Скачать презентацию ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрия (4 семестр) преп. М. С. Скачать презентацию ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрия (4 семестр) преп. М. С.

1.Проективная геометрия.ppt

  • Количество слайдов: 37

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрия (4 семестр) преп. М. С. Ананьева 1 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрия (4 семестр) преп. М. С. Ананьева 1

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ n Раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур в отличие от евклидовой геометрии ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ n Раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур в отличие от евклидовой геометрии не использует понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов n предполагает, что любые две прямые плоскости имеют общую точку n изучает свойства и отношения, которые остаются неизменными проецировании плоской фигуры на другую плоскость n 2

1. Античный период n Агафарх, Демокрит, Анаксагор (V в. до н. э. ) § 1. Античный период n Агафарх, Демокрит, Анаксагор (V в. до н. э. ) § элементы перспективы в декорациях театра n Витрувий (рим. архитектор, I в. до н. э. ) § три проекции: план, фасад и профиль n Евклид Александрийский, Гелиодор (III в. до н. э. ) § учение о перспективе как часть учения об оптике n Гиппарх (II в. до н. э. ) § стереографическая проекция n Менехм, Аристий, Евклид Пергский (IV-III вв. до н. э. ) Александрийский, Аполлоний § теория конических сечений n Папп Александрийский (III в. н. э. ) § проективные теоремы § «Математическое собрание» (8 книг) 3

4 4

1. Эпоха Возрождения n Расцвет учения о перспективе живописи и архитектуры в истории n 1. Эпоха Возрождения n Расцвет учения о перспективе живописи и архитектуры в истории n Альбрехт Дюрер (1471– 1528) n исследование законов перспективы n плоскость, пересекающую пирамиду лучей, направленных из точки зрения к различным точкам предмета § картинная плоскость n метод ортогональных проекций § план и вертикальная проекция n Альберти (1402– 1472) n книга о перспективе n способ построения перспективы при помощи сетки n Леонардо да Винчи (1452– 1519) n систематическое изложение законов перспективы 5

1. Эпоха Возрождения n Гвидо Убальди (1545– 1607) n сочинение (1600) n учение о 1. Эпоха Возрождения n Гвидо Убальди (1545– 1607) n сочинение (1600) n учение о точках схода n 23 правила построения перспективы n вопросы рельефной перспективы, построения теней и т. д. n Иоганн Кеплер (1571– 1630) n «Оптическая часть астрономии» n понятие и термин «бесконечно удаленная точка» 6

1. Новое Время n Жирар Дезарг (1593– 1662) – отец проективной геометрии n «Общий 1. Новое Время n Жирар Дезарг (1593– 1662) – отец проективной геометрии n «Общий метод изображения предметов в перспективе» n n впервые применяет метод координат для построения перспективных масштабов первое систематическое изложение идей проективной геометрии начало проективному представлению пространства изучение проективных преобразований 7

1. Новое Время n Блез Паскаль (1623 -1662) n теорема о вписанном шестиугольнике n 1. Новое Время n Блез Паскаль (1623 -1662) n теорема о вписанном шестиугольнике n до 400 следствий из теоремы 8

1. XVII - XVIII века n В XVII в. известны многие предложения проективной геометрии 1. XVII - XVIII века n В XVII в. известны многие предложения проективной геометрии n С XVIII в. изучение проективных свойств фигур синтетическими методами n С середины XVIII в. изучение проективных свойств фигур аналитическими методами § Через 150 лет после смерти Дезарга и Паскаля наступил новый творческий период в области проективной геометрии 9

1. XVII - XVIII века n XVII в. Известны многие предложения проективной геометрии n 1. XVII - XVIII века n XVII в. Известны многие предложения проективной геометрии n Начало XVIII в. Изучение проективных свойств фигур синтетическими методами n Середина XVIII в. Изучение проективных свойств фигур аналитическими методами § Через 150 лет после смерти Дезарга и Паскаля наступил новый творческий период в области проективной геометрии 10

1. XIX в. Синтетическая теория n Жан Виктор Понселе (1788– 1867) n «Трактат о 1. XIX в. Синтетическая теория n Жан Виктор Понселе (1788– 1867) n «Трактат о проективных свойствах фигур» n термин «Проективная геометрия» n определение проективного свойства (плоской) фигуры n графические и метрические проективные свойства n понятие бесконечно удаленной прямой как линии пересечения двух параллельных плоскостей n учение о полярном соответствии точек и прямых n принцип двойственности n самое раннее доказательство проективной теоремы о проективных свойствах геометрических фигур 11

XIX в. Синтетическая теория n Лазарь Карно (1753– 1823) n «Геометрия положения» (1803) n XIX в. Синтетическая теория n Лазарь Карно (1753– 1823) n «Геометрия положения» (1803) n полный четырехсторонник n Якоб Штейнер (1796– 1863) n систематизация учения о проективных свойствах фигур n от простых геометрических образов к более сложным n Христиан фон Штаудт (1798– 1867) n обоснование и построение проективной геометрии независимо от метрической n понятие гармонической четверки точек (прямых) n полный четырехвершинник (четырехсторонник) n основная теорема проективной геометрии 12

