Презентация Волны last

Волны

Волны — процесс распространения колебаний в пространстве. Обусловлен наличием связей Механизм – возмущение распростр. Упругие (механ. ) волны Между частицами среды действуют силы упругой связи 1. Перпендикулярно направлению распространения волны – поперечные волны. 2. Вдоль направления распространения волны – продольные. Поперечные когда упругая деформация сдвига. Продольные – упругая деформация сжатия и растяжения.

Бегущая волна Предположим поперечное сечение стержня не деформируется. Оно колеблется перпендикулярно (сдвиг) или продольно (растяж – сжат. ) Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе , называется поверхностью волны(Затухание не учитывается) Z=0 Z Z

)1(tsinaxпусть0 z Остальные сечения кол. вынужд. колеб. А всех колебаний одинакова. Потери не учитываются )2()t(sinax. Aточкев. A )3() V z t(sinax V z )4() TV z T t (2 sinax: T 2 учитываяили

Длина волны V VT)5( Расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний частиц. Подставим (5) в (4)= > Уравнение бегущей волны )6( z t 2 sinax z T t 2 sinax Из (1) и (6) отставание по фазе точки с координатой z )7( z 2 Разность фаз x z )8(zz 2 12 21 — это кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах

1 2 V x. V z z Ttt. Vz ttдля 2 tдля 1 Графики (семейство) x=x(z) Для поперечной B B дают : величину, знак смещения и конфигурацию частиц в момент t Для продольной только величину и знак для обратной B V z tsinax

Колебательная скорость частиц Для данной частицы z=const (фиксир. ) V z tcosax tx тогда zzz z x t. фиксирдля)z(fx

Относительная деформация и напряжение в среде при распространении волны. Если z смещ. на x а z+ z на x+ x , то абсолютная деформация отр. z равна x , а относительная : zx В пределе V x V z tcos Va zx. е. т Относительная деформация (сдвига-сжатия ) V z tcos Va kk: Гуканз Модуль упругости Напряжение (сдвига, напряжения-сж атия) z xzxxx zzz

Закон Гука — механическая мера внутренних сил при деформации материала. k -модуль упругости kk Модуль сдвига G ( попер. ) Модуль Юнга Е ( прод. ) Составляющие деформации в данной точке являются линейными и однородными функциями составляющих напряжения. k ) м Н , смдина (, k

Уравнение Даламбера

)1. 2( z x k. SSf z z zz z x 1 f 2 f dzzz x arctg )2. 2( zz x Sk. Skfz 1 )3. 2( zzz x Sk. Skfzz 2 Надо найти равнодействующую F сил f 1 и f 2 и массу участка Тогда находится ускорение уч. )m(z z

)4. 2(z. Sm. стержня. матерплотность Выражаем через и приращение деформации на протяжении разлог. деф. В ряд Тейлора вблизи zzz z z )5. 2(z z!3 z z!2 z z 3 33 2 22 zzz )6. 2(z z zzz )7. 2(z z x z x тогда 2 2 zzz zz )8. 2(z z x k. Sff 22 12 )9. 2(z z x k. S zx zx k. Sff. F 22 zzz 12 Ускорение, приобретаемое стержнем )10. 2( z x m zk. S m. F t x 22 22 )11. 2( t x kz x 22 22 Уравнение Даламбера

)’11. 2( t U kz U y U x U 22 22 Резюме : : 1. Единственное предположение 2. Уравнение Даламбера справедливо для распространения движения любого характера в среде с линейной мех. характеристикой и в случае квазиупругих волн. 3. Волновому уравнению удовлетворяют бегущие волны а также вообще периодический сигнал, смещение в котором есть k ) V z t(sinax )] V z t([f )15. 2( t x V 1 z x »f t x tпои »f Vz x тогда 22 22 22 скоростьюэтойс. перед, tx. скор. колеб, xсмещение. Впараметрыфизическиевсе /k. V; k. V 1 15. 2 и 11. 2. ср 2 Скорость распространения упругих волн

1 V/V P E сжатия объёмногомодуль сжатие)( Vсжатие. вызыв , давлениегидростат. P P V V Eжидкостидля l l EE )1. 3(k V; k V 2 Уравнение (3. 1) удобно для расчета V при известных и k Скорость распространения упругой волны в твёрдом теле )2. 3(/EVпрод)3. 3(/GVпопер Где : Е – модуль Юнга G – модуль сдвига. Скорость распространения упругой волны в жидкости В жидкости волны продольные /EV 1 VКоэф. Сжимаемости жидкости

