Презентация lec for lab3

1 Вычисление неизвестных аналитических зависимостей Лямин Андрей Владимирович

2 Постановка задачи Дано : • u ={ u 0 , u 1 , … , u n } • y ={ y 0 , y 1 , … , y n } Найти : • y = f ( u ) f ( • )u y

3 Методы вычисления • Интерполяция • Аппроксимация

4 Интерполяция функций Интерполяционная формула сопоставляет с функцией функцию известного класса , зависящую от параметров , выбранных так, чтобы значения совпадали со значениями для данного множества значений аргумента (узлов интерполяции): . ( )f u 0 1ˆ ˆ ( ) ( , , ) nf u a a a K 1 n ia ˆ( )f u 1 n ku ˆ ( ) k k kf u y

5 Интерполяционная функция Лагранжа 1 2 0 0 1 0 2 0 0 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 ( )( ) ˆ( ) ( )( ) ( )( ) n n n n n u u u f u y u u u u u u y u u u K K K K

6 Пример 1: Пусть: • u ={0, 1, 2, 3} • y ={0, 1, -1, 0} Тогда : 3 2( 0)( 2)( 3) ( 0)( 1)( 3)ˆ( ) (1) ( 1), (1 0)(1 2)(1 3) (2 0)(2 1)(2 3) ˆ( ) 4. 5 ( ). u u u f u u u u

70 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 31. 5 10. 5 00. 5 11.

8 Интерполяционная функция Ньютона 1 0 0 10 ˆ( ) ( , , ) ( ) , in i i k ik f x y u u K 1 0 1 1 2 1 0 1 0 ( ) ( , ) , ( ) ( , , , ). ( ) r r r r y y u u u u K K K

9 Пример 2 : Пусть: • u ={0, 1, 2, 3} • y ={0, 1, -1, 0} Тогда : 0 1 0 2 0 1 3 0 1 2 ˆ( ) ( , )( ) ( , , )( )( ) ( , , , )( )( )( ) f x y u u u u u u

101 0 1 1 2 1 0 1 2 2 0 2 1 2 3 2 0 1 2 3 3 0( ) ( , ) , ( ) ( ( , )) ( , , ) , ( ) ( ( , , )) ( , , , ). ( )y y u u u u u u u 1 0 1 1 1 2 3 2 0 1 2 2 1 2 3 3 0 1 2 3(1 0) ( 1 1) (0 1) ( , ) 1, ( , ) 2, ( , ) 1, (1 0) (2 1) (3 2) ( 2 1) (1 2) ( , , ) 1. 5, (2 0) (3 1) (1. 5) ( , , , ) 1. (3 0) u u u u 3 2 ˆ( ) 0 1( 0) 1. 5( 0)( 1) 1( 0)( 1)( 2) 4. 5 ( ). f x u u u u u

11 Аппроксимация функциональных зависимостей 0 0 0 2 0 ( ) : ( ), 0, ˆ( ) ( ), [ , . . . , ] ˆ( ) ( )) ( ( )) min k k m i i i m m n k k k f u y f u k n f u u u J f u u f u

12 Решение задачи аппроксимации 2 0 0 1 0 0 0 ( ( )) 0 ( 2 ) 2 ( ) 0 ( ) , det ( ) 0 n k k k n n n k k k J u f u J f f

13 Пример 3 : Пусть: • u ={0, 1, 2, 3}, y ={0, 1, 0, 1}, =[1, u ] T Тогда : 11 0 0 4 6 14 61 ( ) 6 14 6 420 2 14 6 2 41 1 , 4 6 4 4 420 20 1 4ˆ( ) (1 ), ( ) 5 5 n k f f u u J

14* * * *

15* * *

16* *

17 Способы повышения точности аппроксимации • Замена базисных функций • Увеличение количества базисных функций