x u u x v v x u y xxxxx 00000 limlimlim 0 Имеем по определению производной: uuvv uvvuvuuvvu

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: u. C)( Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные: vuwwuvwvuwvu)(

55 Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле: 2 v uvvu v u

11 Найти производную функции)1(15 4 xy и вычислить ее значение в точке х=1.

)1(15)1(51 44 xxy 0 33 60)4(15 xx 60160)1( 3 y. Находим значение производной в точке х=1 :

22 Найти производную функции)1( 43 xxy и вычислить ее значение в точке х=1.

)1()1( 4343 xxxxy 4 3 342 4 1 )1(3 xxxx 24 9 3 4 1 33 xxxxx. Находим значение производной в точке х=1 : 4 25 131 4 13 )1( 24 9 y

33 Найти производную функцииx x y 1 3 и вычислить ее значение в точке х=1.

x xxxx y )1(1 33 x xxxx 2 1 32 2 1 )1(3 x xxx 2 1 2 5 2 5 2 1 2 1 3 Находим значение производной в точке х=1 : 3 1 1 2 5 )1( 2 1 2 5 y