Проекции плоскости Лекция 3 Способы задания плоскости

Проекции плоскости Лекция

Способы задания плоскости (В, m)m)В 2 m 2 В 1 m 1 1 222 (( nn m)m)n 2 n 1 2 m 2 m 1 144 n 2 (( nn m)m)m 2 m 1 2 n 1 133 А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 1 2 (А, В, С)11 На комплексном чертеже плоскость можно задать: 1) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекциями прямой и точки, взятой вне этой прямой; 3) проекциями двух пересекающихся прямых; 4) проекциями двух параллельных прямых;

Способы задания плоскости 5) проекциями плоской фигурой; 6) следами плоскости. Все способы позволяют выделить из множества точек пространства точки, принадле-жащие данной плоскости. Способ задания плоскости указывают в круглых скобках 55 (( АВСАВС ))А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 1 2 (( 1 1 , , 22 ))x 1 2 х. След плоскости – это линия ее пересечения с соответствующей плоскостью проекций 66 П 1 x П 2 П 3 1 2 3 х z y 1 1 — горизонтальный след 2 2 — фронтальный след 3 3 — профильный след z y x x , , yy , , zz — — точки схода следов

Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскость общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций Плоскость частного положения перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей проекций Горизонтально проецирующая плоскость П 1 Фронтально проецирующая плоскость П 2 Профильно проецирующая плоскость П 3 Горизонтальная плоскость П 1 Фронтальная плоскость П 2 Профильная плоскость П 3 Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей плоскостью: Плоскость, параллельная плоскости проекций, назы-вается плоскостью уровня (дважды проецирующей):

хx 1 2 Горизонтально проецирующая плоскость ( ПП 11 )) Пространственная картина Комплексный чертеж П 1 x П 2 П 3 3 yz C 1 А 1 В 1 C 2 А 2 В 2 Горизонтальная проекция плоскости вырождается в прямую (след), на П 1 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на горизонталь-ном следе плоскости 1 . Углы наклона данной плоскости к фронталь-ной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П 1 не искажаются 1 2 х y

Фронтально проецирующая плоскость ( ПП 22 )) Комплексный чертеж. П 1 x П 2 П 3 yz 1 х Пространственная картина 2 z 3 Фронтальная проекция плоскости вырождается в прямую (след). На П 2 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на фронтальном следе плоскости 2 . Углы наклона данной плоскости к горизонталь-ной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П 2 не искажаются 2 x 1 х C 2 А 2 В 2 C 1 А 1 В

Профильно проецирующая плоскость ( ПП 33 )) Комплексный чертеж z. П 1 x П 2 П 3 y z 3 1 y 2 x y 1 y 3 z 3 1 y y z 2 C 2 А 2 В 2 А 1 В 1 C 3 А 3 В 3 Пространственная картина Профильная проекция плоскости вырождается в прямую (след). На П 3 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на профильном следе плоскости 3 . Углы наклона данной плоскости к горизонталь-ной ( ) и фронтальной ( ) плоскостям проекций на П 3 не искажаются

Горизонтальная плоскость уровня (( ПП 11 )) Комплексный чертеж z. П 1 x П 2 П 3 y z 3 2 Пространственная картина В силу параллельности следы (фронтальный 2 и профильный 3 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций н. в. 2 x C 2 В 2 C 1 А 1 В 1 А 2 н. в.

Фронтальная плоскость уровня (( ПП 22 )) Комплексный чертеж z. П 1 x П 2 П 3 y y 3 1 Пространственная картина н. в. В 2 1 x C 2 C 1 А 1 В 1 А 2 н. в. В силу параллельности следы (горизонтальный 1 и профильный 3 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , изображается в натуральную величину на фронтальной плоскости проекций

Профильная плоскость уровня (( ПП 33 )) Комплексный чертеж z. П 1 x П 2 П 3 yy 2 1 Пространственная картина н. в. x y 1 y 3 z В 2 1 C 2 C 1 А 1 В 1 А 2 н. в. А 3 2 В 3 C 3 В силу параллельности следы (горизонтальный 1 и фронтальный 2 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , проецируется в натуральную величину на профильную плоскость проекций

Принадлежность прямой плоскости Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: 1) через две точки этой плоскости; 2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (( nn m)m) m 2 n 12 m 1 111 а 2 а 1 2 21 2 1 (1(1 mm )) ; (2 nn )) аа ( 11 И 2 )) аа 22 (( nn m)m) m 1 m 2 2 1 n 1 n 2 b 1 b 2 1 1 (1(1 mm )) ; 1 bb bb n bb

Принадлежность точки плоскости Точка будет лежать в плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Воспользуемся этим положением: 1) при чтении чертежа; 2) при построении точки, лежащей в данной плоскости (1(1 АСАС )) П 1 : ( D 11 И A 1 )) СС 11 ВВ 11 = 3 1 (( АВСАВС ))А 2 С 1 С 2 В 11 2 2 1 3 2 3 1 22 1 11 22 DD 22 — ? ? , , если DD А 1 П 2 : 3 2 CC 22 BB 2211 , , 22 — ? ? D 2 А