Скорость распространения упругой волны в газе. сжатие)()9. 3( V V EP V VE)10. 3( Теплообмен между сгущ и разряж не успевает – процесс распр упругой волны — адиабатический Для расчёта V надо найти E исходя из 3. 10 и уравнения адиабаты /PVотсюда d. PVd. VPV приращениималомпри)11. 3(const. PV E V 1 2 Из уравнения Клапейрона-Менделеева : RT 3 V RT V постояннаягазовая. R молямасса RT P квадрср Похоже на среднеквадр скорость молекул в газе

Энергия, переносимая волной

Потенциальная энергия Упругий образец длиной l растягивается силой f. Во всём образце одно и то же напряжённое состояние — напряжение S f S – поперечное сечение. Под действием силы f образуется удлинениеl )1. 4(V 2 l. S 21 2 lf A Работа растяжения упругого тела=полной потенциальной энергии упругой деформации, накопленной в теле. Удельная энергия , запасённая в единице объёма – плотность энергии )P( пот )2. 4( V 2 k 22 k 2 V W P 2222 пот (4. 2) полученное при однородном напряжённом состоянии пригодно и для неоднородного (бегущие волны), когда V настолько мало, что напряжённое состояние в различных его точках можно считать одинаковым. (4. 2) даёт мгновенные значения ), (P k V, k V Гукаk l l. S f

Кинетическая энергия волны Рассматривается плоская волна, распространяющаяся в направлении z вдоль тонкого стержня сечением S. В участке стержня Sdz заключена энергия движения частиц в распространяющейся волне. dzесли , то можно считать, что все частицы, отр. dz , движутся с одинаковыми скоростями x Sdzdm dz. S 2 x 2 dmx d. W 22 кин V )3. 4( 2 x P 2 кин Мгновенное значение плотности кинетической энергии, выраженное через значение (мгновенное) колебательной скорости x

PP потпот == PP кинкинx. V Vk, k V V x k V x z x , k 22 Для любой точки бегущей волны мгновенные значения плотности потенциальной и кинетической энергии равны другу. Докажем : : )4. 4(P 2 x V 2 x. V V 2 P кин 2 2 22 пот Мгновенное значение плотности полной энергии )5. 4(x V PPP 2 22 кинпот )x, (Pзначение. мгнов

Явная зависимость мгновенного значения плотности энергии от координат и времени)2 cos 1( 2 1 cos V z tcosax V z tsinax 2 V z tcos. P V z tcosax. P 2 max 2222 )6. 4( V z t 2 cos 1 2 P P max См (4. 5) )7. 4( V x x V a. P maxmax 22 max Согласно ( 4. 6 ) при распространении В происходит перенос энергии. Скорость переноса энергии зависит от скорости передачи смещения, колебательной скор. частиц и деформации в среде, вследствие некоторой связи энергии с этими величинами. Частота колебания Р= удвоенной частоте колебаний иx, x

Плотность потока энергии (вектор Умова) dtd. W Энергия через данное сечение за единицу времени nd. S d J Плотность потока-поток энергии за единицу времени на единицу площади, перпендикулярно направлению переноса TW W Sdz. Pd. W 0 max 0 max 2 SP dz V z t 2 cos 1 2 SP dz. PSW V 2 x V 22 P S W P maxmax 22 maxmax ср 2 x x; 2 max D VSP T W срср Vx. VPJ 2 D D 2 Dср

Волновое (акустическое сопротивление среды) )1( Уравнение позволяет установить связь напряжения , возникающего в среде при прохождении волны, со скоростью колеблющейся частицы. x )2(2; )3(2 ; x || )4(xx 2 Коэффициент пропорциональности , связывающий значение напряжения в данной точке среды с мгновенным значением скорости этой точки, называется волновым (звуковым или акустическим) сопротивлением среды Волновое сопротивление – весьма важная характеристика среды : при переходе волны из одной среды в другую или при отражении волны от границы двух сред, значение коэффициентов отражения и проникновения целиком определяются отношением волновых сопротивлений граничащих сред.

Вещество Скорость распространения волн, Плотность, Акустическое сопротивление, Воздух Вода Медь Ртуть Резинас/см 3 см/г 2 см. с/г 4103, 3 5104, 1 5106, 4 5105, 1 3100, 3 3103, 1 0, 1 9, 8 6, 13 95, 0 43 5104, 1 6101, 4 6100, 2 3109, 2 Из (4) следует, что отношение совершающих гармоническое колебание напряжения в среде и колебательной скорости частиц остаётся неизменным во времени : x )5( x )6(x ; x ДД maxmax Неизменность отношения мгновенных значений и имеет место только в плоской волне. Здесь всегда справедливы следующие отношения для амплитудных и действующих значений этих величин : x

Уравнение сферической волны

В изотропной среде на расстоянии r от источника )1(r tsinax r — обратить внимание на следующее : 1. Колебания каждой точки отстают по фазе от колебаний предыдущей точки. Тогда разность фаз между ними : )2(r 2 r 2. Поверхность волны (Г. М. Т. , колеблющихся в одинаковых фазах) определяется (2) и является сферической поверхностью. Такие волны называются сферическими.

3. Лучи (направления распространения колебательной энергии) в изотропной среде перпендикулярны поверхности волны и лучи образуют два ортогональныхповерхности волны и лучи образуют два ортогональных семейства луч поверхностьволны 4. Длина сферической волны – кратчайшее расстояние (по лучу) между двумя точками, колеблющимися в одинаковых фазах. 5. Амплитуда колебаний точек среды – убывающая функция r , т. к колебание, по мере удаления от источника, распространяется на всё большее количество точек интенсивность волны ( плотность потока энергии ) уменьшается с удалением от источника. ra

Зависимость амплитуды колебаний от расстояния 2 r 1 r А Если в среде нет поглощения : ; r 4 J; ФФ 2 22 2 1121 )стьинтенсивно(энергиипотока плотность-Jгде )3( rr J J 2 1 2 2 21 из (3) следует ) 2 a x. J. к. т(, )4( aa J y 22 2 2 22 1 тогда – амплитуда колебаний частиц обратно пропорциональна расстоянию от источника )5( rr a a

примем у c ловие : наименьшее расстояние от источника колебаний, на котором источник можно считать точечным и волну сферической амплитуда на этом расстоянии тогда : 0 r 0 a )6( r tsin r ra x : волныйсферическоуравнение. Получим )1(в. Подставим. r ra a 00 00 r )7( r tcos r ra x : волне йсферическовчастицыскорость ная. Колебатель

)8( r tcos r rar tsin r ra || , r x k|k||| 00 2 При распространении сферической волны между колебаниями напряжения в среде (пропорциональной ему относительной деформации ) и скорости частиц есть разность фаз . x Колебание напряжения может быть представлено как сумма двух колебаний : Одного в той же фазе, что и скорость и другого, сдвинутого по фазе на 90 0 x

x x 0 o 45 Среднее значение J: cosx. Jдд

Стоячие волны

Рассмотрим волновой режим в системе, линейные размеры которой равны небольшому числу длин волн. В этом случае практически всегда наблюдаем не падающую и отражённую волны, а результат их суперпозиции Стоячая волна – результат суперпозиции падающей и отражённой волн Среда — струна, воздух — резонатор

Волна распространяется в направлении оси z)1( z tsinax 1 )2( z tsinax 2 Суперпозиция этих двух волн даёт: )4(tsin z cosa 2 x : анийпреобразовпосле )3( z tsinaxx 21 Полученное уравнение x=x(t, z) описывает новый волновой режим — стоячую волну. Примем условие : имеет место полное отражение , т. е. колебательная энергия не передаётся в соседнюю среду. При этом амплитуда отражённой волны = амплитуде падающей Sin α+ Sin β = 2 sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)

Рассмотрим графики зависимости x=x(z)1 tsin 5. 0 tsin 1 tsin z z z x x x Видим, что две соседние точки колеблются в одинаковых фазах, но с различными амплитудами Амплитуда частиц в стоячей волне зависит от координат частиц A=A(z) )5( z 2 cosa 2 z cosa 2)z(AA)4(из M M M NNN

В отличие от бегущей волны, в которой амплитуды колебаний всех точек одинаковы, а фазы различны в стоячей волне фазы соседних точек одинаковы, а различие их колебаний определяется различием в амплитуде Для сравнения – графики бегущей и стоячей волн для близких моментов времени. Tt z x tt tt t t узел

Характерные особенности стоячих волн 1. Амплитуда колебаний частиц изменяется по ко синусоидальному закону ( см(4) ). Имеются точки, в которых амплитуда равна нулю. Такие точки называются узлами. Имеются точки, в которых амплитуда достигает наибольшего значения . Эти точки называются пучностями. a 2 2. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны. Расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны. z x 4 2 Расстояние между соседними узлом и пучностью равно четверти длины волны

3. Колебания точек, заключённых между двумя узлами, происходят в одинаковых фазах. Фаза колебаний скачком меняется на обратную при переходе через узел 4. Колебательная скорость : Узел скоростей имеет место там же, где и узел смещений. tcos z cosa 2 x z x 4 2 )6(

5. Стоячая волна напряжений : z 4 2 )7(tsinz sink a 2 zx k 5. 1 Координаты узлов напряжения совпадают с координатами пучностей смещения и скорости 5. 2 Волна напряжений отразилась с изменением фазы на противоположную (отражение см. выше)

6. Стоячая волна не переносит энергии. Действительно, мгновенное значение плотности потока энергии зависит от произведения σx . Из предыдущего рис. Видно, что мгновенное значение этого произведения изменяет знак каждые четверть волны. Среднее значение потока энергии JJ равно нулю)8(cosx. Jдд При выводе (4) амплитуды падающей и о т ражённой волн были одинаковыми (при полном отражении) При частичном переходе энергии максимальная амплитуда а не , как в (5) 21 aa a 2 Такая волна переносит энергию, передаваемую в соседнюю среду. ψ В стоячей волне ψ = 90 о и J = 0.

Акустика

1. Звуковые колебания и их распространение Звук – это продольные упругие колебания возд ухо мозг ощущение звука. Воспринимается от 16 Гц до 20000 Гц. связано с физиологией человека. f>20000 Гц – ультразвук ; f<16 Гц – инфразвук. В физике (независимо от ff )) звуковые колеб – упр колебан распр в среде. Объект. . характеристики : : — интенсивность колебаний — плотность потока энергии — скорость распространения колебаний В обиходе : : — сила звука — скорость звука

Звуковые впечатления : : — высота – зависит от частоты — тембр – обертоны — громкость 1 я 2 я 3 я Ля : 440 880 1760 Гц. . рояль, флейта, 32 Порог слышимости – min интенсивность волны, вызывающая звуковое ощущение Наиболее слышимы 1000 -4000 Гц порог слыш-ти При других f он лежит выше 212 м/Вт

Порог болевого ощущения : интенс2 м/Вт101 Субъективная характеристика – уровень громкости L – лог отн инт данного звука I к некот I 0 – исходной. )Белы( I Ilg. L; м/Вт10 I 0212 0 Единица уровня громкости – белбел (Б) ; Б /10 — децибел )д. Б(децибелахв Ilg I 10 L 0 Относ интенс I 1 и I 2 можно выразить в д. Б 2 1 12 I I lg 10 L 0 30 120 )д. Б(L 130 I 0 I 20 д. Б — уменьш в 100 30 д. Б — уменьш в 100 0 4 0 д. Б — уменьш в 100 00 и т. д Шёпот – 30 д. Б Крик – 80 д. Б

2. Скорость распространения упругих волн в газе. Скорость распространения упр волн в сплошной среде E v Модуль Юнга Плотность среды. По определению для упругого стержня. сеченпопер единна силаусилие L/L P E)1(n Для объёма объёмн деформ )2( V/V P Eи V V Полаг беск. малые d. P и d. V. Увел d. P уменьш d. V ( отриц ) Перепишем (2) )3( d. V d. P V V d. P E Звук колеб происх так быстро, что теплов обмен между сгущ и разреж произ не успевает – т. е. происх адиабатически V P C С где), 4(const. PV адиабаты еур 33, 13 40, 1 ат2 67, 1 одноат Х

)4(const. PV )5( V P d. V d. P 0 Pd. VVd. PV)4(. дифференц 1 )3( d. V d. P VE Подст в (3) )6(P vи. PE зв E v Из ур-я Клапейрона-Менделеева )7( RT P постгазовая. R весмолекул И окончательно : )8(RT v зв c/м 341 v; с17 при, c/м. T 20 сек/см. T 29 1031, 84, 1 v; 29 32; 28 )O 4/1; N 4/3( ; 40, 1; NO~воздух: пример 7 возд ON 22 мольград 2 Эр71013, 8 R

