Презентация тема 3

Теорема Остроградского – Гаусса дискретного и непрерывного распределения зарядов и ее применение

3. 1. Основные определения. 3. 2. Теорема Остроградского – Гаусса для дискретного и непрерывного распределения зарядов. 3. 3. Применение теоремы Остроградского – Гаусса для случаев: 3. 3. 1. Заряженная плоскость. 3. 3. 2. Две разноименно заряженные плоскости. 3. 3. 3. Заряженная нить. 3. 3. 4. Заряженная сфера. 3. 3. 5. Заряженный шар. 3. 4. Аналогия между электростатическим и гравитационным полями.

если 3. 1. Основные определения 1. Линейная плотность заряда — это физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины. Рис. 3. 1. Линейная плотность заряда (3. 1) (3. 2) то , constlq l q ; , ; 2 1 l l dlq dl dq

. dq d. S qd. S S S ; 1 2 Если то const q S q. S, ; 2. Поверхностная плотность заряда – это физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади. Рис. 3. 2. Поверхностная плотность заряда (3. 3) (3. 4), если

dq d. V qd. V VV; 1 2 Если то const q V q. V, ; 3. Объемная плотность заряда ρ – это физическая величина, численно равная заряду, заключенному в единице объема Рис. 3. 3. Объемная плотность заряда (3. 5) (3. 6), если

)(), , (tf. Atzyx. AA — стационарное поле AAxyz(, , ) NAnd. SAd. S S n S NAnd. SAd. S s n S поток через замкнутую поверхность К оглавлениюгде n — единичная нормаль к поверхности S. Рис. 3. 4. (3. 7) (3. 8) (3. 9)-

3. 2. Теорема Остроградского-Гаусса Пусть имеется уединенный точечный заряд. Рассчитаем поток вектора этого заряда через замкнутую поверхность, окружающую этот заряд. 1. Сфера. NEd. SES E Q r ES Q r r Q N Q n SS 1 4 4 37 0 2 2 0 0 ; (. ) Рис. 3. 5. Сфера (3. 10)

Поток вектора напряженности равен величине заряда, деленной на 0 Окружим заряд замкнутой поверхностью произвольной формы. Возможно два случая: выпуклая поверхность и поверхность с “морщинами”. Рис. 3. 6. Выпуклая поверхность В случае с выпуклой поверхностью результат такой же, как и для сферической, а во втором случае можно показать, что суммарный поток, создаваемый при пересечении линиями напряженности “морщин”, будет равен 0, т. к. при расчете скалярного произведения косинус угла между векторами En и один раз будет положительным, а в другой – отрицательным (знаки косинусов указаны на рис. 3. 7). Рис. 3. 7. Поверхность с “морщинами”.

, 1 k i i. E рез. E k i ik S k i. S ii S рез qqqq d. Sn. Ed. Sn. EN 10 21 0 11 1 ). . . ( 1 Поэтому можно сказать, что поток вектора напряженности поля точечного заряда через произвольно замкнутую поверхность, окружающую этот заряд, равен величине этого заряда, деленной на 0 Пусть имеется система k точечных уединенных зарядов qqqn 12, , . . . , Воспользуемся принципом суперпозиции. (3. 11)

. В случаях, если имеется непрерывное распределение зарядов в некоторых телах, необходимо от операции суммирования перейти к операции интегрирования. Тогда получим: заряженная линия заряженная плоскость Заряженное тело К оглавлению. Поток вектора напряженности системы k точечных неподвижных зарядов в вакууме равен алгебраической сумме этих зарядов деленной на 0 1 1 — 1 0 0 0 V S l d. V d. S dl N (3. 12. ) Теорема Остроградского-Гаусса в интегральной форме S Vnd. Vd. SE 0 1 (3. 13)

3. 3. Применение теоремы Остроградского – Гаусса 3. 3. 1. Поле заряженной плоскости 1. Линии напряженности перпендикулярны плоскости. 2. Их густота одинакова E в каждой точке одинаково. Так как плоскость бесконечна, то исходя из соображений симметрии значение модуля Рис. 3. 8. Поле заряженной плоскости

S S S nnnd. SEd. SEN бокосн 2 т. к. проекция вектора на нормаль к боковой поверхности равна нулю, то К оглавлению 2 1 2. , 0 00осносн const. ESES d. SE n (3. 14)

3. 3. 2. Поле разноименных плоскостей Применим принцип суперпозиции: К оглавлению. Рис. 3. 9. Поле разноименных плоскостей Рис. 3. 10. 0 E (3. 15)

3. 3. 3. Поле заряженной нити. К оглавлению. Рис. 3. 11. Поле заряженной нитиr r. E lrlr. Ed. SEn 0 0 2 )( 1 2)( (3. 16)

3. 3. 4. Поле заряженной сферы. Поле внутри сферы. Рис. 3. 12. Поле внутри сферы. 0 04 4 2 2 E r. Ed. SEn (3. 17)

Поле вне сферы Т. к. 4 2 Rq , то Если К оглавлению. Рис. 3. 13. Поле вне сферы 2 0 2 2 )( 4 1 4)( r R r. E Rrr. Ed. SEn (3. 18) 2 04 1 )( r q r. E (3. 19). )( 0 RERr (3. 20)

3. 3. 5. Поле заряженного шара Поле внутри шара. Рис. 3. 14. Поле внутри шара. 3 , 3 41 4 ; 4 1 0 3 0 2 2 rkr. Ed. SE n (3. 21)

Поле вне шара. — обратно квадратичная зависимость. К оглавлению. Рис. 3. 15. Поле вне шара 1 4 1 3 41 4 222 0 0 3 0 2 r k r q E q rr. E (3. 22)

3. 4. Аналогия и различия между электростатическим и гравитационным полями Аналогично выглядит график зависимости ускорения свободного падения от расстояния(рис. 3. 18). Рис. 3. 16. Рис. 3. 17. Рис. 3. 18. На рисунке 3. 16 изображен график зависимости напряженности электростатического поля от расстояния.

Как вы считаете: случайно ли это совпадение? К оглавлению. Fmgr F m. M r г г р р () 2 242 32 3 3 1 )( 3 4 r k r M rg rk r r rgr. M (3. 23) (3. 24)