Применение производной к исследованию функций Великий французский

  • Размер: 4.3 Mегабайта
  • Количество слайдов: 31

Описание презентации Применение производной к исследованию функций Великий французский по слайдам

Применение производной к исследованию функций Применение производной к исследованию функций

Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 году научился находить касательные к алгебраическим прямым. Как родиласьВеликий французский математик Пьер Ферма в 1629 году научился находить касательные к алгебраическим прямым. Как родилась производная Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов, он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей. Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему. В 1638 году Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который также занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.

Как родилась производная Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую.  Многие из них леглиКак родилась производная Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую. Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления, основоположниками которого считаются Вильям Лейбниц и Исаак Ньютон (1642 -1727) Вильгельм Лейбниц (1646 -1716)

Как родилась производная Очень многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие дифференциального исчисления.Как родилась производная Очень многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие дифференциального исчисления. Якоб Бернулли (1654 -1705) Джеймс Грегори (1638 -1675) Гийом Франсуа Лопиталь (1661 -1704)Жозеф Луи Лагранж (1736 -1813) Леонард Эйлер (1707 -1783) Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855)

Исследование функции:  D(f) E(f) Пересечение с координатными осями с ОХ (х ; 0; 0 ))Исследование функции: D(f) E(f) Пересечение с координатными осями с ОХ (х ; 0; 0 )) c c OY (0; y) четность или нечетность, т. е. f(f( — x)x) = = f(x) , , f(f( — x)x) = -= — f(x) нули функции т. е. f(x) == 0 0 промежутки возрастания и убывания (монотонность) промежутки знакопостоянства т. е. f(x)>0, f(x)<0 построение эскиза графикаx y )(xfy 1 x 2 x 3 x

 Четность, нечетность функций Периодичность Нули функции Промежутки знакопостоянства Монотонность функции Повторение далее Четность, нечетность функций Периодичность Нули функции Промежутки знакопостоянства Монотонность функции Повторение далее

Четность функций Определение:  Функция y  = f ( x ) называется четной , еслиЧетность функций Определение: Функция y = f ( x ) называется четной , если для любого значения x , взятого из области определения функции, значение (– x ) также принадлежит области определения и выполняется равенство: четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат f(x 0 ) f(-x 0 ) y = f(x)уу хх 00 f (- x ) = f ( x ) хх 00 — х- х

y xx 0 - x 0 f(x 0 ) f(-x 0 ) O y = f(x)Нечетностьy xx 0 — x 0 f(x 0 ) f(-x 0 ) O y = f(x)Нечетность функций Определение: Функция y = f ( x ) называется нечетной , если для любого значения x , взятого из области определения функции, значение (– x ) также принадлежит области определения и выполняется равенство: График нечетной функции симметричен относительно начала координат повторениеf (- x ) = — f ( x )

Определение: Функция y = f(x) называется периодической , если существует такое число TT 0 - период,Определение: Функция y = f(x) называется периодической , если существует такое число TT 0 — период, что для любого значения x, x, взятого из области определения, значения ( xx + + TT ) и ( xx – – TT ) также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x – T) y 1 2 4 3 -1 x. O T y = f(x)Периодичность функций повторение

xy O x 1 x 3 x 2 y = f(x) х 1 , х 2xy O x 1 x 3 x 2 y = f(x) х 1 , х 2 , х 3 – нули функции у = f(x). Нули функции Определение: Нулем функции называется такое действительное значение xx , , при котором значение функции равно нулю. Для того , , чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0 Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x) Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции: 1) либо пересекает ось абсцисс, 2) либо касается ее, 3) либо имеет общую точку с этой осью, ординаты данных точек нулевые, т. е. (х(х 11 ; 0), (х 22 ; 0), (х 33 ; 0) повторение

Промежутки знакопостоянства Определение : Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не неПромежутки знакопостоянства Определение : Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не не обращается в нуль , называются промежутками знакопостоянства. . Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0 , и ниже оси абсцисс , , если f(x) 0 при x > a f(x) < 0 при x < a повторение a

Монотонность функции Определение :  Функцию называют монотонно возрастающей , если с увеличением аргумента значение функцииМонотонность функции Определение : Функцию называют монотонно возрастающей , если с увеличением аргумента значение функции увеличивается , и монотонно убывающей , если с увеличением аргумента значение функции уменьшается. y x O y x 3 x 2 x 1 монотонно возрастает y = f(x) y x O y = f(x) монотонно убывает y x 3 x 2 x 1 повторение

 Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительна , то функция на этом промежутке Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительна , то функция на этом промежутке возрастает, т. е. ff ’’ (x)>0, f(x) Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательна , то функция на этом промежутке убывает , , т. е. ff ’’ (x)<0, f(x) Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка равна 0, то функция на этом промежутке постоянна. Связь производной с монотонностью функции

f’(x)0 f’(x)0 К К кас = = tgtg ==  ff ’ ’ (x (x oof’(x)>0 f’(x)<0 К К кас = = tgtg == ff ’ ’ (x (x oo ))

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Критические точки функции -Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Критические точки функции — — (4: 1/2)ff ’’ (x(x ii )=k)=k каскас == 00 , , касат II OX , , перегиб графика, смена поведения Нет производной

Алгоритм решения: f ’f ’ (х)(х)  f ’f ’ (х)= 0 ии ли не существуетАлгоритм решения: f ’f ’ (х)(х) f ’f ’ (х)= 0 ии ли не существует f ’(x)>0 f ’(x)<0 критические точки. Достаточный признак возрастания или убывания функции Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) =х=х 3 3 -3 х-3 х 2 2 +2+2 Решение: 1) 1) ff ’ ’ (x)=(x 33 -3 x-3 x 22 +2)+2) ’=3 х 22 -6 х=3 х(х-2) 22 )) Находим критичекие точки: ff ’’ (x)= 0, т. е. 3 х(х-2)=0 при х=0 х=2 3) Исследуем знак производной методом интервалов Ответ: ff (x(x )) на (- ; 0) (2; ) ) ff (x(x )) на (0; 2)

Точка х 0 называется точкой максимума  ( ( xx max ))  функции f(x ),Точка х 0 называется точкой максимума ( ( xx max )) функции f(x ), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство)()( 0 xfxf. Окрестностью точки х 0 — наз ыв ается промежуток, для которого точка х 0 является внутренней. )()( maxxfxf

 Точка х 1 называется точкой минимума  (( xx minmin ) )  функции f(x Точка х 1 называется точкой минимума (( xx minmin ) ) функции f(x ), если в некоторой окрестности точки х 1 выполняется неравенство)()(1 xfxf Точки минимума и максимума называются точками экстремума ( крайние, конечные ) Значения функции в точках х 0 и х 1 называются соответственно максимумом и и минимумом функции (y min и y max ) Максимум и минимум функции называется экстремумом функции)()(minxfxf

x y )(xfy 1 x 2 x 3 x. Точки экстремумов  хх іі x y )(xfy 1 x 2 x 3 x. Точки экстремумов хх іі

Обратите внимание!!! Что происходит с производной при переходе через экстремальную точку?  Что происходит с самойОбратите внимание!!! Что происходит с производной при переходе через экстремальную точку? Что происходит с самой функцией при переходе через экстремальную точку? 1) Производная меняет знак с «+» на «–» или наоборот 2) Функция меняет поведение с возрастания на убывание или наоборот

Достаточный признак возрастания или убывания функции Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительна ,Достаточный признак возрастания или убывания функции Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительна , то функция на этом промежутке возрастает, т. е. f ’ (x)>0, f(x) Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательна , то функция на этом промежутке убывает , т. е. f ’ (x)<0, f(x)

Точками экстремума функции могут быть только её критические точки (в которых производная равна нулю или неТочками экстремума функции могут быть только её критические точки (в которых производная равна нулю или не существует), но этого не достаточно Перегиб графика есть при х=0, но смены поведения нет, поэтому х=0 не является экстремальной точкой

Если производная при переходе (слева направо) через критическую точку меняет знак с  «+»  наЕсли производная при переходе (слева направо) через критическую точку меняет знак с «+» на на «-» , то данная точка – это точка максимума Если производная при переходе (слева направо) через критическую точку меняет знак с «-» нана «+» , то данная точка – это точка минимума

Найти точки экстремумов функции: Решение различных типов задач Найти точки экстремумов функции: Решение различных типов задач

Найти точки экстремумов функции и экстремальные значения: Найти точки экстремумов функции и экстремальные значения:

Найти промежутки убывания и возрастания функции: Найти промежутки убывания и возрастания функции:

Найти критические точки функции: Найти критические точки функции: