Презентация ТВ часть 2 от О.А. Пекарской

Скачать презентацию  ТВ часть 2 от О.А. Пекарской Скачать презентацию ТВ часть 2 от О.А. Пекарской

tv_chasty_2_ot_o.a._pekarskoy.ppt

  • Размер: 817.5 Кб
  • Количество слайдов: 44

Описание презентации Презентация ТВ часть 2 от О.А. Пекарской по слайдам

 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайная величина – это числовая характеристика случайного события. Например,  выигрыш в лотерее СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайная величина – это числовая характеристика случайного события. Например, выигрыш в лотерее – случайное событие. размер выигрыша – случайная величина.

Случайные величины обозначаются  греческими буквами:  (кси), (эта) , (тета) и так далее,  аСлучайные величины обозначаются греческими буквами: (кси), (эта) , (тета) и так далее, а их возможные значения – латинскими буквами с индексами: x i , y i , z i. Например, случайная величина — «размер выигрыша в лотерее» может иметь следующие возможные значения : х 1 = 0 руб. ; х 2 = 10 руб. ; х 3 = 100 руб. ; х 4 = 1000 руб.

Случайные величины делятся на  дискретные; непрерывные.  Случайную величину называют дискретной , если множество ееСлучайные величины делятся на дискретные; непрерывные. Случайную величину называют дискретной , если множество ее возможных значений образует конечную последовательность чисел. (например, случайная величина — «размер выигрыша в лотерее» )

Непрерывные случайные величины сплошь заполняют некоторый числовой интервал.  Например, время безотказной работы прибора теоретически [0Непрерывные случайные величины сплошь заполняют некоторый числовой интервал. Например, время безотказной работы прибора теоретически [0 ; , + )

Дискретные случайные величины задаются рядом распределения ,  а непрерывные – функцией распределения Дискретные случайные величины задаются рядом распределения , а непрерывные – функцией распределения

 Ряд распределения ставит в соответствие каждому возможному значению случайной величины хi соответствующую вероятность рi. ξ Ряд распределения ставит в соответствие каждому возможному значению случайной величины хi соответствующую вероятность рi. ξ x 1 x 2 … x n p i p 1 p 2 … p n i ipp i , i=1, 2, =

Пример 1 Рассмотрим случайную величину  - «число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три  раза»Пример 1 Рассмотрим случайную величину — «число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза» . Она может принять четыре значения: 0, 1, 2, 3. P(A 0 )=1/8 ; P(A 1 )= 1 /8 +1/8=3/8; P(A 2 )= 1 /8 +1/8=3/8; P(A 3 )=1/8. ξ 0 1 2 3 p i 1/8 3/8 1/8 Построим ряд распределения случайной величины

Функцией распределения F( х )  СВ ξ называется функция действительного аргумента х ,  определеннаяФункцией распределения F( х ) СВ ξ называется функция действительного аргумента х , определенная на всей числовой оси и равная вероятности того, что СВ ξ примет значение меньше или равное х: F ( x ) = P ξ x }.

Пример Построить функцию распределения числа    гербов при трех подбрасываниях монеты  ξ 0Пример Построить функцию распределения числа гербов при трех подбрасываниях монеты ξ 0 1 2 3 p i 1/8 3/8 1/8 Решение — <x< 0 : F(X)=P( ξ <0)=0 0 x< 1 : F(X)=P( ξ <1)= P( ξ =0)=1/8 1 x<2 : F(X)=P( ξ < 2 )=P( ξ =0) + P( ξ = 1) =1/8 +3/8=4/8 2 x< 3 : F(X)=P( ξ < 3 )= P( ξ =0) + P( ξ = 1)+ P( ξ = 2) = =1/8 +3/8=7/

8 7 2 1811F(x)График функции распределения F(X) 0 1 2 3 х   ); 3[18 7 2 1811F(x)График функции распределения F(X) 0 1 2 3 х ); 3[1 )3; 2[ 8 7 )2; 1[ 8 4 )1; 0[ 8 1 )0; (0 )( Хпри Xпри X