1. XIX в. Аналитическая теория n Август Фердинанд Мебиус (1790– 1868) n «Барицентрическое исчисление» 1. XIX в. Аналитическая теория n Август Фердинанд Мебиус (1790– 1868) n «Барицентрическое исчисление» n двойное отношение четырех точек прямой n барицентрические координаты - частный случай проективных координат n определение аффинных и проективных преобразований плоскости и пространства n Юлиус Плюккер (1801– 1868) n Применение проективных координаты к теории алгебраических кривых и поверхностей любого порядка n проективный подход к теории линий и поверхностей второго порядка 13

1. XIX в. Аналитическая теория n Артур Кэли (1821– 1895) n Джеймс Джозеф Сильвестр 1. XIX в. Аналитическая теория n Артур Кэли (1821– 1895) n Джеймс Джозеф Сильвестр (1814– 1897) n теория алгебраических инвариантов n аналитические методы проективной геометрии n «проективное мероопределение» n Феликс Клейн (1849– 1925) n «Эрлангенская программа» (1872) n различные геометрии рассмотрены с позиций группы преобразований 14

1. XIX-XX вв. Отечественные ученые n Василий Яковлевич Цингер (1836– 1907) n исследования синтетической 1. XIX-XX вв. Отечественные ученые n Василий Яковлевич Цингер (1836– 1907) n исследования синтетической проективной геометрии n Константин Алексеевич Андреев (1848– 1921) n n n «К вопросу о конфигурациях» многосторонники «многоугольники Понселе» n Алексей Константинович Власов (1868– 1922) n метрические свойства конических сечений 15

1. XX в. Отечественные ученые n Андрей Николаевич Колмогоров (1903– 1987) n «К обоснованию 1. XX в. Отечественные ученые n Андрей Николаевич Колмогоров (1903– 1987) n «К обоснованию проективной геометрии» n аксиомы инцидентности и некоторые аксиомы топологического характера n Нил Александрович Глаголев (1888– 1945) n проективное исчисление в n-мерном пространстве (1938) n система аксиом для трехмерной проективной геометрии n Петр Константинович Рашевский (1907– 1983) n «О единственности проективной геометрии на плоскости» n «О проективной геометрии с новыми конфигурационными аксиомами» (1940) n аксиоматика двумерной проективной геометрии n Лев Анатольевич Скорняков (1924–? ) n систематическое и оригинальное изложение теории проективных плоскостей 16

1. Применение проективной геометрии n Исследование линий и поверхностей любого порядка n Теория перспективы 1. Применение проективной геометрии n Исследование линий и поверхностей любого порядка n Теория перспективы (искусство, архитектура) n Упрощение построения номограмм n чертёж, являющийся особым изображением функциональной зависимости n В теории статистических решений, в квантовой теории поля и в конструировании печатных схем (с теорией графов) 17

18 18

2. Центральное проектирование Ф – произвольная фигура, Ф α, Ф β, Ф → Ф' 2. Центральное проектирование Ф – произвольная фигура, Ф α, Ф β, Ф → Ф' O – произвольная точка пространства, O α, O β, ОМ∩β = M′ М′ – проекция точки М из точки O на плоскость β 19

2. Центральное проектирование Определение 1 ØОперация, с помощью которой получается фигура Ф′, называется центральным 2. Центральное проектирование Определение 1 ØОперация, с помощью которой получается фигура Ф′, называется центральным проектированием из точки О ØТочка О называется центром проектирования 20

2. Центральное проектирование Определение 2 ØПроекцией фигуры Ф называется фигура Ф′, полученная при проектировании 2. Центральное проектирование Определение 2 ØПроекцией фигуры Ф называется фигура Ф′, полученная при проектировании всех точек фигуры Ф из центра О на плоскость β 21

2. Центральное проектирование: свойства n Многие величины, связанные с фигурой, при центральном проектировании меняются 2. Центральное проектирование: свойства n Многие величины, связанные с фигурой, при центральном проектировании меняются n Отрезок длины a → отрезок любой длины a´ (0; + ) n Треугольник площади S → треугольник, площадь S´ которого больше или меньше величины S n n сделайте рисунки самостоятельно представьте источник света 22

2. Центральное проектирование: свойства Определение 3 n Свойства геометрических фигур и соответствующие им величины, 2. Центральное проектирование: свойства Определение 3 n Свойства геометрических фигур и соответствующие им величины, сохраняющиеся при любом проектировании, называются проективными свойствами (величинами) или инвариантами проектирования 23

