Презентация векторы в пространстве

Скачать презентацию  векторы в пространстве Скачать презентацию векторы в пространстве

vektory_v_prostranstve.ppt

  • Размер: 1 Mегабайта
  • Количество слайдов: 16

Описание презентации Презентация векторы в пространстве по слайдам

Векторы в пространстве A B C DA 1 B 1 C 1 D 111 ACAAADAB Векторы в пространстве A B C DA 1 B 1 C 1 D 111 ACAAADAB uuuur

Как и в плоскости, в пространстве вектор определяется как направленный отрезок : A B Точка АКак и в плоскости, в пространстве вектор определяется как направленный отрезок : A B Точка А – начало вектора , В – конец вектора. Записывают: или . AB uuur a Обычную точку в пространстве мы также можем считать вектором, у которого начало совпадает с конечной точкой. Такой вектор называется нулевым и обозначается: или . 0 r. AA uuur A Длина отрезка, изображающего вектор, называется модулем (или абсолютной величиной) вектора, т. е. AB AB åä. î ò ð. . uuur Естественно, что 0 AA. uuur. I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с векторами. A B Векторы и являются противоположными. Очевидно, что: AB uuur BA uuur AB BA. uuur

Два вектора называются коллинеарными ,  если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых:Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: a b c Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают одинаково направленными (или соноправленными) и противоположно направленными. В нашем случае: Обозначение коллинеарных векторов: a b, r r Pa c , r r Pc b. r r P – соноправленные векторы, , – противоположно направленные векторы. ↑↓ a r b r ↑↓ c r b r ↑ ↑ a r c r m n. P Два вектора называются равными , если: 1) они соноправлены; и 2) их модули равны, т. е. a b è a b r r a r b r↑ ↑ a r b r

От произвольной точки пространства можно отложить единственный  вектор,  равный данному: a r M NОт произвольной точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному: a r M N a MN r uuuur Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной плоскости: a r b r c r Углом между векторами называется угол между их направлениями: a rb r ¶ a , b r r Величина угла между векторами может изменятся от 0 0 до 180 0. Подумайте, когда: а) и б) ? ¶ 00 a , b r r¶ 0180 a , b r r Ответ : а) ; б) . ↑ ↑ a r b r ↑↓ a r b r

II.  Действия с векторами. Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двухII. Действия с векторами. Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двух векторов применяются правила треугольника или параллелограмма : a r b r 1) При применении правила треугольника один из векторов откладывают от конца другого, т. е. : a b r r 2) При применении правила параллелограмма оба вектора откладывают из общей начальной точки, т. е. , где F – вершина параллелограмма, противоположная общей начальной точке векторов. a r b r a b r r MK KF MF uuuur MK MN MF uuuur

При сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника : a r b r c rПри сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника : a r b r c r d ur e r a b c d e r r r ur r Обратим внимание, что при сложении соноправленных векторов получается вектор, соноправленный с данными и его модуль равен сумме модулей слагаемых векторов: a r b rb r a b r r a b r r При сложении противоположно направленных векторов получается вектор, соноправленный с вектором, имеющим б ó льшую длину и его модуль равен … (подумайте, чему? ): a r b rb r a b r r a b b a r r r

Также можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор. При вычитании двух векторов применяетсяТакже можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор. При вычитании двух векторов применяется видоизмененное правило треугольника – вначале оба вектора строятся с общей начальной точкой, затем соединяются концы этих векторов с выбором направления к «уменьшаемому» вектору: a rb r a b r r Или: т. к. , то можно вначале построить вектор, противоположный вектору , а затем оба вектора сложить по правилу треугольника. a b r r b r a rb r – a b r r

Сложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам: 1)      – переместительныйСложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам: 1) – переместительный закон сложения; a b b a r r 2) – сочетательный закон сложения; a b c r r r 3) ; 0 a a r r r 4) . 0 a a r r r Следующее действие с векторами – умножение вектора на число k. В результате этого действия получается вектор , причем: 1) если k >0 , то и ; 2) если k <0 , то и ; 3) если k =0, то . 3 a r 2 a r 4 3 a r ↑ ↑ a r k a k · a r r ↑↓ k a r k a k · a r r 0 0·a r r 0·a r 8 3 a r

И еще одно действие с векторами – умножение двух векторов.  В школьном курсе геометрии изучаетсяИ еще одно действие с векторами – умножение двух векторов. В школьном курсе геометрии изучается скалярное произведение векторов. В результате этого действия (в отличии от предыдущих действий с векторами) получается число , равное произведению модулей двух данных векторов на косинус угла между этими векторами, т. е. ¶ a ·b a · b ·cos a , b. r r r a r b r b’ uur 0 90 090 b b’ r uur. Геометрически скалярное произведение векторов можно понимать как площадь параллелограмма (или противоположная ей величина), стороны которого образуются одним из данных векторов и вектором, перпендикулярным второму с таким же модулем: 0 90 ; a · b’ ·sin a · b ·cos a·b. S r uur r r 0 90 a · b’ ·sin. S a · b ·cos a·b. r uur r r – острый угол – тупой угол ò. å. a·b S r r