 Свойства функции распределения 1) 2)  F(x) – неубывающая :  если   то Свойства функции распределения 1) 2) F(x) – неубывающая : если то F ( x 1 ) F ( x 2 ). 3) )()(}{a. Fba. P 1)(0x. F ; 0)(F 1)(F , 21xx 4) Вероятность попадания СВ в интервал ( a , b ] :

Пример СВ задана функцией распределения  41 40 4 00 )( Xпри. X Xпри XF НайтиПример СВ задана функцией распределения 41 40 4 00 )( Xпри. X Xпри XF Найти вероятность того, что в результате эксперимента случайная величина попадет в интервал (1; 3 ]. )()(}{ a. Fba. P 2 1 4 2 4 1 4 3 )1()3(}31{FFP

Самостоятельная работа Функция распределения Вариант ответа A B C D 1 / 9 1/3 1/2 1Самостоятельная работа Функция распределения Вариант ответа A B C D 1 / 9 1/3 1/2 1 21 20 2 00 )( Xпри. X Xпри XF Задание. Случайная величина задана функцией распределения. Найти вероятность попадания в интервал (1; 2 ].

Сверим ответы?   21 20 2 00 )( Xпри XF )()(}{a. Fba. P 2 1Сверим ответы? 21 20 2 00 )( Xпри XF )()(}{a. Fba. P 2 1 2 2 )1()2(}21{FFP У нас a=1; b= 2. Тогда

 Плотность распределения вероятностей)()( / x. Fxf  xdttfx. F)()(  Справедливо и обратное соотношение: Плотность распределения вероятностей)()( / x. Fxf xdttfx. F)()( Справедливо и обратное соотношение:

Свойства плотности распределения вероятностей 1) Для всех x  плотность распределения вероятностей неотрицательна 2)  СвойствоСвойства плотности распределения вероятностей 1) Для всех x плотность распределения вероятностей неотрицательна 2) Свойство нормировки b a dxxfba. Р )( 1)( dxxf . 0)(xf 3) Вероятность попадания случайной величины в интервал ( a ; b] равна

График  y = f ( x )  называют кривой распределения  y =f( xГрафик y = f ( x ) называют кривой распределения y =f( x ) a b х b a dxxfba. Р )(

Пример Случайная величина задана плотностью вероятности  60 61 51 10 )( Xпри xf Найти вероятностьПример Случайная величина задана плотностью вероятности 60 61 51 10 )( Xпри xf Найти вероятность того, что в результате эксперимента случайная величина попадет в интервал (3; 5 ]. b a dxxfba. Р )( 5 2 3 51 51 53 5 35 35 3 xdxdx. Р

Числовые характеристики СВ Это числа, полученные по определенным правилам из законов распределения. Наиболее часто используются: МатематическоеЧисловые характеристики СВ Это числа, полученные по определенным правилам из законов распределения. Наиболее часто используются: Математическое ожидание; Дисперсия; Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Математическое ожидание СВ Характеризует среднее значение СВ  Математическим ожиданием дискретной СВ  называется сумма произведенийМатематическое ожидание СВ Характеризует среднее значение СВ Математическим ожиданием дискретной СВ называется сумма произведений возможных значений x i на их вероятности pi M ( ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… x n p n

M ( )  =  x 1  p 1 + x 2  pM ( ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… x n p n Пример Найти математическое ожидание числа очков при одном подбрасывании игрального кубика. Решение 1. Строим ряд распределения 2. Вычисляем математическое ожидание ξ 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/65, 3 2 7 6 21 6 654321 6 6 1 5 6 1 4 6 1 3 6 1 2 6 1 1)( M

Математическим ожиданием  M ( )  непрерывной случайной величины с плотностью вероятности   называетсяМатематическим ожиданием M ( ) непрерывной случайной величины с плотностью вероятности называется интеграл , ( )М xf x dx )(xf Пример Найти математическое ожидание СВ, заданной плотностью вероятности 60 61 51 10 )( Xпри xf