3. Проективные свойства фигур Свойство 1 n Если точки P 1, P 2, . 3. Проективные свойства фигур Свойство 1 n Если точки P 1, P 2, . . , Pn фигуры Ф лежат на прямой, то проекции этих точек P'1, P'2, . . , P'n также лежат на некоторой прямой 24

Проективные свойства фигур Свойство 1 n свойство прямолинейного расположения точек фигуры – проективное свойство Проективные свойства фигур Свойство 1 n свойство прямолинейного расположения точек фигуры – проективное свойство n прямая есть объект проективной геометрии 25

3. Проективные свойства фигур Свойство 2 n Если точки Q 1, Q 2, . 3. Проективные свойства фигур Свойство 2 n Если точки Q 1, Q 2, . . , Qn фигуры Ф лежат на коническом сечении k, то проекции этих точек Q'1, Q'2, . . , Q'n также лежат на некотором коническом сечении k'. § конические сечения: эллипс, парабола, гипербола n коническое сечение есть объект проективной геометрии 26

3. Проективные свойства фигур n Не являются проективными свойства, присущие n исключительно эллипсу, § 3. Проективные свойства фигур n Не являются проективными свойства, присущие n исключительно эллипсу, § окружности, n n n исключительно параболе, исключительно гиперболе в проективной геометрии не делается различия между коническими сечениями, как в элементарной геометрии n В проективной геометрии не различаются и не исследуются порознь отдельные виды конических сечений n n окружность эллипс парабола гипербола 27

4. Проективная прямая (модель проективной прямой) Модель – связка Евклидова геометрия Проективная геометрия (модель-связка) 4. Проективная прямая (модель проективной прямой) Модель – связка Евклидова геометрия Проективная геометрия (модель-связка) Точка А … Прямая а Пр. точка «А» Плоскость α Пр. прямая «l» 28

4. Проективная прямая Модель – связка Определение 4 ØТочками проективной плоскости называются всевозможные прямые 4. Проективная прямая Модель – связка Определение 4 ØТочками проективной плоскости называются всевозможные прямые пучка пересекающихся прямых Определение 5 Ø Прямой проективной плоскости, или проективной прямой, называют пучок пересекающихся прямых евклидовой плоскости 29

4. Проективная прямая (модель проективной прямой) Модель – расширенная евклидова прямая α – плоскость 4. Проективная прямая (модель проективной прямой) Модель – расширенная евклидова прямая α – плоскость a – прямая A – произвольная точка плоскости, A a прямая m точка M на прямой a Вращая т вокруг точки А, получим пучок прямых m точки M на прямой a Каждой прямой т соответствует точка M прямой a, кроме т=а/ (а||а/) • нет однозначного соответствия Договоримся, что прямые а и а/ пересекаются в бесконечности! 30

4. Проективная прямая (модель проективной прямой) Модель – расширенная евклидова прямая Ø А - 4. Проективная прямая (модель проективной прямой) Модель – расширенная евклидова прямая Ø А - бесконечно удаленная точка (несобственная) прямой а или прямой а′ Ø Точки А и М собственные точки прямой а′ соответственно 31

4. Расширенная евклидова прямая Определение 6 ØПрямые имеют одну общую бесконечно удаленную точку А 4. Расширенная евклидова прямая Определение 6 ØПрямые имеют одну общую бесконечно удаленную точку А , поэтому пучок параллельных прямых называют пучком с бесконечно удаленным центром ØКаждая прямая содержит одну бесконечно удаленную точку! ØВсе параллельные между собой прямые имеют одну бесконечно удаленную точку 32

4. Расширенная евклидова прямая Определение 7 ØПрямая, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется проективной прямой 4. Расширенная евклидова прямая Определение 7 ØПрямая, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется проективной прямой ØПроективная прямая замкнута 33

4. Расширенная евклидова прямая ØБесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости считаются различными 34 4. Расширенная евклидова прямая ØБесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости считаются различными 34

5. Расширенная евклидова плоскость: модель проективной плоскости По аналогии: Определение 8 n Плоскость, дополненная 5. Расширенная евклидова плоскость: модель проективной плоскости По аналогии: Определение 8 n Плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой, называется проективной плоскостью 35

5. Расширенная евклидова плоскость: модель проективной плоскости n n n Все параллельные между собой 5. Расширенная евклидова плоскость: модель проективной плоскости n n n Все параллельные между собой плоскости имеют одну бесконечно удаленную прямую Каждая плоскость содержит бесконечно много различных бесконечно удаленных точек Непараллельные плоскости имеют различные бесконечно удаленные прямые 36

5. Расширенная евклидова плоскость Определение 9 n Множество всех бесконечно удаленных точек плоскости называют 5. Расширенная евклидова плоскость Определение 9 n Множество всех бесконечно удаленных точек плоскости называют бесконечно удаленной (несобственной) прямой Определение 10 n Множество всех бесконечно удаленных прямых называют бесконечно удаленной (несобственной) плоскостью По аналогии: Определение 11 n Пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью называется проективным пространством 37