Принадлежность прямой и точки плоскости Если плоскость занимает проецирующее положение, то соответствующие проекции всех точек и прямых данной плоскости совпадают с ее следом. Это собирательное свойство проецирующих плоскостей ПП 11 x 1 2 х AA 1 1 11 АА М 2 N 1 N 2 М 1 А 1 А 2 MNMN NN 11 MM 1 1 11 ПП 22 x 1 2 х КК 2 2 22 КК А 2 В 1 В 2 А 1 К 1 К 2 АВАВ АА 22 ВВ

П 1 x П 2 П 3 z y. Главные линии плоскости Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x. Положение горизонтали в плоскости определяют две точки ( например, В и 1 ) 1 2 3 х y z h h h o. Горизонталей плоскости бесчисленной множество , , все они параллельны между собой Горизонтальный след – это горизонталь нулевого уровня А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 h 1 1 11 2 h 2 x С

П 1 x П 2 П 3 z y. Главные линии плоскости 1 2 3 х z y f f f o. Фронталей плоскости бесчисленное множество, все они параллельны между собой Фронтальный след – это фронталь нулевого уровня Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Положение фронтали в плоскости определяют две точки ( например, В и 2 )А 2 В 2 С 2 В 1 С 1 h 2 f 2 1 1 f 12 12 2 А 1 x

Главные линии плоскости ПП 11 x 1 2 х ПП 22 1 2 хh 2 h 1 f 2 f 1 y yx f 1 f 2 h 1 h 2 В проецирующих плоскостях одна из линий уровня является проецирующей прямой Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости или ему принадлежит. Координата y показывает расстояние от фронтали данной плоскости до фронтальной плоскости проекций

А 1 А 2 При первом преобразовании выбираем новую плоскость проекций П 4 перпендикулярно горизонтали плоскости h так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П 4 получаем вырожденную проекцию плоскости (прямую) и ее угол наклона к плоскости проекций П 1 . Определить натуральную величину треугольника ( АВС ) и угол наклона его к плоскости П 1 способом перемены плоскостей проекций h 2 B 1 C 2 B 2 П 1 П 4 x 1 h 1 C 1 А 4 В 4 C 4 x 1. 1. ПП 44 ПП 11 ПП 4 4 hh ( АВС ) Метрические задачи Задача 1.

x А 1 А 2 н. в. П 1 П 4 x 1 1. 1. ПП 44 ПП 11 ПП 4 4 hh ( АВС ) 2. 2. ПП 55 ПП 44 ПП 55 ( АВС ) При втором преобразовании выбираем новую плоскость проекций П 5 так, чтобы плоскость заняла положение плоскости уровня. На П 5 строим натуральную величину треугольника h 1 h 2 B 1 C 2 B 2 А 4 C 1 В 4 C 4 П 5 П 4 x 2 C 5 А 5 В 5 Метрические задачи Задача 1. Определить натуральную величину треугольника ( АВС ) и угол наклона его к плоскости П 1 способом перемены плоскостей проекций

Метрические задачи Задача 2. Определить расстояние от точки К до плоскости частного положения ( 1 , 2 ) x Проекции искомого расстояния будут перпендикулярны следам данной плоскости. В силу этого N 2 K 2 есть натуральная величина расстояния. Перпендикуляр NK проходит под плоскостью , поэтому его горизон-тальная проекция невидима 2 K 1 1 N 2 K 2 н. в. KN KN — — искомое расстоя ниение

Метрические задачи А 1 А 2 Выбираем новую плоскость проекций П 4 перпендикулярно горизонтали плоскости h так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П 4 получаем вырожденную проекцию плоскости (прямую) и проекцию точки К 4 . Задача 3. h 2 B 1 C 2 B 2 П 1 П 4 x 1 h 1 C 1 x 1. 1. ПП 44 ПП 11 ПП 4 4 hh ( АВС ) К 1 К 2 А 4 В 4 C 4 К 4 Определить расстояние от точки К до плоскости треугольника ( АВС )

А 1 А 2 Построение перпендикуляра начинают с плоскости проекций П 4 (см. зад. 12), затем строят его проекции на плоскостях П 1 и П 2 . На плоскости проекций П 4 изобразится натуральная величина расстояния от точки К до плоскости треугольника. Определяют видимость перпендикуляра. h 2 B 1 C 2 B 2 П 1 П 4 x 1 h 1 C 1 x 1. 1. ПП 44 ПП 11 ПП 4 4 hh ( АВС ) 2. KN — — искомый отрезок К 1 К 2 N 2 А 4 В 4 C 4 N 1 н. в. N 4 К 4 Метрические задачи Задача 3. Определить расстояние от точки К до плоскости треугольника ( АВС )