  1 6 0 51 0)()( dxxdxxxf. М Решение 6 2 6 1 11 1 1 6 0 51 0)()( dxxdxxxf. М Решение 6 2 6 1 11 1 36 1 35 ( ) 0 0 36 3, 5 5 5 2 10 10 10 x М xdx

Дисперсия случайной величины Дисперсия  и среднеквадратическое отклонение определяют среднюю величину разброса значений  СВ относительноДисперсия случайной величины Дисперсия и среднеквадратическое отклонение определяют среднюю величину разброса значений СВ относительно математического ожидания Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата СВ — M ( ): D ( )= M[ — M ( ) ]2 или D ( )= M[ — M ( ) ]2 Среднеквадратическое отклонение : )()(

Дисперсия непрерывной СВ определяется формулойdxxfmx. D)()()( 2 22 ( ) ( )D x f x dxДисперсия непрерывной СВ определяется формулойdxxfmx. D)()()( 2 22 ( ) ( )D x f x dx M или i n i ip. Mx. D 0 2 ))(()( Для дискретной СВ дисперсия определяется по формуле или 2 11 2)( n i iipxpx.

Пример  Найти дисперсию числа очков при одном подбрасывании кубика.  ξ 1 2 3 4Пример Найти дисперсию числа очков при одном подбрасывании кубика. ξ 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 9166, 2 12 35 )5, 3(]654321[ 61 )( 2222222 D Решение M ( ) = 3, 5 ( ) 2, 9166 1,

Пример Найти дисперсию случайной величины,  заданной плотностью вероятности  60 61 51 10 )( XприПример Найти дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности 60 61 51 10 )( Xпри xf 1 6 2 2 2 1 6 3 6 1 1 D( ) ( ) 0 0 3, 5 5 215 12, 25 2, 05 15 15 x f x dx М x dx x Решение ( ) 3, 5М

Нормальный закон распределения СВ  Случайная величина ξ имеет нормальное  распределение ,  если Нормальный закон распределения СВ Случайная величина ξ имеет нормальное распределение , если ее плотность распределения вероятностей при всех x задается равенством 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x m f x e Нормальное распределение используется для описания случайных явлений, в которых на результат измерения влияет большое число независимых случайных факторов. Основные законы распределения СВ

Кривая вероятности распределения Гаусса (нормального распределения)2 1 f(x) x mm-3 σ m+3 σ f max =Кривая вероятности распределения Гаусса (нормального распределения)2 1 f(x) x mm-3 σ m+3 σ f max = 2 1 Затухание кривой происходит по правилу «трех сигм»

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с параметрами m = 0, σ=1.  Плотность стандартного нормальногоСтандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с параметрами m = 0, σ=1. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид 2 2 0 2 1 )( x ex 0 m -3 3 x )(0x

Функцию распределения  стандартного нормального закона называют функцией Лапласа  Для функции распределения стандартного нормального законаФункцию распределения стандартного нормального закона называют функцией Лапласа Для функции распределения стандартного нормального закона имеются таблицы значений, которые широко используются в статистических исследованиях dtex t 2 2 2 1 (x) 1. ( ) x m F x 2. ( ) 1 ( ) x x Свойства нормального распределения 3. b m a m P{aξ b} F(b) — F(a)

Пример Случайная величина задана плотностью вероятности 32 122  π32 1 )(  хх еxf Определить:Пример Случайная величина задана плотностью вероятности 32 122 π32 1 )( хх еxf Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3].

