ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н a a F 2= 5 к. Н Необходимо определить усилия во всех стержнях фермы. Размеры и приложенная к ферме нагрузка указаны на чертеже.
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 A 5 3 1 a C E 6 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н Прежде всего необходимо обозначить все узлы фермы и пронумеровать все стержни
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 A 5 3 1 a C E 6 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н Полный расчёт фермы, при котором необходимо определить усилия во всех стержнях, имеет смысл начать с определения реакций опор. Для этого рассматривается равновесие всей фермы.
ПРИМЕР РАСЧЕТА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ФЕРМЫ F 1= 2 к. Н G 2 A 5 3 1 a C E 6 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н Выбор формы условий равновесия зависит от количества и расположения опор. Нужно составлять уравнения таким образом, чтобы из каждого уравнения определялась одна составляющая реакций опор.
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 5 3 XA (-2) A 1 a C E 6 4 9 7 D a 8 a B a YA (1) ∑ Fkx= 0 : F 2= 5 к. Н YB (4) XA+F 1= 0 XA = – F 1 = – 2 (к. Н) ∑ MAz(Fk) = 0 : – F 1∙a – F 2 ∙ 2 a + YB ∙ 3 a = 0 2∙ 1 + 5 ∙ 2 4 = (к. Н) 3 YA = F 2 – YB = 5 – 4= 1(к. Н) 1 YA – F 2 + YB = 0 YB = ∑ Fky= 0 :
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 5 3 XA (-2) A 1 a C E 6 4 9 7 D a 8 a B a YA (1) ∑ Fkx= 0 : F 2= 5 к. Н YB (4) XA+F 1= 0 XA = – F 1 = – 2 (к. Н) ∑ MAz(Fk) = 0 : – F 1∙a – F 2 ∙ 2 a + YB ∙ 3 a = 0 2∙ 1 + 5 ∙ 2 4 = (к. Н) 3 YA = F 2 – YB = 5 – 4= 1(к. Н) 1 YA – F 2 + YB = 0 YB = ∑ Fky= 0 :
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 XA (-2) A a YA (1) 5 3 1 C E 6 4 9 7 D a 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) Проверка: Для проверки правильности полученных результатов составим уравнение моментов относительно такой точки, относительно которой все вычисленные силы реакций создают ненулевые моменты.
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 XA (-2) A a YA (1) 5 3 1 C E 6 4 9 7 D a 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) Проверка: ∑ MЕz(Fk) = XA∙a – YA ∙ 2 a + YB ∙a = – 2 ∙a – 1 ∙ 2 a + 4 ∙a = 0
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 XA (-2) A a YA (1) 5 3 1 C E 6 4 9 7 D a 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) Проверка: ∑ MЕz(Fk) = XA∙a – YA ∙ 2 a + YB ∙a = – 2 ∙a – 1 ∙ 2 a + 4 ∙a = 0
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G МЕТОД ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ 2 XA (-2) A a YA (1) 5 3 1 C E 6 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) Метод вырезания узлов состоит в том, что рассматривается равновесие каждого узла.
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G На каждый узел дей 2 3 ствует плоская система XA (-2) A сходящихся сил, состоя 1 C щая из приложенных к a данному узлу активных сил и реакций стержней, YA (1) присоединённых к данному узлу. Для такой системы сил можно составить только два уравнения равновесия: ∑ Fkx= 0; ∑ Fky= 0. E 6 5 9 7 D 4 a 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) F 1 S 2 G S 3 S 6 S 5 Поэтому равновесие узлов нужно рассматривать в определённой последовательности, позволяющей на каждом шаге решения задачи определять две очередные неизвестные.
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G На каждый узел дей 2 3 ствует плоская система XA (-2) A сходящихся сил, состоя 1 C щая из приложенных к a данному узлу активных сил и реакций стержней, YA (1) присоединённых к данному узлу. Для такой системы сил можно составить только два уравнения равновесия: ∑ Fkx= 0; ∑ Fky= 0. E 6 5 9 7 D 4 a 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) F 1 S 2 G S 3 S 6 S 5 Поэтому равновесие узлов нужно рассматривать в определённой последовательности, позволяющей на каждом шаге решения задачи определять две очередные неизвестные.