Теперь рассмотрим все эти понятия и действия с точки зрения координатного пространства.  Вспомним,  чтоТеперь рассмотрим все эти понятия и действия с точки зрения координатного пространства. Вспомним, что любая точка пространства задается тремя координатами А ( x; y; z). A (x 1 ; y 1 ; z 1 ) B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) Если принять вектор за параллельный перенос начальной точки A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) в конечную точку B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то координаты вектора показывают: на сколько изменяются соответствующие координаты начальной точки при параллельном переносе в конечную , т. е. 2 1 2 1; ; AB x x y y z z uuur Естественно, что и . 0; 0; 0 AAuuur 1 2 1 2; ; BA x x y y z z uuur Т. к. модуль вектора равен длине изображающего отрезка, то: 2 2 2 AB m n k uuur , где – координаты вектора. ; ; AB m n kuuur Два вектора, заданные координатами будут равны , если (подумайте) … 1 1 1 2 2 2; ; a m n k è b m n k r r 1 2 1 2 m m , n n , k k. … равны их соответствующие координаты, т. е. III. Координаты вектора. Действия в координатах.

Для сложения  двух векторов,  заданных координатами,  нужно просто сложить их соответствующие координаты, т.Для сложения двух векторов, заданных координатами, нужно просто сложить их соответствующие координаты, т. е. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ; ; m n k m m ; n n ; k k. uuuuuuuuuur uuuuuuuuur При вычитании векторов, заданных координатами, нужно найти разности их соответствующих координат, т. е. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ; ; ; m n k m m n n k k. uuuuuuuuuur uuuuuuuuur Умножение вектора, заданного координатами, на число выполняется так: ; ; a· m n k am an ak , ăäĺ a. uuuur uuuuuur R/ Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, т. е. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ; ; m n k · m n k m m n n k k. uuuuur uuuuuur Условием коллинеарности двух векторов, заданных координатами, будет пропорциональность их соответствующих координат: 1 1 1 2 2 2 m n k a bč ëč a xb. m n k r r P Самостоятельно разберитесь, когда и . ↑ ↑ a r b r ↑↓ a r b r

Для выяснения компланарности  трех векторов необходимо,  чтобы любой из этих векторов можно было разложитьДля выяснения компланарности трех векторов необходимо, чтобы любой из этих векторов можно было разложить по двум оставшимся, т. е. a , b, c c x·a y·b, x , y. r r r R. a r b r c r A B C DНапомним как это выглядит геометрически: По правилу параллелограмма: . Но , AC AB AD uuur AC c uuur r AB a , AD b. uuur r P P Значит, AB x·a , AD y·b uuur r c x·a y·b, x , y. r r r R. В данном конкретном случае: , если аппликаты всех точек равны. 2 3 c a b r r r

Аналитически выяснить компланарность трех векторов, заданных координатами,  можно решая систему:  1 1 13 1Аналитически выяснить компланарность трех векторов, заданных координатами, можно решая систему: 1 1 13 1 2 2 2 2 3 1 23 3 3 ; ; ; a m n km xm ym , n xn yn , ãäå b m n k. k xk yk , c m n k r r r Если система имеет единственное решение, то векторы компланарны. a , b, c r r r Любой вектор пространства можно разложить по трем некомпланарным векторам, т. е. ; d x·a y·b z·c , ãäå a , b, c x , y , z. ur r r r R. Аналитически разложение любого вектора по трем некомпланарным векторам сводится к решению системы: 4 4 4; ; d m n k ur 1 1 1 2 2 2 3 3 3; ; ; a m n k , b m n k è c m n k r r r 4 1 2 3 m xm ym zm , n xn yn zn , k xk yk zk , А решение этой системы – числа x, y и z являются коэффициентами разложения вектора по трем векторам d ur a , b è c. r r r

a r b r c r d ur. Геометрически это означает возможность построения параллелепипеда,  вa r b r c r d ur. Геометрически это означает возможность построения параллелепипеда, в котором диагональ задается вектором , а все три измерения – векторами, коллинеарными векторам . d ur a , b è c r r r A B CDA 1 B 1 C 1 D 1 1 1 AC AA AB AD uuuur d x·a y·b z·c ur r

В прямоугольной системе координат в пространстве векторы      и   В прямоугольной системе координат в пространстве векторы и называются единичными координатными векторами ( или ó ртами ). Т. к. эти векторы являются некомпланарными, то любой вектор пространства можно разложить по ортам. При этом образуется прямоугольный параллелепипед, а коэффициенты разложения – координаты данного вектора. 1; 0; 0 i , r 0; 1; 0 j r 0; 0; 1 k r x yz A B CDA 1 B 1 C 1 D 1 0 1 1 1 i r j r k r 1 1 1; ; AC AD AB AA x·i y· j z·k AC x y z uuuur r r r uuuur В данном случае x = – 3 ; y =4; z =6 , т. е. координаты вектора 13; 4 6 AC ; . uuuur

Умение выполнять действия с векторами и понимание вышеизложенного материала позволяет решать некоторые геометрические задачи с помощьюУмение выполнять действия с векторами и понимание вышеизложенного материала позволяет решать некоторые геометрические задачи с помощью векторов. Этот способ получил название векторного способа решения задач. Мы познакомимся с ним на следующих уроках…. A B C M NS O 1 3 SO SA SB SC uuur uur uuur Для любого тетраэдра:




  • Мы удаляем страницу по первому запросу с достаточным набором данных, указывающих на ваше авторство. Мы также можем оставить страницу, явно указав ваше авторство (страницы полезны всем пользователям рунета и не несут цели нарушения авторских прав). Если такой вариант возможен, пожалуйста, укажите об этом.