Пример Случайная величина задана плотностью вероятности Определить:  математическое ожидание; дисперсию;  стандартное отклонение ; Пример Случайная величина задана плотностью вероятности Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3]. 22 1 321 ( ) 32π х х еf x 32 122 π32 1 )( хх еxf 2 2 ( ) 21 ( ) 2 x m f x e

Пример Случайная величина задана плотностью вероятности Определить:  математическое ожидание; дисперсию;  стандартное отклонение ; Пример Случайная величина задана плотностью вероятности Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3]. 242 2)1( 216 )122( 32 122 π24 1 π216 1 π32 1 )( ххххх еееxf 32 122 π32 1 )( хх еxf 2 2 ( ) 21 ( ) 2 x m f x e

Пример Случайная величина задана плотностью вероятности Определить:  математическое ожидание; дисперсию;  стандартное отклонение ; Пример Случайная величина задана плотностью вероятности Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3]. 242 2)1( 216 )122( 32 122 π24 1 π216 1 π32 1 )( ххххх еееxf M( ξ )=1 ; σ ( ξ )=4; D( ξ )= σ 2 =16 32 122 π32 1 )( хх еxf 2 2 ( ) 21 ( ) 2 x m f x e

a =-2;  b =3 3 1 2 3 3 2 4 4 2 3 0.a =-2; b =3 3 1 2 3 3 2 4 4 2 3 0. 5 0. 75 0. 5 1 0. 75 4 4P{ ξ } F( ) — F( ) b m a m P{aξ b} F(b) — F(a)

4649. 07734. 016915. 0 75. 015. 032  }ξP{ 4649. 07734. 016915. 0 75. 015. 032 }ξP{

 bax abxf ,  при  , 0 ,  при 1 )(Случайная величина ξ bax abxf , при , 0 , при 1 )(Случайная величина ξ распределена равномерно на промежутке [ a , b ], если ее плотность распределения вероятностей задается равенством Равномерное распределение

f(x) График f( х ) 0 х  bax abxf ,  при  , 0f(x) График f( х ) 0 х bax abxf , при , 0 , при 1 )( a bab

Функция распределения равномерного закона имеет вид:  0    ( )   1Функция распределения равномерного закона имеет вид: 0 ( ) 1 x a F x a x b b a x b 0 a b x 1 График равномерной функции распределения 12 )( )( 2 ab D 2 )( ba M

Вероятность того,  что случайная величина η  (число  «успехов»  при n  независимыхВероятность того, что случайная величина η (число «успехов» при n независимых испытаниях) примет значение m , можно найти по формуле Бернулли Биномиальное распределение { } m m n. P m С p q Математическое ожидание и дисперсия случайной величины η равны M ( η )= n∙p ; D ( η )= n∙p∙q

Пример В коробку сложили 3  изделия. Вероятность,  что изделие - бракованное, равна 0, 1.Пример В коробку сложили 3 изделия. Вероятность, что изделие — бракованное, равна 0, 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины — число бракованных изделий в коробке. Решение n= 3; р=0, 1; q=0, 9 M ( η )= n∙p ; D ( η )= n∙p∙q. M ( η ) = n∙p = 3 ∙ 0, 1=0, 3 D ( η )= n∙p∙q = 3 ∙ 0, 1 ∙ 0, 9 = 0,

Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром , 0 если  ее плотность распределения вероятностейСлучайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром , 0 если ее плотность распределения вероятностей задается равенством , при 0 ( ) 0, при 0 x e x f x x Показательное распределение 1 )(M 2 1 )( DФункция распределения показательного закона имеет вид: 0 если , 1 0 если , 0 )( xe x x. Ft

Пример Случайная величина задана функцией распределения 51 10 2 2, 01 )( M 25 1 04,Пример Случайная величина задана функцией распределения 51 10 2 2, 01 )( M 25 1 04, 01 )( 2 D . 1 , 0 при 0 )(x e x x. FМатематическое ожидание этой случайной величины равно 0, 2, дисперсия равна 0, 04. Найти параметр λ. Решение λ =5 Проверка λ =




  • Мы удаляем страницу по первому запросу с достаточным набором данных, указывающих на ваше авторство. Мы также можем оставить страницу, явно указав ваше авторство (страницы полезны всем пользователям рунета и не несут цели нарушения авторских прав). Если такой вариант возможен, пожалуйста, укажите об этом.