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G На каждый узел дей 2 3 ствует плоская система XA (-2) A сходящихся сил, состоя 1 C щая из приложенных к a данному узлу активных сил и реакций стержней, YA (1) присоединённых к данному узлу. E 6 5 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) Для такой системы сил можно составить только два уравнения равновесия: ∑ Fkx= 0; ; ∑ Fky= 0. Поэтому равновесие узлов нужно рассматривать в определённой последовательности, позволяющей на каждом шаге решения задачи определять две очередные неизвестные.
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G 2 XA (-2) A Правило знаков: a YA (1) 5 3 1 C E 6 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4) «+» – растягивающие усилия (направлены от узла); «–» – сжимающие усилия. Изначально при расчете все усилия предполагаются положительными и направляются от узлов.
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел В: F 1= 2 к. Н G y S 9 S 8 2 450 B XA (-2) A x YB = 4 ∑ Fkx= 0 : – S 8 – S 9 cos 450 = 0 ; ∑ Fky= 0 : YB + S 9 sin 450 = 0. a YA (1) 5 3 1 C E 6 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4)
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел В: F 1= 2 к. Н G y S 9 S 8 2 450 XA (-2) A B x YB = 4 a YA (1) ∑ Fkx= 0 : – S 8 – S 9 cos 450 = 0 ; ∑ Fky= 0 : YB + S 9 sin 450 = 0. YB = 0 sin 45 4 = – 4√ 2 (к. Н); √ 2/2 √ 2 0 = 4√ 2 ∙ = 4 (к. Н). (1) => S 8 = – S 9 cos 45 2 (2) => S 9 = 5 3 1 C E 6 4 a 9 7 D 8 a B a F 2= 5 к. Н YB (4)
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел В: F 1= 2 к. Н G y S 9 S 8 2 450 XA (-2) A B x C a YB = 4 5 3 1 E 6 4 9 7 D a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) ∑ Fkx= 0 : – S 8 – S 9 cos 450 = 0 ; ∑ Fky= 0 : YB + S 9 sin 450 = 0. YB = sin 450 4 = – 4√ 2 (к. Н); – 4√ 2 √ 2/2 √ 2 = 4 (к. Н). 4 (1) => S 8 = – S 9 cos 450 = 4√ 2 ∙ 2 (2) => S 9 = № стержня Усилие, к. Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел Е: В: F 1= 2 к. Н G y S 9 S 8 2 450 XA (-2) A B x C a YB = 4 5 3 1 E 6 4 9 7 D a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) ∑ Fkx= 0 : – S 8 – S 9 cos 450 = 0 ; ∑ Fky= 0 : YB + S 9 sin 450 = 0. YB = sin 450 4 = – 4√ 2 (к. Н); √ 2/2 √ 2 = 4 (к. Н). (1) => S 8 = – S 9 cos 450 = 4√ 2 ∙ 2 (2) => S 9 = № стержня Усилие, к. Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G Узел Е: E 6 y 2 E S 6 S 7 XA (-2) A x 450 1 C a S 9 = – 4√ 2 5 3 9 7 D 4 a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) √ 2 ∑ Fkx= 0 : – S 6 + S 9 cos 450 = 0 => S 6 = S 9 cos 450 = – 4√ 2 ∙ 2 = – 4 (к. Н); √ 2 ∑ Fky= 0 : – S 7 – S 9 sin 450 = 0 => S 7 = – S 9 sin 450 = 4√ 2 ∙ 2 = 4 (к. Н). № стержня Усилие, к. Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G Узел D Е: E 6 y 2 E S 6 S 7 XA (-2) A x 450 5 3 1 C D 4 a S 9 = – 4√ 2 9 7 a B 8 a a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) √ 2 ∑ Fkx= 0 : – S 6 + S 9 cos 450 = 0 => S 6 = S 9 cos 450 = – 4√ 2 ∙ 2 = – 4 (к. Н); √ 2 ∑ Fky= 0 : – S 7 – S 9 sin 450 = 0 => S 7 = – S 9 sin 450 = 4√ 2 ∙ 2 = 4 (к. Н). № стержня Усилие, к. Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел D : F 1= 2 к. Н G y S 5 S 4 S 7 = 4 450 2 XA (-2) A D S 8 = 4 x ∑ Fky= 0 : S 5 sin 450 + C a F 2 = 5 5 3 1 E 6 4 a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) F 2 – S 7 sin D a YA (1) S 7 – F 2 = 0 => S 5 = 9 7 450 = (5 – 4)√ 2 = √ 2 (к. Н) ; √ 2 ∑ Fkx= 0 : – S 4 – S 5 соs 450 + S 8 = 0 => S 4 = – S 5 соs 450 + S 8 = – √ 2 2 + 4 = 3 (к. Н) № стержня Усилие, к. Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел D : Узел C F 1= 2 к. Н G y S 7 = 4 S 5 S 4 450 2 XA (-2) A D S 8 = 4 x ∑ Fky= 0 : S 5 sin 450 + C a F 2 = 5 5 3 1 E 6 4 a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) F 2 – S 7 sin D a YA (1) S 7 – F 2 = 0 => S 5 = 9 7 450 = (5 – 4)√ 2 = √ 2 (к. Н) ; √ 2 ∑ Fkx= 0 : – S 4 – S 5 соs 450 + S 8 = 0 => S 4 = – S 5 соs 450 + S 8 = – √ 2 2 + 4 = 3 (к. Н) № стержня Усилие, к. Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел С : F 1= 2 к. Н G y 2 S 3 XA (-2) A С S 1 S 4 = 3 C a x 5 3 1 E 6 4 9 7 D a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) ∑ Fkx= 0 : – S 1 + S 4 = 0 => S 1 = S 4 = 3 (к. Н) ; ∑ Fky= 0 : S 3 = 0. № стержня 1 Усилие, к. Н 3 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел А: : С F 1= 2 к. Н G y 2 S 3 XA (-2) A С S 1 S 4 = 3 C a x 5 3 1 E 6 4 9 7 D a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) ∑ Fkx= 0 : – S 1 + S 4 = 0 => S 1 = S 4 = 3 (к. Н) ; ∑ Fky= 0 : S 3 = 0. № стержня 1 Усилие, к. Н 3 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел А: F 1= 2 к. Н G y S 2 А 2 XA (-2) A 450 S 1 = 3 XA = – 2 x ∑ Fky= 0 : S 2 sin 450 + C a YA = 1 5 3 1 E 6 4 YA = 0 => S 2 = – sin 450 D a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) YA 9 7 = – √ 2 (к. Н). № стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Усилие, к. Н 3 – √ 2 0 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел А: F 1= 2 к. Н G y S 2 А 2 S 1 = 3 XA = – 2 a YA = 1 ∑ Fky= 0 : S 2 sin 450 + C 1 x 5 3 XA (-2) A 450 E 6 4 YA = 0 => S 2 = – sin 450 D a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB (4) YA (1) YA 9 7 = – √ 2 (к. Н). Проверка ∑ Fkx= XA + S 1 + S 2 sin 450 = Узел А: = – 2 + 3 – √ 2 = 2 0 № стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Усилие, к. Н 3 – √ 2 0 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА Узел А: F 1= 2 к. Н G y S 2 А 2 XA (-2) A 450 S 1 = 3 XA = – 2 x ∑ Fky= 0 : S 2 sin 450 + C a YA = 1 5 3 1 E 6 4 YA = 0 => S 2 = – sin 450 D a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB YA (1) YA 9 7 = – √ 2 (к. Н). Проверка ∑ Fkx= XA + S 1 + S 2 sin 450 = Узел А: = – 2 + 3 – √ 2 = 2 0 № стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Усилие, к. Н 3 – √ 2 0 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2
ПРИМЕР РАСЧЕТА F 1= 2 к. Н G Проверка Узел А: 2 ∑ Fkx= XA + S 1 + S 2 sin 450 = = – 2 + 3 – √ 2 Узел G: F 1 = 2 1 0 5 3 C a y G S 6 = – 4 450 S 3 = 0 9 7 D 4 a a B 8 a F 2= 5 к. Н YB YA (1) 450 S 2 = –√ 2 = 2 XA (-2) A E 6 ∑ Fkx= F 1 + S 6 – S 2 cos 450 + S 5 cos 450 = = 2 – 4 + √ 2∙ x √ 2 + √ 2∙ = 2 2 0 ∑ Fky= – S 2 sin 450 – S 5 sin 450 = S 5 = √ 2∙ √ 2 = – √ 2∙ 2 2 0 № стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Усилие, к. Н 3 – √ 2 0 3 √ 2 – 4 4 4 – 4√ 2