3. Колебания столба воздуха l 4 vv тоноснl 4; l 4 зв 1 11 l Частота n- го обертона : . . . 9, 7, 5, 3, 1 nгде l 4 v n зв n

Эффект Доплера

( австриец Христиан Доплер (1803 -1853)) Эффект Доплера – изменение частоты распространяющихся в среде колебаний, возникающее при движении приёмника или источника колебаний относительно этой среды. V – скорость распространяющихся колебаний в среде U – скорость источника относительно среды v – скорость приёмника относительно среды сближение п и (+) ( V, U ) удаление п и (-) ( V, U )

I. Приёмник и источник покоятся относительно среды. U=0; v=0 T 1 VT VV ‘ П

II. Приёмник движется относительно среды со скоростью v; источник неподвижен ; U=0 П Иv V (U=0) v>0 приближается v0 , то мимо приёмника за единицу времени пройдёт большее число волн. Волны идут мимо прибора со скоростью : ‘)1( V v 1’то, T 1. к. т VT v. V ‘}v. VV полн Т. е. Частота воспринятых колебаний больше числа испущенных в раз V v 1 2) Если v<0 , то '. е. т, V v 1' П Иv V

III. Источник движется, приёмник покоится ( U=U; v=0 ) П И (v=0)U 1. U>0 ‘ u. T B ‘B Т. к. V зависит от среды то за Т колеб распростр на , независимо от движ источника ; Но! за это время источник пройдёт путь u. T В результате воспринятая изменится, т. к. теперь будет : » ‘)2( u. V V ‘; T)u. V( V ‘V ‘. соотв ; T)u. V(u. TVTu. T’ 2. при U0) П И

IV. Источник и приёмник перемещаются одновременно ( U=0; v=0 ) Вследствие движ источникаu. T’ Вследствие движ приёмника V v. V ‘ Вследствие обеих причин : )3( u. V v. V ‘; T 1 u. V v. V u. T v. V ‘ Если v и U направить под углом, то следует брать их составляющие на прямую, соединяющую источник и приёмник. и п ‘ ‘cosvv cos. UU п и

Интерференция волн Если от источника колебаний волны доходят до приёмника двумя различными путями, то приёмник будет колебаться под одновременным воздействием обеих волн будет иметь место сложение колебаний одинаковых частот. При одинаковых направлениях слагаемых колебаний амплитуда и энергия результирующего колебания : (1) )cos(EE 2 EEE )cos(aa 2 aaa 2121212 22 1 При сложении одинаково направленных колебаний равных частот энергия результирующего колебания не равна сумме энергий слагаемых колебаний, совершающихся порознь A )z t(2 sinax 1 11 )z t(2 sinax 2 22 t 2 sinax 11 t 2 sinax 22 Интерференция волн – усиление или ослабление энергии результирующего колебания в зависимости от разности фаз слагаемых колебаний При сложении взаимно перпендикулярных колебаний интерференции нет, т. к. при любых энергия

A (3) )z t(2 sinax 2 22 t 2 sinax 11 t 2 sinax 22 Приёмник под воздействием одной первой волны совершал бы колебания, следующие уравнению : (2) ) z t(2 sinax 1 11 a под воздействием второй волны – уравнению Разность фаз колебаний приёмника под воздействием одного и другого колебаний : 12 21 zz 2 Разность расстояний , которые проходят волны от источников до приёмника, называется разностью хода волн 12 zz Интерференционное усиление , согласно (1), имеет место при условии число целое где , 22 zz 2 или 1 zz 2 cos)cos( 12 21 отсюда (4) 22 zz

Аналогично, для интерференционного ослабления необходимо : )12(2 zz 2 1 zz 2 cos)cos( 12 21 (5) 2)12(zz 12 Таким образом : Интерференционное усиление имеет место , , если разность хода лучей равна целому числу длин волн или чётному числу длин полуволн Интерференционное ослабление имеет место , , если разность хода лучей равна нечётному числу длин полуволн

Отражение волн Проникновение волн через границу Условие : волна распространяется вдоль оси z , перпендикулярной границе раздела двух сред. 111 Волновое сопротивление первой среды (в ней распространяются подающая и отражённая волны) 222 Волновое сопротивление второй среды (в ней распространяется проникшая через границу раздела волна) 1 2 Z Отношение волновых сопротивлений сред tr 0 a, a, a Амплитуды колебаний частиц падающей, отражённой и преломлённой волн соответственно tr 0 u, u, u Амплитуды колебательной скорости частиц tr 0, , Амплитуды напряжений среды, вызванных падающей, отражённой и прошедшей через границу волн соответственно (1) Ф Ф R 0 r Коэффициент отражения(2) Ф Ф T 0 t Коэффициент проникновения

