Презентация Семинар пластичность old

Приближенные методы решений задач по теории малых упругопластических деформаций 1. Метод переменных параметров упругости 2. Метод дополнительных деформаций 3. Метод дополнительных напряжений. Характеристики методов: 1. Скорость схождения 2. Устойчивость )k( e )k( Критерий остановки расчета *

1. Метод переменных параметров упругости Уравнение состояния для ТМУПД : 0 ijij ee 0 ijij 23 K 3 0 0 )21(3 E K 0 e e ijij e e ij K 3 1 23 23 Уравнение состояния (упругое) – Закон Гука: 0 ijijij 3)1( E 1 0 ijijij E 3 E )1( K 3 1 23 E 3 23 E 1 ee * * E 3 211 E ee* e e *

2. Метод дополнительных деформаций p ije ijij 0 ijije ij 3)1( E 1 p ijij~ вектор дополнительных деформаций ij 0 ijijij ~ 3)1( E 1 p ee ee закон течения ij ep ep ijij S 23 ~ упругие деформации для ТМУПД: упругий закон G 3 ee e e eep e )( 32 S 0 ijij e e 0 ijijij )( 32 G 3 23 ~ 0 ijij e e e ij )( G 3 1 1~ 0 ijij e e ij

3. Метод дополнительных напряжений Уравнение состояния для ТМУПД : 0 ijij ee 0 ijij 23 )( 32 S 0 ijij e e 0 ijijij )(G 2 S 0 ijijij G 3 ee e при упругом поведении )( 32 S 0 ijij e e e ij тогда для упругопластического поведения пусть ij 0 ijijij ~ )(G 2 S )(G 2 3 2~ 0 ijij e e ij составляющая связанная с пластической деформацией

Одноосное напряженное состояние 1. Метод переменных параметров упругости Диаграмма растяжения (с пластичностью): )(f Закон Гука: E 1 k * kk E 1 k * k* k E 1 f k * k* 1 k Ef EE для k- ой итерации k * k* 1 k. E EE *

2. Метод дополнительных деформаций pe E 1 e p ~вектор дополнительных деформаций kkk ~ E 1 диаграмма растяжения упругие деформации Одноосное напряженное состояние )(f pe E~ E 1 E * k kk* k kep kkk 1 kf E 1~~ k* kf

Задание: рассчитать напряжения и деформации в стержнях Условия задачи: Несущие элементы – стержни 1 -3 : — площадь сечения F = 400 мм 2 -модуль упругости E = 2 · 10 5 МПа -предел текучести σ t = 200 МПа -касательный модуль E t = 10 4 МПа Нагрузка – 155 к. Н Диаграмма растяжения Eесли EE Eесли E )(f tt tt t

Уравнения совместности перемещений: 13 12 l 3 l l 2 l Ll ii 03 02 13 12 FN i i Уравнения равновесия: по оси х : R x = 0 по оси y: R y + N 1 + N 2 + N 3 = P моменты : S · N 1 + 2 S · N 2 + 3 S · N 3 = 3 PF P

1. Метод переменных параметров упругости )k(i * )k(i E 1 )k(i * )k(i* )1 k(i Ef EE * )0(i 03 02 13 12 F P 332321 0 E 1 3 E 1 0 E 1 2 E 1 )k(1 * )k(1)k(3 * )k(3 )k(1 * )k(1)k(2 * )k(2 F P 332)k(3)k(2)k(1 FP 3 00 321 E 1 0 E 3 0 E 1 E 2 1 * )k(3* )k(1 * )k(2* )k(1 )k(3 )k(2 )k(

Начальные условия: k = 0 i = 1… 3 Параметры задачи: F = 400 , E = 2 · 10 5 , σ t = 200 , E t = 10 4 , P = 155 000 δ * = 0, 001 EE * )0(i FP 3 00 321 E 1 0 E 3 0 E 1 E 2 1 * )k(3* )k(1 * )k(2* )k(1 )k(3 )k(2 )k(13. . . 1 i E f EE )k(i * )k(i* )1 k(i Алгоритм решения Eif EE Eif E )(f tt tt t δ < δ * да нет выход из цикла k = k +

0510152050 100 150 200 250 Re s 1 i 0 Re s 1 i 1 Re s 1 i 2 i

2. Метод дополнительных деформаций )k(i)k(i ~ E 1 03 02 13 12)k(i)k(i)1 k(if E 1~~ F P 332321 )k(3)k(1)k(3 )k(2)k(1)k(2 ~~ 3 E 1 ~~ 2 E 1 F P 332)k(3)k(2)k(1 FP 3 ~~ 3 E ~~ 2 E 321 103 012 )k(3)k(1 )k(2)k(11 )k(3 )k(2 )k(

Начальные условия: k = 0 i = 1… 3 Параметры задачи: F = 400 , E = 2 · 10 5 , σ t = 200 , E t = 10 4 , P = 155 000 δ * = 0, 0010~ )0(i FP 3 ~~ 3 E ~~ 2 E 321 103 012 )k(3)k(1 )k(2)k(11 )k(3 )k(2 )k(1 Eif EE Eif E )(f tt tt t Алгоритм решения δ < δ * да нет выход из цикла k = k + 1 3. . . 1 i f E 1~~ )k(i)k(i)1 k(i 3. . . 1 i ~ E 1 )k(i)k(i

0510152050 100 150 200 250 Re s 1 i 1 Re s 1 i 2 i 0510152050 100 150 200 250 Res i 1 Res i 2 i

>>Начало

ЗАДАНИЕ Вычислить напряжения в элементах стержневой конструкции. Решение получить используя методы переменных параметров упругости (ППУ) и дополнительных деформаций (ДД). Показать на графиках зависимость напряжений в стержнях от номера итерации отдельно для каждого метода решения. Для наиболее нагруженного стержня привести график «напряжение — номер итерации» сравнив методы ППУ и ДД. Материал — идеально-упругопластический. Размеры, механические характеристики приведены под расчетной схемой. Нагрузка Р=РТ+0. 8 (Рпр-РТ). РТ — усилие, соответствующее появлению первых пластических деформаций, Рпр — усилие, соответствующее предельному состоянию конструкции.