Так как площадь, на которую падает волна, равна площади, от которой она отражается, отношение потоков энергии можно заменить отношением плотностей потока энергии (векторов Умова) (4) J J T и (3) J J R 0 t 0 r (5) x x a a aa J J 22 max 11 max 222 2 112 1 22 22 22 12 12 11 21 ; 21 Так как падающая и отражённая волны распространяются в одной и той же среде, то : (6) u u a a R 2 0 r Падающая и проникшая через границу волны распространяются в разных средах, поэтому : (7) uu Z u u T 2 0 2 t 2 011 2 t

Падающая волна Отражённая волна Волна, проникшая во вторую среду Волна смещений Волна колебатель ных скоростей Волна напряжений 10 z tsinax 10 z tcosux 10 z tcos r 12 z tsinax t 2 t z tsinax r 1 r z tcosux r 1 r z tcos t 2 t z tcosux t 2 t z tcos Следует обратить внимание на появление дополнительных (по сравнению с падающей волной) фазовых углов и , учитывающих возможное изменение фазы волны при отражении и проникновении во вторую среду. tr На границе раздела двух сред выполняется условие непрерывности : : в природе не бывает бесконечно больших перепадов смещений, колебательных скоростей частиц и напряжений (8) ; xxxtr 0 tr

Примем на границе z=0 , тогда : )10( )tcos(tcos )9( )tcos(utcosu ttrr 0 Потому, что волна напряжений должна отразиться от границы в фазе, противоположной волне скоростей Если в (10) подставить знак +, то оно окажется несовместимым с (9) u )11( )]tcos(u[)]tcos(utcosu[ tt 1 rr 01 Из (10) после подстановки следует : По (9) скобки в л. ч. и п. ч. уравнения (11) равны, поэтому , что не соответствует условию 21 Из (9) и (10), справедливых в любой момент времени, можно получить : (15) sinu (14) cosuu (13) sinu (12) cosuu tt 2 rr 101 ttrr

(19) sin u u Zsin. R (18) cos u u Zcos. R 1 (17) sin u u sin. R (16) cos u u cos. R 1 t 0 t r t 0 t r. Используя введённые обозначения, уравнения (12) – (15) можно представить в виде : Система уравнений даёт возможность определить tr, , Z, R

(19) sin u u Zsin. R (18) cos u u Zcos. R 1 (17) sin u u sin. R (16) cos u u cos. R 1 t 0 t r 1. определениеt Вычитая (19) из (17) получаем : 0 sin u u )1 Z( t 0 t то 0 u u ; 0)1 Z(. к. т 0 t 1 cosи 0 sin tt Для определения знака сложим (16) и (18) t cos 2 cos u u )1 Z( t 0 t то 0 u u ; 0)1 Z(. к. т 0 t )20(0 и 1 cos tt Волна проникает во вторую среду без изменения фазы, т. е. в отношении фазы преломления волна является продолжением предыдущей.

(19) sin u u Zsin. R (18) cos u u Zcos. R 1 (17) sin u u sin. R (16) cos u u cos. R 1 t 0 t r 1. определениеr : следует0 при)17(изt rrrили 0 и 0 sin Вычитая (18) из (16) получаем : t 0 t r cos u u )Z 1(cos. R 2 Z)-(1 знака от зависит cos знак 0 R, 0 u u , 0 cos. к. тr 0 t r )21(и 0 cos, 0)Z 1(, 1 Zтоеслиrr 12 )22(0 и 0 cos, 0)Z 1(, 1 Zтоеслиrr 12 1. При отражении от среды с меньшим акустическим сопротивлением волна смещений и волна колебательных скоростей частиц не изменяет фазу ; волна напряжений изменяет фазу на )(12 2. При отражении от среды с большим акустическим сопротивлением волна смещений и волна колебательных скоростей частиц изменяют фазу на ; волна напряжений не изменяет фазу )(

(19) sin u u Zsin. R (18) cos u u Zcos. R 1 (17) sin u u sin. R (16) cos u u cos. R 1 t 0 t r 1. Определение RR Выразив из (16) и подставив его в (18), получим : 0 t u u)23( 1 Z 1 Z R 2 Коэффициенты отражения от границы данных двух сред одинаковы как для волны, падающей на границу из первой среды, так и для волны , падающей на границу из второй среды 1. Определение TT Выразив из (16) и подставив его в (18), получим : rcos. R)24( )1 Z( Z 4 T 2 По закону сохранения энергии поток энергии падающей волны равен сумме потоков энергии отражённой и проникшей во вторую среду волн. Поэтому должно иметь место равенство : : )25(1 TR

Принцип Гюйгенса Каждая точка поверхности волны должна рассматриваться как самостоятельный источник элементарных сферических волн Поверхность волны в момент времениt Поверхность волны в момент времени tt Способ нахождения положения и формы поверхности волны через промежуток времени после начального момента : : Из каждой точки поверхности волны, заданной в момент времени , надо в сторону направления распространения провести полусферы радиусом ; Общая огибающая всех этих полусфер – искомая поверхность волны. t t

Примеры применения принципа Гюйгенса 1. Отражение плоской волны на границе двух сред 123 N N 1 A B Д A ДK 1 K K 1 K ii

1. Преломление плоской волны через плоскую границу раздела двух сред. N 1 II I r ii r A D B 21 )1( AE BD или BD AE 21 121 Из рассмотрения треугольников ABD и AED: (2) rsin isin тогда rsin. ADAE и isin. ADBD 21 Закон преломления : : Отношение sin угла падения к sin угла преломления для данных двух сред – величина постоянная, равная отношению скорости распространения волн в первой среде к скорости распространения волн во второй среде. 21 — относительный показатель преломления второй среды относительно первой )3(n

(4) n 12 21 2 1 21 (5) n 11 22 21 )6( n 21 (7) n 21 В случае упругих волн : В случае электромагнитных волн : Для всех не ферромагнитных сред магнитная проницаемость практически равна единице, поэтому : Показатель преломления среды относительно вакуума, где принимает вид : 1 При переходе волны из одной среды в другую, частота колебаний не изменяется. Так как скорости распространения в различных средах различны, то длина волны при переходе из одной среды в другую изменяется. (9) nn (8) n

Электромагнитные волны

Максвелл, Джеймс Клерк В 1860— 1865 Максвелл создал теорию электромагнитного поля, которую сформулировал в виде системы уравнений ( уравнения Максвелла ). Уравнения Максвелла составляют основу как электротехники и радиотехники, так и теории любых электромагнитных явлений в любых средах. В 1861 г. он обнаружил, что свет — это разновидность электромагнитных волн. Д. К. Максвелл (1831 -1879) — великий английский учёный, создатель теории электромагнетизма. Максвелл также создал Создал кинетическую теорию газов (1859 г. ) и вывел соотношение для распределения цастиц газов по скоростям, получившего название распределения Максвелла.

Обобщение законов электромагнетизма. Уравнения МАКСВЕЛЛА (1867 г. ) 1. Экспериментальные законы. I. Закон Кулона 2 21 0 r qq 4 1 F SV 0 d. V 1 Sd. E Теорема Гаусса II. Закон сохранения заряда Суммарный заряд электрически нейтральной системы остаётся постоянным t jdiv III. Закон Ампера ]B, ld[IFd ]B, V[q. F B dtd. Ф i Сила Лоренца (магн) Закон Фарадея IV. Био-Саварра-Лапла са 3 r ]r, ld[ 4 I Hd ? l S nl d. Sjdl. H Теорема о циркуляции магн. поля

Уравнения Максвелла (собираем) }{0)Sd. B()2 }){Sd. B( dt d )ld. E()1. зар. магн тотсутствую S b. S нз. Фарад I V. теор Гаусса SL S. циркул о. теор j S пр }{dv)Sd. D()4 }){Sd. D( dt d )Sdj()ld. H()3 см II 0 Bdiv)2 t. B Erot)1 Ddiv)4 t D j. Hrot)3 пр Интегральная форма Дифференциальная форма Материальные уравнения Ej HB ED 0 0 )5(

Приложение к ур-ниям Максвелла в дифференциальной форме Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса Т. Стокса )L(S nld. S)Arot(dl. A )a( Т. Остроградского — Гаусса )S(V nd. VAdivd. SA )b( где dz A y. A x. A Adiv zy x )c( y. A x. A )Arot( x. A z. A )Arot( z. A y. A )Arot( xy z zx y y z x )d(

Шкала ЭМВ Название диапазона Гамма-лучи Рентген Ультрафиолетовое излучение Видимый свет Инфракрасное излучение Микроволны Телевидение и ЧМ Радиовещание Радиоволны22 1021 1020 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 105 104 103 10 Частота Гц. Гц 22 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 102 103 104 10 7 10 5 106 10 8 10 Длина волны, см A 1 см 1 км 1 Электромагнитные волны

Наименование Ближнее инфракрасное 3 Красный max 3. 9 Оранжевый 4. 9 Жёлтый 5. 1 Зелёный 5. 6 Голубой 5. 5 Синий min 7. 5 Ближний УФ 10)м( Гц10 14 6 101 7 106. 7 7 101. 6 7 109. 5 7 104. 5 7 106. 4 7 103 Видимый свет )мкм 76. 04. 0( Электромагнитные волны

I. I. Е колеблется H; H; ЭМВ – поперечная волна Модель : E(z, t) т. е. Не зависит от у и х ; 0 y. H , x. H , y. E , x. E 0 j; 0; идиэлектрикоднородный 00 Ур-я Максвелла )3 0 t. D z. H )2 0 t. B z. E y. A x. A ]rot. A[ x. A z. A ]rot. A[ z. A y. A ]Arot[ 0 Ddiv t. D Hrot 0 Bdiv t. B Erot )1 z yx xy xy z zx y yz x 00 0]rot. A[. к. т z Электромагнитные волны

Ни. Еть y 0 yxy x 0 xyyx ED; Eоттолькозависит. H ED); E(Dоттолькозависит. H EE, 0 Н 0 E, HН волнеплоскойв. Нвсегда. Е. е. т xx yy z. E t. H t. E z. H 0 0 )4 xпонапр. Е zпонапр волнанаяполяризоваплоско z x y E H Электромагнитные волны

Поперечность ЭМВ Согл (1) осипоzвдоль. менне. е. т const. D const. B 0 z. D 0 z. B 0 Ddiv 0 Bdiv zz 0 t. D 0 t. B ]Drot[ ]Brot[ zz 0 z 0 z Т. е. вдоль z z не не меняется и по tt. Электромагнитные волны

)6( t H z H )5( t E z E tz H t E zt H tz z. H t. E z. E t. H 22 00 22 2 22 0 222 00 0 Волновое уравнение ЭМВ (( Даламбера) Уравнения Максвелла для плоско – поляризованной волны сводятся : zt «наоборот» операцию )б(), а(впроизводя , аналогично Уравнение Даламбера ЭМВЭМВЭлектромагнитные волны

Электромагнитные волны Скорость ЭМВ Ранее для упругих колебаний было показано : )7( t U v 1 z U : случаеодномерномвили; t U v 1 U 22 22 2 сигнал кийпериодичес любой v z tf. Uздесь Для бегущей волны v – фазовая скорость. Сравнивая (7) и (5), (6) видим : )8( 1 v

Электромагнитные волны Для ЭМВ обозначим v среды =С ср ; v вак = C – скорость света (ЭМВ) в вакууме 000 ср11 C)9( )10( 1 C 00 с м 10997. 2 C; с м 103 9104 1 С м Ф 1094 188 9 790 В Си

Электромагнитные волны В случае плоско-поляризованой монохроматической волны ур-ям (5), (6) соотв решение : )11( v z tsin. HH v z tsin. EE 2 m 1 m Задача : установить связь между E и H по фазе и величине )12( v z tcos. H vv z tcos. E v z tcos. H v z tcos v. E z. H t. E t. H z. E 2 m 1 m 0 2 m 01 m 0 0 Сгласно (4) с и н ф а з н о с т ь Тождеств. вып. (12) (т. е. при любых коорд и в любой момент) Возможно только при ьсинфазност)13(21 В бегущей ЭМВ Е и Н колеблются в одинаковых фазах

Электромагнитные волны С учётом (13) из (12) : 00 m 0 m 1 v. H v. EСоотношение Е и Н HE HE 00 m 0 m 0 (14) Для амплитудных значений Для мгповенных значений

Электромагнитные волны Итак В распространяющейся ЭМВ вектора Е и Н жёстко связаны пропорциональной зависимостью : )14(HE 00 И колеблются в одинаковой фазе : )13(21 x y z E H